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“asd: Pl cta Bu chadê de lógica 12 Em , Ely dice Noções [8 4. Proposição Os elementos básicos utilizados na linguagem, tanto escrita como falada, para expressar idéias são as proposições ou sentenças. Intuitivamente, pois, proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que expressam ou declaram uma idéia. 2. Princípios fundamentais da lógica . « Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser falsa € verdadeira, simultaneamente. « Princípio do terceiro excluído: qualquer propo- sição ou é verdadeira ou é falsa. 3. Valor lógico Pelos princípios adotados, consideraremos apenas as proposições que, além de declarativas, podem ser classi- ficadas em verdadeiras ou falsas e diremos que: + o vaior lógico de uma proposição verdadeira é a verdade (W) «o valor lógico de uma proposição falsa é a falsi- dade (F) 4. Conectivos lógicos Conectivos lógicos são palavras usadas na formação de outras sentenças. Os usuais são: “não”, “e”, “gu”, “ge... então.” e “.. se e somente se...” 5. Proposições simples e compostas + As proposições simples são aquelas que expressam “uma única idéia” Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São re- presentadas por letras latinas minúsculas (p, Q, E 8, ««). « As proposições compostas são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (PQ, R$ 3, .) O símbolo Pp, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples P, qe r. Exemplos São proposições simples: i ie da terra, i q: O número 2 é primo. | E O número 2 é par. : s: Roma é a capital da França. t; O Brasil fica na América do Sul. w2+5=3.4. p: A lua é um saté São proposições compostas: P(g, 1): O número 2 é primo ou é par. Os, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul. B: O número 6 é par é o número 8 é cubo perfeito. Não são proposições lógicas: a) Roma b) O cão do menino qQI+1 dj As pessoas estudam e) Quem é? f Que pena! 6. Tabela-Verdade O valor lógico de uma proposição simples p é V ou E como já foi visto. O valor lógico de uma proposição composta P(p, q, I, -.) depende exclusivamente do valor lógico de P, q F, .... Para deserininar o valor MógicodeP, de uma maneira prática c organizada, utilizamos a tabela- verdade. Vejamos como construir estas tabelas-verdade a partir da árvore das possibilidades dos valores lógicos de P, q, E, . e deixando para o próximo item a determi. nação do valor lógico de P. E 118 1349 ATT - Proposição composta do tipo Plp, q) p q Resuitado 7 + mt see - “Tal bela-Verdade « Proposição compasta do tipo Pp. q. Fl Tabela-Verdade E = e a [ mim lmálmja|ja|a,< “. vg mg la jalmjm|<|< mglelai|/a|m|< a + Proposição composta do tipo Plp, q. 1.5) . A tabela-verdade tem 2! = 16 linhas c pode ser construída de modo análogo às anteriores. » Ê + Ú . a e o 5 - Proposição composta do tipo Plpp Pa Pa Pol + A tabela-verdade tem 2º linhas e pode sor construída de modo análogo às anteriores. 119 > aa - « Observação O conectivo ou, representado pelo símbolo , é in- ciusivo « significa pelo rasnos um. Pode-se, eatretante, atribuir ac comeciivo ow o sentido de exclusão. Neste ca- so o símbolo utilizado é w e significa um só. 5 [mi mm Exemplos » p: A neve é branca. q2>5 pv q; A neve é branca OU 2> 5. p v p24+541+7 2 ( 3 éprimo pvq2+5*1+70U3éprimo. r TE pi d.5 O | Vo V :3+1=7 nl Gsedsa E pvq3+i=70US+4>2 | 10. O conectivo Se... então... e a condicional A condicional se p então q é uma nova proposi cujo valor lógico é F apenas quando p Eredededeas q é falsa. É representada pelo símbolo p-— qe tem a seguinte tabela-verdade: “PS v voy V F F F vV v F F v Exemplos :3+5=8 nlqe-s=s p->q8e3+5-=Sentãos-3=5 ese vv p:3+1>7 2H q:3€ impar pol q ar E | v v p: Roma é a capital da França 4) | q; Paris é a capital da Itália pv q: Roma é a capital da França ou Paris é à, capital da Itália. nt p= qSe3+1>7 então 3 é ímpar 2( p: 25 é quadrado perfeito q: 25 é par p— q Se 25 é quadrado perfeito então 25 é par ( p:9 pq: Se9<1 então 4 é impar Roma é a capital da França. PS a | Pol 4 4 POA v | F F 11. O conectivo Se € somente ' se e a Bicondicional ” (petra osBanfçá E q; 4 é divisível por 2 A bicondicional p se e somente se q é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando pe q são am- bas verdadeiras ou ambas falsas e é F nos demais ca- sos. É representada pelo símbolo P «> qe tem à seguinte tabela-verdade. pe q:4é par SC, € SOMente Se, 4 é divisível por 2. Po dE ing v v v ( q:3 é divisível por 2 v F F pesq.4é impar Se, € somente se, 3 édivisívelpor? [rr | F ; - 42. Tabela-verdade de uma proposição composta - Exemplo 1 Construir à tabela-verdade da proposição composta P(p, p=(pvo =P) ad), sendo pe qua proposições simples quaisquer. Resolução E A tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p,q) tem, como já foi visto, 22 =4 linhas. É, portanto, do tips; Sp NS | viyv viIF 8 LA | a F|F io 122 e) Valores lógicos da proposição Plp.q) = (pv q) > (= pl> (pa q) VIYV v MEIRA FLV|/ MY F| F F Exemplo 2 Construir a tabela-verdade da proposição composta Píp, q. r)= (PA q) <+r, sendo p, qe r proposições simples quaisquer. Resolução A tabela-verdade da proposição composta do tipo P(p, q. E) tem, como já foi visto, 22 = 8 linhas, É, portanto, do tipo: À : V V v Y | F F 2 F F A determinação dos valores lógicos de P é feita em etapas. Observe! a) Valores lógicos da proposição p » q hj [hd | | Hd | e | ue | et | ed ref) | est |bes [rms |) e [OE Pe | e | | cet o | e | e pá [me [bt [o | je [ue | e 124 ve [e | [et o jues Jr |á 13. Tautologia, contradição e contingência - Tautologia Uma proposição composta Pp, q; 5 ) é uma tautologia se 0 seu valor lógico é V, quaisquer que sejam os vafo- res lógicos de p, Q:L «= - E a As tautologias são também chamadas de proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras e são, em outras palavras, as proposições compostas, cuja “última coluna da tabela-verdade só contém V”. - « Exemplo 1 A proposição p v (pr E uma tautologia pois, de acordo cem a tabela-verdade, o seu valor lógico é sempre V. Ob- servel à vVºj F v F v CY - Exemplo 2 " - - º A proposição (p 4 9) (poa E uma tantologia pois a “última coluna da tabela-verdade só contém V”. Observe! « Contradição Uma proposição composta Pp, q E —) éuma contradição se o seu valor lógico É F, quaisquer que sejamos v: lores lógicos de p, 4 E = - As contradições são também chamadas de proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas e-são, es outras palavras, as proposições compostas cuja “última coluna da tabela-verdade só contém Fº. 125 “ & EEE eee « Diferenciação dos simbolos [1 + =) O símbolo «» indica uma operação entre as proposições Pe Q cujo result jor lógico V ou F. Q símbolo « indica que na tabela-verdade de P «+ Q “não ocor! P «+ Q é sempre V ou, ainda, que Pes Q é uma tautologia. Exempla A tabela-verdade da proposição (p — q) «> (qo ep) & ERR E saca ado é à proposição [e 4) e tem va- re VF nem EV” os que o valor lógico de v ug v F DE E Vo x. há v Fo. é v v As proposições p—4 bicondicional (p > ) & (q > -p) é uma tautologia. e q-p tem, portanto, a mesma tabela-verdade ou a Assim sendo, p — q é equivalente =q —+ —P- Simbolicamente: (p — q) = (q => -p) 1 46. Sentenças abertas « Definições a Sendo U um conjunto e x um elemento de U, dizemos que: « a proposição p(x) é uma sentença aberta em U se p(a) é verdadeira ou p(a) é falsa, Vac U + Ué o conjunto-universo ex à variável. «Seae Uepla) é verdadeira então a verifica pld oua é solução de plo = O conjunto-verdade ou conjunto-solução de p(x), eim U, é o conjunto de tados, e somente, os elementos a € U tais que p(a) é uma sentença verdadeira. Simbolicamente é o conjunto (a & UI pla) é VJ. Exemplos N x+2=1 z. Ea x+3<6 py 10,1,23 xl -4x-5=0 Re 5 x2-4x-5=0 R tas x é divisor de 10 N “25,10 x é múltiplo de 2 10,1,2,3,4,5,6,7,8) 10,2,4,6,8] 127 Io 17. Operações lógicas com sentenças abertas Utilizando os conectivos não , e, ou, se então cse e somente se podemos operar com as sentenças aberta ma forma já apresentada para as proposições lógicas. Os conceitos de implicação (=) e equivalência (e são Os mesmos. ) dam tambr Exemplo 1 Com as sentenças abertas, todas em PN, plxX > 2 alsia<5, rx):x>7, podemos formar as seguintes sentenças ebertas. Eiintes no apl) An>D)exs)ex<2va=? db; posar > Dali<)olcres e gro v rio: (x < 5) vlx>7) DP (OS po > D>(>2 ope qu >) = 5) Exemplo 2 Analisando a condicional (x > 7) — (x > 2), em Ay, temos: v (3,4,5,6,7) F Vo. v (8,9,10, ...) v v v A tabela-verdade mostra que (x > 7) = (x>2) é uma tautologia e portantox>7=>x>2. Exemplo 3 Analisando a bicondicional («> 24x<5)+2 2 4 x<5)t+22nx 2) — (x <5)e a bicondicional (x > 6 (x<5), emN, temos (0,1,2) F v V Eee tato: SF (3,4) v v. v v 15, 6,7, 0) v F F F A tabela-verdade mostra que à condicional (x > 2) => (x < 5) ca bicondicional (x >2) 6» (x. < 5) não si teclogõas E tre a sentença abedax >2 e a sentença abertax < 5 não existe, portanto, relação de implicação nemedlação de equiirifini 128 RE E 
