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Apostila sobre vigas Professor Bastos.
Tipologia: Notas de estudo
1 / 60
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Bauru/SP
Junho/
APRESENTAÇÃO
Esta apostila tem o objetivo de ser as notas de aula da disciplina 2323 – Estruturas de
Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual
Paulista - UNESP – Campus de Bauru/SP. Deve ser estudada na sequência da apostila “ Ancoragem
e Emenda de Armaduras ”.
O texto apresenta algumas das prescrições contidas na NBR 6118/ 2014 (“ Projeto de
estruturas de concreto – Procedimento ”) para o projeto de vigas de Concreto Armado. Para facilitar
o entendimento do estudante está incluído um exemplo completo do cálculo, dimensionamento e
detalhamento de uma viga contínua, com dois tramos e três apoios.
Agradecimentos a Éderson dos Santos Martins pela confecção de desenhos.
Críticas e sugestões serão bem-vindas.
O texto seguinte apresenta vários itens da NBR 6118/ 2014
1 relativos às vigas contínuas de
edificações. A norma, publicada em maio de 20 14, substituiu a versão anterior de 2003.
Vigas são “ elementos lineares em que a flexão é preponderante .” (NBR 6118, 14.4.1.1).
Elemento linear é aquele em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a
maior dimensão da seção transversal, sendo também denominado “barra”.
No item 14
2 a NBR 6118 apresenta uma série de informações relativas à Análise Estrutural,
como princípios gerais, hipóteses, tipos, etc., de elementos lineares e de superfície, além de vigas-
parede, pilares-parede e blocos. Segundo o item 14.2.1, “ O objetivo da análise estrutural é
determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações dos
estados-limites últimos e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de
esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. ”
“ A análise estrutural deve ser feita a partir de um modelo estrutural adequado ao objetivo
da análise. Em um projeto pode ser necessário mais de um modelo para realizar as verificações
previstas nesta Norma. O modelo deve representar a geometria dos elementos estruturais, os
carregamentos atuantes, as condições de contorno, as características e respostas dos materiais,
sempre em função do objetivo específico da análise. A resposta dos materiais pode ser
representada por um dos tipos de análise estrutural apresentados em 14.5.1 a 14.5.5. ” (item
14.2.2).
No item 14.5 a NBR 6118 apresenta cinco métodos de análise estrutural para o projeto, “ que
se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, não
perdendo de vista em cada caso as limitações correspondentes .” Os métodos de análise “ admitem
que os deslocamentos da estrutura são pequenos.”
3.1. Análise Linear (item 14.5.2)
“ Admite-se comportamento elástico-linear para os materiais .” Significa que vale a lei de
Hooke – existe proporcionalidade entre tensão e deformação e ausência de deformações residuais
num ciclo carregamento-descarregamento. “ Na análise global, as características geométricas
podem ser determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos estruturais. Em análises
locais para cálculo dos deslocamentos, na eventualidade da fissuração, esta deve ser considerada .”
Na análise global considera-se o conjunto da estrutura, e na análise local apenas um elemento
estrutural isolado.
“ Os valores para o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson devem ser adotados de
acordo com o apresentado em 8.2.8 e 8.2.9, devendo, em princípio, ser considerado o módulo de
elasticidade secante Ecs .”
“ Os resultados de uma análise linear são usualmente empregados para a verificação de
estados-limites de serviço. Os esforços solicitantes decorrentes de uma análise linear podem servir
de base para o dimensionamento dos elementos estruturais no estado-limite último, mesmo que esse
dimensionamento admita a plastificação dos materiais, desde que se garanta uma dutilidade
mínima às peças .”
1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento , NBR 6118. ABNT,
2014, 238p. 2 O item 14 contém diversas outras informações não apresentadas neste texto.
3.5. Análise por Meio de Elementos Físicos (item 14.5.6)
“ Na análise através de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partir
de ensaios realizados com modelos físicos de concreto, considerando os critérios de semelhança
mecânica. A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter a
correta interpretação dos resultados. Neste caso, a interpretação dos resultados deve ser
justificada por modelo teórico de equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados.
Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar as
margens de segurança prescritas nesta Norma, conforme as Seções 11 e 12. Caso contrário,
quando só for possível avaliar o valor médio dos resultados, deve ser ampliada a margem de
segurança referida nesta Norma, cobrindo a favor da segurança as variabilidades avaliadas por
outros meios.
Obrigatoriamente, devem ser obtidos resultados para todos os estados-limites últimos e de
serviço a serem empregados na análise da estrutura.
Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida da
estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios.
Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estão
fora do escopo desta Norma. Para o caso de provas de carga, devem ser atendidas as prescrições
da Seção 25 .”
3.6. Hipóteses Básicas
No item 14.6 a NBR 6118 apresenta as hipóteses básicas para estruturas de elementos
lineares: “ Estruturas ou partes de estruturas que possam ser assimiladas a elementos lineares
(vigas, pilares, tirantes, arcos, pórticos, grelhas, treliças) podem ser analisadas admitindo-se as
seguintes hipóteses:
a) manutenção da seção plana após a deformação;
b) representação dos elementos por seus eixos longitudinais;
c) comprimento limitado pelos centros de apoios ou pelo cruzamento com o eixo de outro elemento
estrutural. ”
O vão efetivo (NBR 6118, 14.6.2.4) é calculado pela expressão:
ef
0
0 , 3 h
t / 2 1
0 , 3 h
t / 2 2
h
t 1 t 2
Figura 3 – Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo de vigas.
De modo geral, a preferência dos engenheiros e arquitetos é de que as vigas fiquem
embutidas nas paredes de vedação, de tal forma que não possam ser percebidas visualmente. Para
que isso ocorra, a largura das vigas deve ser escolhida em função da espessura final da parede, a
qual depende basicamente das dimensões e da posição de assentamento das unidades de alvenaria
(tijolo maciço, bloco furado, bloco de concreto, etc.), e da espessura da argamassa de revestimento
(reboco), nos dois lados da parede. O revestimento com argamassa tem usualmente a espessura de
1,5 cm a 2,0 cm, e o com gesso em torno de 5 a 6 mm.
Existe no comércio uma infinidade de unidades de alvenaria, com as dimensões as mais
variadas, tanto para os blocos cerâmicos de seis como para os de oito furos, como também para os
tijolos maciços cerâmicos. Antes de se definir a largura da viga é necessário, portanto, definir o tipo
e as dimensões da unidade de alvenaria, levando-se em consideração a posição em que a unidade
será assentada.
No caso de construções de pequeno porte, como casas, sobrados, barracões, etc., onde é
usual se construir primeiramente as paredes de alvenaria, para em seguida serem construídos os
pilares, as vigas e as lajes, é interessante escolher a largura das vigas igual à largura da parede sem
os revestimentos, ou seja, igual à dimensão da unidade que resulta na largura da parede.
A altura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais importantes o vão, o
carregamento e a resistência do concreto. A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência
mecânica e baixa deformabilidade (flecha). Considerando por exemplo o esquema de uma viga
como mostrado na Figura 4 , para concretos do tipo C20 e C25 e construções de pequeno porte, uma
indicação prática para a estimativa da altura das vigas de Concreto Armado é dividir o vão efetivo
por doze, isto é:
e h 12
h
ef, 2 2
ef, 1 1
^ Eq.^2
Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistência superior devem ser
considerados valores maiores que doze na Eq. 2. Vigas para edifícios de vários pavimentos, onde as
ações horizontais do vento impliquem esforços solicitantes consideráveis sobre a estrutura devem
ter a altura definida em função dos esforços a que estarão submetidas.
h 1 h (^2)
(^) ef, 1 ef, 2
Figura 4 – Valores práticos para estimativa da altura das vigas.
A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10 cm.
A altura mínima indicada é de 25 cm. Vigas contínuas devem ter a altura dos vãos obedecendo uma
certa padronização, a fim de evitar várias alturas diferentes.
Segundo a NBR 6118 (item 15.10), “ A segurança à instabilidade lateral de vigas deve ser
garantida através de procedimentos apropriados. Como procedimento aproximado pode-se adotar,
para vigas de concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à flambagem lateral, as
seguintes condições: ”
b 0
momentos fletores e condições de ductilidade, afirmando que “ a capacidade de rotação dos
elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto
maior será essa capacidade ”. E para “ proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e
lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:
a) x/d 0,45 para concretos com fck 50 MPa;
b) x/d 0,35 para concretos com 50 < fck ≤ 90 MPa.
Eq. 5
“ Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras,
como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões .”
Uma redistribuição comumente feita na prática é a diminuição dos momentos fletores
negativos nos apoios intermediários de vigas contínuas. Isso possibilita uma aproximação nos
valores dos momentos fletores negativos com os momentos fletores positivos nos vãos, o que leva a
seções transversais menores e projetos mais econômicos.
A diminuição do momento fletor negativo altera a distribuição dos demais esforços
solicitantes ao longo da viga, o que deve ser levado em consideração no dimensionamento.
Conforme a norma: “ Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento
Eq. 6
O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:
Eq. 7
Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma, desde que a
estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica, com
verificação explícita da capacidade de rotação das rótulas plásticas .”
A Figura 5 mostra a plastificação do momento fletor negativo da viga no apoio interno. A
diminuição do momento fletor negativo no pilar interno é interessante, pois permite que se faça uma
aproximação entre os momentos negativos e positivos. Na versão de 1978 da norma (NB1/78) era
permitido plastificar, isto é, diminuir em até 15 % o momento fletor negativo nos apoios internos de
vigas contínuas.
Plastificação do momento negativo
Acréscimo no momento positivo Acréscimo no momento positivo
Figura 5 – Plastificação do momento fletor negativo no apoio interno de vigas contínuas.
Quando o momento é de equilíbrio, como no caso de vigas em balanço por exemplo, a
plastificação não é permitida.
No item 14.6.6.1 a NBR 6118 apresenta considerações relativas ao projeto de vigas
contínuas. “ Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos
pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções
adicionais:
a) não podem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse
engastamento perfeito da viga nos apoios internos; (Figura 6 );
MA M1,c^ B
M MC M D
M M
vão extremo
M1,i M 3,i
M 2,i
M A
MB M C MD
M1,c M1,i
M2,i
M2,c
M3,i
M3,c
vão interno
2,c 3,c
Figura 6 – Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas.
1 2 M^ sup
M (^) lig M^ sup
1 2 Minf
M (^) inf
tramo extremo
pilar de extremidade
nível i
nível (i + 1)
1 M(i -1),sup 2 Mi,inf
1 2 M
M (^) i,sup (^) (i + 1),inf
M (^) + (^) (i - 1),sup 1 i,inf 2 M
M + (^) i,sup
1 (i + 1),inf 2 M
tramo superior do pav. i
tramo inferior do pav. i
Figura 9 – Distribuição dos momentos fletores no pilar extremo.
Os momentos fletores são os seguintes:
vig inf sup
inf sup lig eng r r r
r r M M
Eq. 8
vig inf sup
sup sup eng r r r
r M M
(^) Eq. 9
vig inf sup
inf inf eng r r r
r M M
Eq. 10
com: rinf = rigidez do lance inferior do pilar;
rsup = rigidez do lance superior do pilar;
rvig = rigidez do tramo extremo da viga;
Meng = momento de engastamento perfeito da viga no pilar extremo, considerando
engastamento perfeito no pilar intermediário.
A rigidez é a razão entre o momento de inércia da seção transversal e o comprimento do
elemento:
i
i i
r
Eq. 11
onde: ri = rigidez do elemento i no nó considerado.
No caso da rigidez da viga, i é o vão efetivo entre o apoio extremo e o apoio intermediário.
No caso da rigidez do pilar, i é tomado como a metade do comprimento equivalente do lance do
pilar, como indicado na Figura 10.
2
2
Figura 10 – Aproximação em apoios extremos.
O método de cálculo com aplicação da Eq. 8 , Eq. 9 e Eq. 10 é simples de ser feito e não
requer computadores e programas. Segundo a NBR 6 118 (14.6.6.1), “ Alternativamente, o modelo
de viga contínua pode ser melhorado, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga,
mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários. ” E ainda: “ A
adequação do modelo empregado deve ser verificada mediante análise cuidadosa dos resultados
obtidos. Cuidados devem ser tomados para garantir o equilíbrio de momentos nos nós viga-pilar,
especialmente nos modelos mais simples, como o de vigas contínuas. ”
No caso de introduzir a rigidez à flexão dos pilares extremos, a viga fica vinculada ao apoio
extremo por meio de um engastamento elástico (mola). Esta solução é mais consistente que a opção
anterior, porém, o cálculo manual fica dificultado.
A rigidez à flexão da mola é avaliada pela equação:
Kmola = Kp,sup + Kp,inf Eq. 12
onde: Kp,sup = rigidez do lance superior do pilar extremo;
Kp,inf = rigidez do lance inferior do pilar extremo;
sendo:
sup
sup p,sup
e
inf
inf p,inf
Eq. 13
com: E = Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto;
I = momento de inércia do lance do pilar;
sup e inf = comprimento equivalente dos lances superior e inferior do pilar, respectivamente,
tomados com valor sup /2 e inf / 2 (ver Figura 10 ), conforme item 14.6.6.1 da
NBR 6118.
O coeficiente quatro na Eq. 13 é para o caso de uma barra com vínculos de apoio simples e
engaste perfeito nas extremidades. No caso de ambos os vínculos serem apoios simples (barra
biarticulada), o coeficiente é três.
Nos pavimentos tipos de edifícios, como os pilares têm as mesmas características (seção
transversal, concreto, altura, etc.) tem-se Kp,sup = Kp,inf , e:
Kmola Eq. 14
Segundo a NBR 6118 (item 18.3.6), “ Nas proximidades de cargas concentradas
transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo ou em
parte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspensão ”.
Antes de se definir o que é armadura de suspensão é necessário definir o tipo de apoio, se
direto ou indireto. No apoio direto, como mostrado na Figura 12 , a carga da viga vai direto para o
apoio, como no caso de um pilar, por exemplo. No apoio indireto, a carga caminha da viga que é
suportada para a parte inferior da viga que serve de suporte.
Figura 12 – Apoios diretos e indiretos (FUSCO, 2000).
Segundo FUSCO (2000), “ nos apoios indiretos, o equilíbrio de esforços internos da viga
suporte exige que no cruzamento das duas vigas haja uma armadura de suspensão, funcionando
como um tirante interno, que levanta a força aplicada pela viga suportada ao banzo inferior da
viga suporte, até o seu banzo superior. ” A força F no tirante interno está indicada na Figura 13. A
armadura de suspensão deverá ser dimensionada de modo a transmitir ao banzo superior a
totalidade da reação de apoio da viga que é suportada.
Figura 13 – Esquema de treliça em apoios indiretos (FUSCO, 2000).
A Figura 14 mostra diversos esquemas possíveis de apoio de uma viga sobre outra viga. As
trajetórias das fissuras verificadas nesses casos indicam a melhor disposição ou direção a ser dada à
armadura.
Figura 14 – Trajetórias das fissuras em vários casos de apoios indiretos (FUSCO, 2000).
Na Figura 15 estão mostrados os detalhes da armadura de suspensão para os apoios
indiretos. A armadura deve ser posicionada na seção de cruzamento das duas vigas. Como isso
normalmente é difícil de se executar na prática, uma parte da armadura pode ser colocada na região
vizinha ao cruzamento, tão próxima quanto possível.
Quando as duas vigas tiverem a face superior no mesmo nível, a armadura de suspensão
pode ser dimensionada para a força Rtt , de valor:
2
1 tt apoio h
h R R Eq. 19
com: h 1 h 2 ;
h 1 = altura da viga que apoia;
h 2 = altura da viga suporte.
a) há uma parede de vedação sobre a viga em toda a sua extensão, constituída por blocos cerâmicos
de oito furos (de dimensões de 9 x 19 x 19 cm), com espessura final
4 de 23 cm e altura
5 de 2,40 m;
b) a laje é do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de 2, 4 3 kN/m
2 ;
c) ação variável nas lajes de 2,0 kN/m
2 (carga acidental q - NBR 6120);
d) revestimento (piso final) em porcelanato
6 sobre a laje, com piso = 0, 20 kN/m
2 ;
e) a ação do vento e os esforços solicitantes decorrentes serão desprezados, por se tratar de uma
edificação de baixa altura (apenas dois pavimentos), em região não sujeita a ventos de alta
intensidade.
7
A viga VS1 será calculada como uma viga contínua e como um elemento isolado da
estrutura, apenas vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos.
Outras formas de análise podem ser feitas, considerando-se por exemplo a viga VS1 como
sendo parte de um pórtico plano, como aquele mostrado na Figura 17 , ou compondo uma grelha
com as lajes e vigas do pavimento. Neste caso, haveria uma melhor interação com as demais vigas
(VB1 e VC1) e com os pilares de apoio. Uma outra forma possível de cálculo seria considerar toda
a estrutura como um pórtico tridimensional (ou espacial – ver item 9 ), como pode ser feito com a
aplicação de alguns programas computacionais comerciais de cálculo de estruturas de concreto.
13.1. Estimativa da Altura da Viga
Para estimar a altura da viga é necessário considerar inicialmente um vão para a viga, no
caso a distância entre os centros dos pilares de apoio (719 cm). Assim, a altura da viga para
concreto C2 5 pode ser adotada pela Eq. 2 como:
h
ef
cm h = 60 cm
Supõe-se que a parede sob a viga, posicionada no pavimento térreo, na qual a viga VS
ficará embutida, será confeccionada com blocos cerâmicos furados (9 x 19 x 19 cm) posicionados
“deitados”, na dimensão de 19 cm, de modo que a viga deverá ter também a largura de 19 cm, a fim
de facilitar a execução.
8 Assim, a viga será calculada inicialmente com seção transversal 19x60 cm.
13.2. Vão Efetivo
Os vãos efetivos dos tramos 1 e 2 da viga são iguais. Considerando as medidas mostradas na
Figura 16 , de acordo com a Eq. 1 são:
0 , 3 h 0 , 3. 60 18 cm
t / 2 t / 2 19 / 2 9 , 5 cm a a
1 2 1 2 ^ a^1 =^ a^2 =^ 9,5 cm
4 A espessura final, real da parede, pode não coincidir com a espessura da parede especificada no projeto arquitetônico da edificação,
sendo comum as larguras de 15 e 25 cm nesses projetos. A espessura final depende da largura da unidade de alvenaria (bloco, tijolo
maciço, etc.) e das espessuras dos revestimentos (reboco de argamassa, gesso, etc.). (^5) A altura da parede está mostrada na Figura 17 , sendo a distância da face superior da viga VS1 até a face inferior da viga da
cobertura (VC1). 6 Os pisos de porcelanato têm espessuras diferentes, em função do fabricante e principalmente das dimensões das peças, de modo que
o peso específico pode variar muito, devendo ser consultado com o fabricante. 7 Segundo a NBR 6118 (item 11.4.2.1), “ Os esforços solicitantes relativos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se
que sejam determinados de acordo com o prescrito pela ABNT NBR 6123, permitindo-se o emprego de regras simplificadas
previstas em Normas Brasileiras específicas .” 8 Em construções de pequeno porte geralmente as paredes de alvenaria são construídas antes da estrutura de concreto, e para facilitar
a execução é interessante que vigas e pilares tenham espessuras iguais às das paredes, pois assim as tábuas da fôrma podem ser
montadas apenas encostadas na alvenaria.
ef = 0 + a 1 + a 2 = 700 + 9,5 + 9,5 = 719 cm
Quando as dimensões dos pilares na direção do eixo longitudinal da viga são pequenas,
geralmente o vão efetivo é igual à distância entre os centros dos apoios, como ocorreu neste caso.
VS1 (19 x 60)
VS2 (19 x 70)
19/
P
VS3 (19 x 60)
VS4 (19 x 45) VS5 (19 x 45) VS6 (19 x 45)
19/
P
19/
P
19/
P2 P
19/
P
19/
19/
P
P
19/
P
19/ 719 719
523
523
Planta de Fôrma do Pavimento Superior
Esc. 1:
45 16
L1 L
L3 L
Figura 16 – Planta de fôrma do pavimento superior com a viga VS1.
300
255
VB1 (19 x 30) 30
(^19700)
300
tramo 2
60
VS1 (19 x 60)
tramo 1
19/
P
240
60
19
19/
P
VC1 (19 x 60)
19/
P
700 19
cobertura
pav. superior
pav. térreo
viga baldrame
Figura 17 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1.
