RIO GRANDE
2020
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
ESCOLA DE ENGENHARIA
MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES
SÉRIES DE FOURIER
INTEGRAL DE DUHAMEL
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Álvaro Ongaratto Filho – 56968
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VIBRAÇÕES trabalho terceiro bimestre, Exercícios de Mecânica das rochas
trabalho muito bom, excelente. nota máxima
Tipologia: Exercícios
2021
1 / 13
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RIO GRANDE
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
ESCOLA DE ENGENHARIA
MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES
SÉRIES DE FOURIER
INTEGRAL DE DUHAMEL
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Álvaro Ongaratto Filho – 56968
OBJETIVO
Para vibrações forçadas com um grau de liberdade são utilizadas as Séries de
Fourier para encontrar a resposta do sistema. Quando a força externa F(t) é periódica, a
equação é constituída de uma parcela harmônica e é usado o método da superposição de
efeitos em regime permanente para chegar à conclusão.
Com isso, será determinado a seguir a resposta de regime permanente do sistema
massa-mola-amortecedor, submetido a uma força periódica.
1 SÉRIE DE FOURIER
DADOS
𝑠^2
𝑠^3
Para obtenção do resultado é necessário o valor da frequência natural do sistema,
expressa por:
Com os parâmetros criados, é possível aplicar a partir daqui o princípio das
superposições para determinar o valor dos coeficientes a0 e aj. É importante ressaltar que
bj, nesse caso, será igual a zero devido a frequência ser igual a 2ℼ e j ser um número
inteiro, logo sen(2ℼ) = 0.
Resolvendo as integrais, temos:
𝜋^2 𝑗²
Como a força F(t) está sendo aplicada em um sistema massa-mola-amortecedor,
temos sua representação em função desses termos.
mẍ 1 + cẋ 1 + kx 1 =
a 0
No Excel, foram testados valores para aj, com j variando de 1 a 50 e o tempo de -
1 até 1 para visualizar o comportamento da força aplicada, se era coerente com o
comportamento da função (Gráfico 2).
Gráfico 2 – Comportamento da força
Com esses valores dos coeficientes em mãos, aplicamos na solução particular,
atendendo os pré-requisitos necessários.
√^10
Gráfico 3 – Resposta do deslocamento da função
2 INTEGRAL DE DUHAMEL
Foram definidos os parâmetros iniciais que seriam a frequência natural, razões entre
frequências fundamentais e fator de amortecimento, esses princípios são os mesmos descritos
no tópico anterior Série de Fourier. Foi utilizado o Software Maple.
Figura – Programação utilizada no Software Maple
Gráfico – Gráfico da força F(t)
Resultando em um gráfico no seguinte formato Gráfico – Deslocamento com as parcelas das forças somadas (tempo=10 segundos)
Gráfico – Deslocamento com uma escala de tempo maior (tempo=16 segundos)
Nota-se que, com o decorrer do tempo o deslocamento tende a ficar praticamente nulo.
Gráfico – Resposta da aplicação da força no tempo proposto (tempo=5 segundos).
Gráfico – Gráfico da transformada de Laplace da função de Duhamel
Os graficos são similares e apresentam as mesmas características.