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Sistema computacional para análise não linear
de pilares de concreto armado
Software for nonlinear analysis of reinforced concrete columns
Sander David Cardoso Júnior (1); Alio Ernesto Kimura (2)
(1) M.Sc., Eng. Civil - Prof. Instituto Mauá de Tecnologia - Sócio da EGT Engenharia, São Paulo, Brasil. (2) Eng. Civil - Sócio da TQS informática, São Paulo, Brasil. Endereço para correspondência: sander@pcalc.com.br
Resumo
O objetivo principal deste trabalho é apresentar um aplicativo que resolve numericamente o problema da flexão composta oblíqua e explora todos os métodos que a norma ABNT NBR 6118 dispõe para avaliação dos efeitos locais de segunda ordem em pilares. O mesmo também está apto a realizar análise de pilares com resistência característica à compressão do concreto superior a 50 MPa, sendo que, neste caso, foram adotadas as formulações presentes no Projeto de Revisão da ABNT NBR 6118. Tal aplicativo, denominado de P-Calc, foi desenvolvido em linguagem Java e está disponibilizado na página da internet www.pcalc.com.br. Palavra-Chave: pilares de concreto armado; flexão composta oblíqua; não linearidade física e geométrica.
Abstract
The main goal of this study is to show a software for numerical solution to the biaxial bending and axial load problem and examine all methods included in Brazilian Code ABNT NBR-6118 (Design of concrete structures - Procedure) for solving the nonlinear conditions in columns. The software is also able to perform column analysis with concrete characteristic compressive strength greater than 50 MPa adopting, in this case, the formulation proposed in the draft revision of ABNT NBR 6118. This software, named P-Calc, uses Java language and is available in website www.pcalc.com.br. Keywords: reinforced concrete columns; biaxial bending and axial load; physical and geometric nonlinearity.
1 Introdução
O estudo de pilares de concreto armado submetidos à flexão composta oblíqua, considerando corretamente a não linearidade física e geométrica, envolve um grande número de cálculos numéricos e só é viável através de algoritmos computacionais.
Na prática, o que se faz hoje é uma análise oblíqua “simplificada”, onde os efeitos de 2ª ordem são calculados considerando separadamente as duas direções. Somente ao final, deve ser verificada se a composição desses momentos fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida.
Além de passar de forma extremamente sucinta pelos aspectos teóricos já mencionados, este texto apresenta o sistema computacional desenvolvido para análise de pilares de concreto armado, onde são mostradas suas principais características, juntamente com uma breve validação de seus resultados.
2 Flexão composta oblíqua
Normalmente, em estruturas de concreto armado, os pilares estão submetidos a solicitações compostas por um esforço normal agindo fora dos eixos de simetria da seção transversal. O momento fletor causado por esta excentricidade do esforço normal pode ser decomposto em duas direções perpendiculares e coincidentes com os eixos de simetria da seção.
Para uma seção discretizada em n elementos de concreto e m barras de aço, as equações de equilíbrio da seção submetida à flexão composta oblíqua podem ser expressas conforme a Figura 1 a seguir:
1 1
n m ci ci sj cj sj i j
N A A (Equação 1)
1 1
n m x ci ci ci sj cj sj sj i j
M A y A y (Equação 2)
1 1
n m y ci ci ci sj cj sj sj i j
M A x A x (Equação 3)
com: i = 1, 2,... n elementos de concreto; j = 1, 2,... m barras de aço.
Figura 1: Discretização da seção de concreto e equações de equilíbrio
Nas equações 1 a 3, os valores de tensões na armadura ( sj ) e no concreto ( ci e cj ) são
dados através dos diagramas tensão-deformação dos materiais. Para o aço pode ser adotado o diagrama bi-linear presente no item 8.3.6 da ABNT NBR 6118:2007. Já para o concreto, o projeto de revisão da ABNT NBR 6118 incorpora alterações no diagrama tensão-deformação do concreto, de modo que este passa a considerar também concretos de alta resistência (CAR), conforme a Figura 2.
Figura 2: Diagrama parábola-retângulo para concreto à compressão (Projeto de Revisão da ABNT NBR 6118)
Na análise de pilares de concreto armado, a consideração da não linearidade física e geométrica de forma não aproximada envolve um grande número de cálculos numéricos e só é viável através de algoritmos computacionais. Para contornar esta dificuldade, diversos métodos que tratam o problema de maneira aproximada são encontrados na literatura e em normas de projeto.
A norma ABNT NBR 6118 apresenta os seguintes métodos para consideração dos efeitos locais de 2ª ordem:
Pilar-padrão com curvatura aproximada;
Pilar-padrão com rigidez aproximada;
Pilar padrão acoplado a diagramas M-N-1/r; Método geral.
Cada um desses métodos possui limitações próprias, e por isso, podem ser aplicados desde que a esbeltez do pilar esteja dentro de determinados limites.
4 Sistema P-Calc
O programa, implementado na linguagem Java®, foi desenvolvido para análise de pilares submetidos à flexão composta oblíqua com a consideração da não linearidade física e geométrica. O usuário pode escolher entre os quatro métodos propostos pela ABNT NBR 6118 para consideração destes efeitos locais de 2ª ordem.
4.1 Janela principal
A janela principal do aplicativo, Figura 5, é organizada de uma forma prática, com acesso rápido a todas as entradas de dados e saída de resultados.
Figura 5: Janela principal do P-Calc
4.2 Entrada de dados
A entrada de dados do programa está dividida em três partes:
a) Geometria Nesta janela são informados o tipo de seção transversal, a vinculação do pilar bem como seu comprimento e a resistência à compressão do pilar fck.
Inicialmente, estão disponíveis as seguintes seções transversais:
Figura 6: Tipos de seções transversais
Os tipos de vinculações disponíveis são: pilar em balanço e pilar biapoiado. Ainda, é possível fazer uma análise somente da seção transversal, na opção única seção.
b) Armação A armação é inserida por meio de coordenada, informando seu diâmetro. Esta pode ser inserida individualmente ou por uma linha de barras, informando a quantidade de barras e as coordenadas das barras inicial e final da linha.
c) Solicitações Como entrada de solicitações são informados a força normal e os momentos no topo e na base segundo as direções x e y. Ainda, é possível resolver de forma simultânea mais de uma combinação de solicitações, com o programa identificando a combinação mais desfavorável.
4.3 Saída de resultados
Basicamente, os resultados e verificações do programa são apresentados na seguinte forma:
a) Diagrama de interação A verificação quanto ao Estado Limite Último se faz por meio do diagrama de interação, que são curvas envoltórias resistentes. Se um ponto, representado pelos pares de momentos solicitantes de cálculo, cair dentro do diagrama, a segurança estará garantida, pois os esforços solicitantes são inferiores aos esforços resistentes. Analogamente, se o ponto cair fora do diagrama, a segurança não estará garantida. Um esquema desta verificação é apresentado na Figura 7.
5 Exemplo numérico
Nos próximos subitens serão construídos alguns exemplos numéricos para uma seção de concreto armado típica, variando a resistência característica à compressão do concreto e a força normal de cálculo atuante. Em todos os exemplos a geometria da seção transversal e a armação serão constantes, de tal forma que é possível fazer as seguintes considerações iniciais:
Figura 11: Seção típica para os exemplos numéricos
5.1 Exemplo numérico: Flexão composta oblíqua
Com o intuito de validar o sistema desenvolvido, foram comparados diagramas de interação obtidos utilizando os sistemas P-Calc e CAD/TQS. Estes diagramas são apresentados nas Figuras 12 a 14 e foram obtidos considerando concreto com fck de 30, 60 e 90 MPa , com solicitação normal de cálculo igual a -2000 kN e -4000 kN.
Figura 12: Diagrama de interação para concreto com fck igual a 30 MPa ( P-Calc; CAD/TQS)
Figura 13: Diagrama de interação para concreto com fck igual a 60 MPa ( P-Calc; CAD/TQS)
Figura 14: Diagrama de interação para concreto com fck igual a 90 MPa ( P-Calc; CAD/TQS)
5.2 Exemplo numérico: Diagrama N, M, 1/r
Novamente com o intuito de validar o sistema desenvolvido, serão comparados diagramas N, M, 1/r obtidos utilizando os sistemas P-Calc e CAD/TQS. Estes diagramas são apresentados nas Figuras 15 a 17 e foram obtidos considerando concreto com fck de 30, 60 e 90 MPa com tensão de pico do concreto igual a 0,85 fcd , e solicitação normal de cálculo igual a -2000 kN e -4000 kN.
Figura 15: Diagrama N, Mx, 1/r para concreto com fck igual a 30 MPa ( P-Calc; CAD/TQS)
Figura 16: Diagrama N, Mx, 1/r para concreto com fck igual a 60 MPa ( P-Calc; CAD/TQS)
O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:
2 , 1 , 1 ,
1 10
e MSd tot (^) b M (^) d A Nd (^) r Md A (Equação 4)
onde, b é um coeficiente procura levar em conta o tipo de vinculação nos extremos do pilar, bem como a forma do diagrama de momentos fletores;
M1d,A =150 kNm , é o maior valor absoluto do momento de 1ª ordem ao longo do pilar biapoiado;
l e = 6 m , é o comprimento equivalente do pilar;
1/r é a curvatura do pilar na seção crítica.
Solução:
- Para pilares biapoiados, o coeficiente b é dado pela seguinte expressão:
50 0,60 0,40 0,60 0,40 0, 150
B b A
M M (Equação 5)
Sendo que para pilares biapoiados, MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Sendo MA o maior valor absoluto entre estes momentos e, consequentemente, MB o outro momento, com sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário.
- A curvatura 1/r pode ser dada de forma aproximada pela seguinte expressão:
1 0,005 0, 0,01304 0, r h ( 0,5) h
(Equação 6)
Com, h = 0,3 m , é a altura da seção na direção considerada;
0, 0,3 0,6 30.000 / 1,
Sd c cd
N A f
, é o esforço normal reduzido.
- Momento total máximo para o método pilar padrão com curvatura aproximada é dado pela Equação 4: 2 , 1 , 1 , 2 ,
1 10
0,7333 150 3000 6 0, 10
e Sd tot b d A d d A
Sd tot
M M N M r
M
MSd tot (^) , 250,87 kNm
A Figura 19 apresenta os resultados obtidos para este exemplo utilizando o sistema P-Calc.
Figura 19: Resultados do P-Calc com método pilar padrão com curvatura aproximada
5.3.2 Pilar padrão com rigidez aproximada
Este método pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com ≤ 90, seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.
O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela Equação 7:
2 , 1 ,
4.. Sd tot (^) 2. d A
B B AC M M A
^ (Equação 7)
MSd tot (^) , 238,14 kNm
Onde, A 5 h 5 0,3 1 ,5 ;
(^2 ) 2 2 1 ,
3000 6 5 = 0,3 3000 5 0,3 0,7333 150 232, 320 320
d e d b d A
N B h N h M ;
C N hd^2 ^ b M 1 , d A = 3000 0,3^2 0,7333 150 29700,.
A Figura 20 apresenta os resultados obtidos para este exemplo utilizando o sistema P- Calc.
Figura 20: Resultados do P-Calc com método pilar padrão com rigidez aproximada
5.3.4 Método geral
Este método pode ser empregado no cálculo de pilares com ≤ 200, sendo obrigatório para > 140. Onde, novamente, é obrigatória a consideração dos efeitos da fluência para > 90.
No método geral a consideração da não linearidade geométrica deve ser feita de maneira não aproximada, com a não linearidade física considerada através da relação momento- curvatura real em cada seção.
Existem diferentes maneiras de considerar a não linearidade geométrica de forma não aproximada. O sistema P-Calc efetua sucessivas integrações numéricas da linha elástica, acrescentando a cada iteração os valores de momentos de 2ª ordem. Se o pilar for estável, esse processo é repetido inúmeras vezes até o acréscimo de esforços e deslocamentos tender a zero.
Conforme o item 15.3.1 da ABNT NBR 6118, os efeitos de 2ª ordem podem ser calculados com as cargas majoradas por f / f3 , que posteriormente são majoradas por f. A Figura 23 apresenta um esquema para o cálculo dos deslocamentos. Já a Tabela 1, apresenta os resultados em termos de deslocamento e esforços, considerando f3. = 1,1 e a rigidez obtida na Figura 21 ( EIsec = 27687 kN.m ²).
Tabela 1: Cálculo dos momentos totais pelo método geral
i (^) [m] zi [m]^ wi [kNm]^ M^ Sd1^ M^ Sd2 [kNm]^ = wi^ .Nsd
M Sd,tot = M Sd1 +M Sd [kNm] 1 6 0 -50 0 - 2 5.4 -0.0071 -60 -21.3 -81. 3 4.8 -0.0133 -70 -39.9 -109. 4 4.2 -0.0182 -80 -54.6 -134. 5 3.6 -0.0216 -90 -64.8 -154. 6 3 -0.0231 -100 -69.3 -169. 7 2.4 -0.0226 -110 -67.8 -177. 8 1.8 -0.0201 -120 -60.3 -180. 9 1.2 -0.0154 -130 -46.2 -176. 10 0.6 -0.0087 -140 -26.1 -166. 11 0 0 -150 0 - Figura 23: Configuração de equilíbrio
A Figura 24 apresenta os resultados obtidos para este exemplo utilizando o sistema P-Calc.
Figura 24: Resultados do P-Calc com método geral
6 Considerações finais
Este trabalho apresentou um aplicativo desenvolvido para auxiliar o estudo de pilares de concreto armado, seja como uma ferramenta auxiliar na atividade profissional de um Engenheiro ou como uma ferramenta didática no ensino acadêmico. Além de permitir uma análise da flexão composta oblíqua sem o uso de ábacos, explora a consideração da não linearidade física e geométrica na avaliação dos efeitos locais de segunda ordem em pilares de acordo com todos os métodos adotados pela ABNT NBR 6118.
Foram comparados alguns resultados obtidos através deste programa computacional com os obtidos pelo sistema CAD/TQS, sendo que, tanto para curvas momento resistente quanto para curvas N, M, 1/r, os programas apresentaram uma excelente correlação. Porém, ressalta-se que apesar de inicialmente o programa apresentar bons resultados, este deve ser mais testado.
Em relação ao exemplo 5.3, onde o mesmo pilar foi resolvido por todos os métodos adotados pela ABNT NBR 6118,verifica-se que existem diferenças significativas entre seus resultados, sendo que para alguns casos, o pilar chega a não atender a condição de Estado Limite Último. A Tabela 2 apresenta de forma resumida estes resultados.
Tabela 2: Resumo dos resultados do exemplo 5. Método EI [ kN.m ²] M sd,tot,x [ kN.m ] Msd≤Mrd Pilar padrão com curvatura aproximada 19241 250,9^ Não Pilar padrão com rigidez aproximada 20072 238,1^ Não Pilar padrão aclopado com diagrama N,M,1/r^27687 179,4^ Sim
Método geral 27687 180,2 Sim
