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Essa expressão pode ser utilizada para determinar o comprimento do arco de uma circunferência de raio r e ângulo central α em graus. Nesses casos utilize π = 3, ...
Tipologia: Notas de estudo
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Tarefa 2
Cursista: Francisco Anisio de Oliveira Coelho
Tutora: Analia Maria Ferreira Freitas
HABILIDADE RELACIONADA: Converter em graus a medida de um arco dado em radianos, a qual não exceda duas voltas da circunferência unitária. Converter em radianos a medida de um arco dado em graus, a qual não exceda duas voltas da circunferência unitária. H21 - Transformar graus em radianos ou vice-versa.
de unidade (grau, minuto e segundo), plano cartesiano e circunferência.
trigonometria e lousa.
OBJETIVOS: Demonstrar os tópicos que serão usados para o estudo de trigonometria na circunferência, fazendo com que os alunos reconheçam o círculo trigonométrico, fenômenos cíclicos, o grau, o radiano e suas transformações. METODOLOGIA ADOTADA: Apresentar os vídeos com exemplos variados do conteúdo "trigonometria na circunferência". Em seguida, abordar os tópicos descritos a seguir.
A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos
trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições:
Se α = 0, P coincide com A. Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário. Se α < 0, o sentido do círculo será horário. O comprimento do arco AP será o módulo de α.
Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:
Dada uma circunferência de centro O, raio r e dois pontos A e B pertencentes à circunferência, temos que a distância entre os pontos assinalados é um arco de circunferência. O comprimento de um arco é proporcional à medida do ângulo central, quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor o comprimento do arco.
Para determinarmos o comprimento de uma circunferência utilizamos a seguinte expressão matemática: C = 2πr. A volta completa em uma** circunferência é representada por 360º. Vamos realizar uma comparação entre o comprimento da circunferência em medida linear (ℓ) e medida angular (α), observe:
linear angular 2πr 360º ℓ α
Essa expressão pode ser utilizada para determinar o comprimento do arco de uma circunferência de raio r e ângulo central α em g raus. Nesses casos utilize π = 3,14.
Caso o ângulo central seja dado em radianos, utilizamos a seguinte expressão: ℓ = α * r.
Exemplo 1
Determine o comprimento de um arco com ângulo central igual a 30º contido numa circunferência de raio 2 cm.
ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º ℓ = 188,40 / 180 ℓ = 1,05 cm
O comprimento do arco será de 1,05 centímetros.
Exemplo 4
Um pêndulo de 15 cm de comprimento oscila entre A e B descrevendo um ângulo de 15º. Qual é o comprimento da trajetória descrita pela sua extremidade entre A e B?
ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º ℓ = 706,5 / 180 ℓ = 3,9 cm
O comprimento da trajetória entre A e B é de 3,9 centímetros.
Uso da trigonometria na construção de estradas
Na construção de estradas e linhas férreas é essencial a utilização da trigonometria, principalmente nas situações que envolvem mudanças de direções. As curvas são projetadas com base em modelos de arcos de circunferência e na medida do ângulo central (relativo à curva). Vamos através de alguns exemplos demonstrar o cálculo efetuado no intuito de determinar o comprimento da curva.
Exemplo 1
O projeto de uma estrada demonstra uma curva com o formato de um arco de circunferência com raio medindo 200 metros. Do ponto A (início da curva) até o ponto B (término da curva) a estrada mudou sua direção em 40º. Qual será o comprimento da curva?
Quando medimos o ângulo de um arco utilizamos como unidade o grau ou o radiano. Temos que 1º (um grau) possui 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) possui 60” (sessenta segundos). Uma circunferência possui 360 arcos de abertura igual a 1º. No caso da medida em radianos, dizemos que o arco mede um radiano (1 rad) se o seu comprimento for igual ao comprimento do raio da circunferência que se encontra o arco medido.
Α tabela a seguir mostra algumas relações entre as unidades em graus e radianos.
Na conversão de graus para radianos utilizamos uma regra de três simples, por exemplo:
20º em radianos
graus radianos 20º x 180º π rad
15º em radianos
graus radianos 15º x 180º π rad
120º em radianos
graus radiano 120º x 180º π rad
150º em radianos
graus radiano 150º x 180º π rad
Os estudos relacionados aos arcos trigonométricos possuem aplicações no contexto da Física, principalmente nas situações envolvendo movimentos circulares. Na Física, alguns corpos desenvolvem trajetórias circulares, dessa forma eles percorrem espaços em determinados tempos, possuem velocidade angular e aceleração. Vamos considerar um móvel em trajetória circular de raio R e centro C,
com sentido anti-horário, considerando O a origem dos espaços e P a posição do móvel em determinado instante. Veja ilustração:
Vamos determinar o espaço angular (φ) e a velocidade angular média (ωm) do móvel.
Espaço angular (φ)
É dado pela abertura de vértice C, correspondente ao arco de trajetória OP. Nesse caso OP é o espaço s e o ângulo φ é fornecido em radianos (rad).
É a relação existente entre a variação de espaço angular (∆φ = φ 2 – φ1) e a variação do tempo levado para percorrer o espaço (∆t = t2 – t1).
Temos que uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, de acor do com a ilustração a seguir:
Note que o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes, facilitando a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação:
1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º. 2º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 90º < α < 180º. 3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α <270º. 4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º.
Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa
informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa) , o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil.
Exemplo 1
Determinar a localização principal do arco de 4380º utilizando a regra prática.
4380º : 360º é correspondente a 4320º + 60º, portanto, o resto da divisão é igual a 60º que é a determinação principal do arco, dessa forma, sua extremidade pertence ao 1º quadrante.
Exemplo 2
Qual a determinação principal do arco com medida igual a 1190º?
1190º : 360º, a divisão possui resultado igual a 3 e resto 110, concluímos que o arco possui três voltas completas e extremidade no ângulo de 110º, pertencendo ao 2º quadrante.
Arcos Côngruos
Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as medidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero.
