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TRELIÇAS
São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós.
Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.
Existem alguns �pos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o
Método dos Nós, Método Ri�er ou Métodos das seções.
Nesta apos�la, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós.
Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a
condição de Isostá�ca da Treliça, sendo o primeiro passo.
Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais
esforços serão denominados de N.
1º Condição de Treliça Isostá�ca:
- n = b + ѵ Sendo
2º Calcular as Reações de Apoio (Ver�cal e Horizontal): ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
Por convenção usaremos: no sen�do horário no sen�do an�-horário
3º Métodos dos Nós
Quando calculamos os esforços, admi�mos que as forças saem dos nós e nos próximos
nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais.
Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos
nós, pois as forças das reações horizontais e ver�cais devem ser inseridos na equação
considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de
sinais para tais reações.
Calma, nos exercicios verá que é fácil.
Por Convenção os sinais das forças das barras são: + TRAÇÃO
- COMPRESSÃO
Treliça Esquemá�ca
Exercícios
1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos
Nós.
1º Passo Condição de Isostá�ca
2.n = b+ν 2.6 = 9+ 12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0 VA+VE = 200 KN VA = 400÷ 100+VE = 200 KN VA = 100 KN VE = 200- VE = 100 KN
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “A” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
Nó “E” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NED+100 = 0 0-HE = 0
NED = -100 KN HE = 0 KN
Nó “D” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0 -50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0 -50-50+100 = 0 50-50 = 0 0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS
(KN)
ESFORÇO
NAB -100 COMPRESSÃO
NED -100 COMPRESSÃO
NAF 0 -
NEF 0 -
NBC -50 COMPRESSÃO
NDC -50 COMPRESSÃO
NBF 70,7 TRAÇÃO
NDF 70,7 TRAÇÃO
NCF -100 COMPRESSÃO
2º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos
Nós.
1º Passo Condição de Isostá�ca
2.n = b+ν 2.5 = 7+ 10 = 10 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0
60+HB = 40 -HA.2+120 = 0
HB = 40-60 HA = 120÷
HB = -20 KN HA = 60 KN
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “B” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57° = 0 20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 0 NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57° NBC = 22,36 KN
Nó “A” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAB+NAC.sen26,57° = 0 HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0 10+NAC.sen26,57° = 0 60+(-22,36).cos26,57°+NAE = 0 NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0 NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN
Nó “E” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEC = 0 -NEA+NED = 0
-(-40)+NED = 0
NED = -40 KN
Nó “C” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
3º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos
Nós.
1º Passo Condição de Isostá�ca
2.n = b+ν 2.8 = 13+ 16 = 16 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4= VA = 6-3 VB = 48÷ VA = 3 t VB = 3 t
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “1” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0 N13.sen36,87°+3 = 0 0+(-5).cos36,87°+N12 = 0 N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t N13 = -5 t
Nó “2” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N23 = 0 -N21+N24 = 0
-4+N24 = 0
N24 = 4 t
Nó “3” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0 -2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(-5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0 -N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 = 0 (-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = - N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87° N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5 ”2”
Sistema de Equações Subs�tuindo na equação “1” ou “2” “1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = - “2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = - 2N34 = -3,33 N35 = -5+1, N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t N34 = -1,67 t
Nó “5” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 -N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0 -2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(-3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0 -2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87° = 0 N54 = 2 t N57 = -2,66÷cos36,87° N57 = -3,33 t
Nó “4” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46-N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0
4º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos
Nós.
1º Passo Condição de Isostá�ca
2.n = b+ν 2.7 = 11+ 14 = 14 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2= HA = -HB HA = 24÷ HB = -8 t HA = 8 t
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “5” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57° = 0 6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° = 0 -N51+6-4 = 0 N56 = 8÷cos26,57° N51 = 2 t N56 = 8,94 t
Nó “1” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N15+N16.sen45° = 0 HA+N12+N16.cos45° = 0 2+N16.sen45° = 0 8+N12+(-2,83).cos45° = 0
N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0 N16 = -2,83 t N12 = - 6 t
Nó “6” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°-N61.cos45°+N67.cos26,57°= -2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(-2,83).cos45°+N67.cos26,57°= -2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0 N62 = 1 t N67 = 6÷cos26,57° N67 = 6,7 t
Nó “2” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° = 0 1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(-2,23).cos26,57° = 0 N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0 N27 = -2,23 t N23 = -4 t
Nó “3” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N37 = 0 -N32+N34 = 0
-(-4)+N34 = 0
N34 = -4 t
Nó “7” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
5º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos
Nós.
1º Passo Condição de Isostá�ca
2.n = b+ν 2.5 = 7+ 10 = 10 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA = 0 VA+VB = 10+20 -VB.2,4+20.1,8+10.0,6= VA+17,5 = 30 VB = 42÷2, VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN VA = 12,5 KN
3º Passo Método dos Nós
Nó “A” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAC.sen53,13° = 0 HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0 12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-15,63).cos53,13° = 0 NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN NAC = -15,63 KN
Nó “C” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°= -10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(-15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°= -10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88 = 0 NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26 KN NCE = 3,13 KN
Nó “E” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-NEC.cos53,13° = 0 3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-(+3,13).cos53,13° = 0 NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 = 0 NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN
Nó “D” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°-NDC+NDB.cos53,13°= -20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(-21,88).cos53,13°= -20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13 = 0 NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0 NDB = -21,88 KN
Nó “B” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NBA = 0 HB+NBD = 0
400+NBD = 0
NBD = -400 KN
Nó “A” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0 225-0-NAD.sen36,87° = 0 -400+NAC+375.cos36,87 = 0 NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN NAC = 375 KN
Nó “D” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0 375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0 NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0 NDE = -100 KN
Nó “C” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°= -150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0 -150+225-NCE.sen36,87° = 0 -100+100 = 0 NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0 NCE = 125 KN
Nó “E” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0 -75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0 -75+75 = 0 -100+100 = 0 0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS
(KN)
ESFORÇO
NBA 0 -
NBD -400 COMPRESSÃO
NAD 375 TRAÇÃO
NAC 100 TRAÇÃO
NDC -225 COMPRESSÃO
NDE -100 COMPRESSÃO
NCE 125 TRAÇÃO
7º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos
Nós.
1º Passo Condição de Isostá�ca
2.n = b+ν 2.8 = 13+ 16 = 16 OK
2º Passo Reações de Apoio
NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0 NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6, (NBC-NBG).sen30° = 0 (NBC+NBG).cos30° = -6, NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = -6,9÷cos30° NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8 ”2”
Sistema de Equações Subs�tuindo na equação “1” ou “2” “1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0 “2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0 2NBC = -8 NBG = -4 KN NBC = -8÷ NBC = -4 KN
Nó “C” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 -NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0 -(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° = 0 2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30° = 0 NCG = 4 KN NCD = -3,5÷cos30° NCD = -4 KN
Nó “G” Forças Ver�cais (V) Forças Ver�cais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°-NGF+NGH = 0 -4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°-6,9+NGH = 0 NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5-6,9+NGH = 0 NGD = -4 KN NGH = 6,9 KN
Por simetria dos carregamentos e das caracterís�cas das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas.
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS
(KN)
ESFORÇO
NAB = NED -8 COMPRESSÃO
NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO
NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO
NFB = NHD 4 TRAÇÃO
NBC = NDC -4 COMPRESSÃO
NBG = NDG -4 COMPRESSÃO
NCG 4 TRAÇÃO
