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Capítulo 6 - Treliças
6.1. Definição
Denomina-se treliça plana, o conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, cantoneiras, I, U, etc.), interligados entre si, sob forma geométrica triangular, através de pinos, soldas, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de resistir a esforços normais apenas. A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc. Dois métodos de dimensionamento podem ser utilizados para as treliças:
- Método dos Nós ou Método de Cremona
- Método de Ritter ou Método das Seções (analíticos e usados com maior freqüência)
6.2. Métodos dos Nós ou Método de Cremona
A resolução de treliças planas pelo método dos nós consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, seguindo-se os passos descritos a seguir:
(a) determinação das reações de apoio
(b) identificação do tipo de solicitação em cada barra (barra tracionada ou barra comprimida)
(c) verificação do equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando-se sempre os cálculos pelo nó que tenha o menor número de incógnitas.
Exemplo 1
Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.
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Solução
(a) Cálculo das reações de apoio
As reações de apoio em VA e em VB são iguais, pois a carga P está aplicada simetricamente aos apoios. Portanto,
P
V A =VB=
(b) Identificação dos esforços nas barras
As barras 1 e 5 estão comprimidas, pois equilibram as reações de apoio. A barra 3 está tracionada, pois equilibra a ação da carga P no nó D. As barras 2 e 4 estão tracionadas, pois equilibram as componentes horizontais das barras 1 e 5.
(c) Cálculo dos esforços nas barras
Inicia-se o cálculo dos esforços pelo nó A, que juntamente com o nó B é o que possui o menor número de incógnitas.
∑ Fy=^0
= α α
= cossec 2
P
2 sen
P
F 1
∑ Fx=^0
F (^2) = F 1 cos α
= α α
α = cotg 2
P
sen
cos 2
P
F 2
Determinada a força na barra 2, o nó que se torna mais simples para os cálculos é o nó D.
∑ Fy=^0
F 3 =P
∑ Fx=^0
= = cotg α 2
P
F 4 F 2
Para determinar a força normal na barra 5, utiliza-se o nó B.
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Agora, pode-se utilizar a equação do somatório das forças verticais para obter- se a reação vertical no apoio B.
V (^) A +VB= 20 ⇒VA= 7 , 75 kN
E finalmente, aplicando-se a equação do somatório das reações horizontais igual a zero, tem-se,
∑H^ =^0 ⇒HA −^6 =^0 ⇒HA=^6 kN
(b) Cálculo dos esforços nas barras
Inicia-se o cálculo dos esforços pelo nó A, que juntamente com o nó B é o que possui o menor número de incógnitas.
∑ Fy=^0
12 , 9 kN 0 , 6
F
F sen37º V
1
1 A
∑ Fx=^0
F 2 =HA+F 1 cos 37 º
F 2 = 6 + 12 , 9. 0 , 8 = 16 , 3 kN
Determinada a força F 2 , o nó que se torna mais simples para prosseguir os cálculos é o nó C.
∑ Fx=^0
F 4 = F 2 = 16 , 3 kN
∑ Fy=^0
F 3 = 20 kN
Para determinar a força normal na barra 5, utiliza-se o nó B.
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∑ Fy=^0
F 5 sen 37 º=VB
F 5 = 20,42 kN
Exemplo 3
Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.
Solução
O ângulo α formado pelas barras 1 e 2 e pelas barras 4 e 5 deve ser determinado:
tg α = ⇒α= (sen 53º = 0,80 e cos 53º = 0,60)
A C B
D E
VA VB
HA αααα^ αααα
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∑ Fy=^0
F 3 cos37º=F 1 cos37º
F 3 = F 1 = 22 , 5 kN
∑ Fx=^0
F 4 = (F 1 +F 3 ) sen37º
F 4 = ( 2. 22 , 5 ). 0 , 6 = 27 kN
O nó B é conveniente para os cálculos das forças nas barras 6 e 7.
∑ Fy=^0
F 7 sen 53 º=VB
27,5 kN 0 , 8
F 7 = =
∑ Fx=^0
F 6 =F 7 cos53º=27,5.0,6=16,5kN
Finalmente, efetuando-se o equilíbrio do nó E, determina-se a força na barra 5.
∑ Fy=^0
F 5 cos 37 º=F 7 cos 37 º
F 5 =F 7 =27,5 kN
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6.3. Métodos das Seções ou Método de Ritter
Para determinar as cargas axiais atuantes nas barras de uma treliça plana, através do método de Ritter, deve-se proceder da seguinte forma:
(a) corta-se a treliça em duas partes; (b) adota-se uma das partes para verificar o equilíbrio, ignorando-se a outra parte até o próximo corte. Ao cortar a treliça deve-se observar que o corte a intercepte de tal forma, que se apresentem no máximo 3 incógnitas, para que possa haver solução, através das equações de equilíbrio. É importante ressaltar que entrarão nos cálculos, somente as barras da treliça que forem cortadas, as forças ativas e reativas da parte adotada para a verificação de equilíbrio. (c) Repetir o procedimento, até que todas as barras da treliça estejam calculadas.
Neste método, pode-se considerar inicialmente todas as barras tracionadas, ou seja, barras que “puxam” os nós, as barras que apresentarem sinal negativo nos cálculos, estarão comprimidas.
Exemplo 4
Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.
Solução
A altura h é determinada através da tangente de 53º:
h =tg 5 3º⇒h≈1,33m
(a) Cálculo das reações de apoio
Devido à simetria da estrutura e do carregamento, VA = VB = P / 2
(b) Cálculo dos esforços nas barras
Para determinar a carga axial nas barras 1 e 2, aplica-se o corte AA na treliça e adota-se a parte à esquerda do corte para verificar o equilíbrio.
P
h
A B
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Exemplo 5
Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.
Solução
O ângulo α é determinado através de sua tangente.
tg α= = ⇒α=
(a) Cálculo das reações de apoio
M Fd 0
n
i 1
∑ A =∑ i i=
= (a priori, adotar-se-á como positivo, o momento no sentido horário)
−VB ( 6 )+ 36. 4 + 18. 2 = 0
VB = 30 kN Agora, pode-se utilizar a equação do somatório das forças verticais para obter- se a reação vertical no apoio B.
V (^) A +VB= 54 ⇒VA= 24 kN
+0,375 P 0,375 P
-0,625 P 0,625 P 0,625 P -0,625 P
-0,75 P
α
A B
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(b) Cálculo dos esforços nas barras
Através do corte AA, determina-se as cargas axiais nas barras 1 e 2.
∑ Fy=^0
F
F sen45º 24 0
1
1
F 1 = -33,95 kN (barra comprimida)
∑ Fx=^0
F 2 +F 1 cos 45 º= 0
F 2 =-F 1 cos45º=− (- 33,95). 0 , 707
F 2 = + 24 kN (barra tracionada)
Aplica-se o corte BB na treliça, e adota-se a parte à esquerda para cálculo, para que se determine a força axial nas barras 3 e 4.
∑ Fy=^0
F 3 = + 24 kN (barra tracionada)
∑ MD=^0
2 F 4 +24.2= 0 ⇒F 4 =− 24 kN
(barra comprimida)
Para determinar as forças nas barras 5 e 6, aplica-se o corte CC, e adota-se a parte à esquerda do corte para cálculo.
∑ Fy=^0
F 5 sen45º+ 24 - 18 = 0
8 , 49 kN 0 , 707
F 5 =− =−
