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2. Transformadas de Laplace
A transformada de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática.
As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas
dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada é que a
integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que
o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de
equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais
simples de resolver.
Chama-se transformada de Laplace em homenagem ao matemático francês Pierre
Simon Laplace.
2.1 Definição de transformada de Laplace
Seja f = f ( ) t é uma função real ou complexa, definida para todo o t ≥ 0 e o parâmetro
z é um número complexo da forma z = s + iv.
Se, para cada s > 0 , o integral impróprio ( ) ( ) ( )
∫ ∫
+∞ −
→+∞
− A 0
zt (^0) A
zt Fz fte dt lim fte dt
converge, então a função F = F ( z ) definida pelo integral acima, chama-se
transformada de Laplace da função f = f ( t ).
Se o parâmetro z é um número real, isto é, a parte imaginária é zero (v=0), usamos
z = s > 0 e a definição fica na forma ( ) ( )
∫
+∞ (^) −
0
st F s fte dt (1).
A transformada de Laplace depende de s e é representada por uma letra maiúscula
F = F^ ( ) s e a função original que sofreu a transformação depende de t e é
representada por uma letra minúscula f = f (^ t ).
Para representar a transformada de Laplace da função f usa-se a notação
L (^) [ f ( ) t ] = F ( ) s.
Para calcular o integral (1), a variável s é considerada como constante, visto que a
integração é em relação a x.
Exemplo 2.1.
A função degrau unitário (função de Heaviside) é muito importante neste contexto e é
definida por ( )
0 set 0
1 set 0 u t.
A transformada de Laplace da função degrau unitário (com s > 0 ) é
L [ ( )] ( )
s
1
s
1
s
e lim s
e ut ute dt lim e dt lim
sA
A
A
0
st
A
A
0
st (^0) A
st
⎥
⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢ ⎣
⎡
−
− −
= ⎥
⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢ ⎣
⎡
−
= = =
−
→+∞
−
→+∞
−
→+∞
Exercícios 2.1.
1. Determine a transformada de Laplace de f ( x ) = 1.
2. Determine a transformada de Laplace de f (^ x )^ = t.
- Determine L{^ }
at e (^).
4. Determine L{ sen ( at) }.
No exemplo 2.1.1 falamos da função de Heaviside que é um sinal que pode ser
representado graficamente como na figura seguinte:
Temos ainda, outros sinais que irão ser importantes no seguimento do estudo das
transformadas de Laplace. São eles:
É caracterizado matematicamente por ( )^
≥τ
≤ <τ
0 t
B 0 t
0 t 0
x t e é representada
geometricamente pelo gráfico seguinte:
t
u(t)
t
x(t)
B
Aos valores de s em que se verifica a condição de existência da transformada de
Laplace chama-se região de convergência da transformada.
Por exemplo, L [ ( )]
s
1 u t = só existe se^ s^ >^^0.
2.3 Tabela de transformada de Laplace
f ( ) t F ( s ) Condição
δ ( ) t (impulso unitário) 1 s > 0
u ( ) t (degrau unitário)
s
s > 0
n t (n=1,2,3, …) (^) n 1 s
n!
s > 0
at e s a
s > a
sen ( at )
2 2 s a
a
s > 0
cos^ (^ at )
2 2 s a
s
s > 0
2.4 Propriedades da transformada de Laplace
2.4.1 Linearidade
A transformada de Laplace é uma transformação linear, isto é, dado f ( ) t e g ( t )então
L [ af ( ) t + bg ( ) t ] = aF ( ) s + bG ( ) s para a, b ∈ℜ.
Exemplo 2.4.1:
Pretende-se calcular a transformada de Laplace de f ( t ) 6 e 5 t 8
5 t 3 = + −
− .
( ) s
s
s 5
s
s
s 5
F s 6 3 1 4
2.4.2 Translação ou deslocamento
Se a transformada de Laplace de f = f ( t )é dada por, L [ ( )] ( ) ( )
∫
+∞ (^) − = = 0
st ft Fs fte dt
então, podemos ter:
- L [ e f ( ) t ] F ( s b )
bt = − (translação de f(t) em relação ao plano s)
- L [ (^) f ( (^) t-a )] (^) e F ( ) s − as = (translação de f(t) em relação a t).
Demonstração:
+∞ (^) − +∞ (^) − − = = 0
st sbt 0
bt bt e ft e ft e dt e ftdt
Substituindo s − b =σ, temos que L [ e (^) f ( ) t ] (^) e f ( ) t (^) dt F ( ) (^) F ( (^) s b ) 0
bt t
+∞ (^) −σ .
− as = (exercício).
Exemplo 2.4.2:
L (^) [ ( )] ( )
( s 2 ) 25
5 e sen 5 x Fs 2 2
- 2x
2.4.5 Divisão de f ( ) t por t e Integração
L
∫
+∞
⎥ ⎦
0
Fudu t
ft
L ( )^ F ( ) s
s
Fudu
t
0
∫
2.4.6 Transformadas de Laplace de derivadas de funções
Esta propriedade é muito útil para a resolução de problemas de valor inicial que iremos
falar mais tarde.
Seja L [^ y ( ) t ]^ = Y ( ) s. Se y ( ) t é contínua para 0 ≤ t ≤ N e tem ordem exponencial para
t ≥ N e
y ( ) t
n é seccionalmente contínua para 0 ≤ t ≤ N. Então
L [ y' ( ) t ] = s L [ y ( t )] − y ( ) 0 = sY ( ) s − y ( ) 0.
Demonstração: aula teórica.
NOTA:
- Se y ( ) t deixa de ser contínua em t = 0 mas ( ) ( )
→
limyt = y 0 t 0
existe, então
L [ y' ( ) t ] = s ( ) ( )
Y s − y 0.
- Se y ( )^ t deixa de ser contínua em t = a , então
L [ y' ( t )] = ( ) ( ) [ ( ) ( )]
− + − sY s − y 0 − e ya − ya
as
onde (^ )^ (^ )
- − y a − ya é chamado salto na descontinuidade t = a.
Exercícios 2.4.
Demonstrar que L[ y' ' ] s Y ( ) s sy ( ) 0 y' ( ) 0
2
Em geral temos:
L
[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
y t s Ys s y 0 s y' 0 s y'' 0 ... y ( ) 0
n n n − 1 n − 2 n − 3 n − 1 = − − − − −
onde ( ) ( )
y t,y' t,...,y ( ) t
n − 1 são contínuas para 0 ≤ t ≤ N e de ordem exponencial para
t ≥ N e
y ( ) t
n é seccionalmente contínua para 0 ≤ t ≤ N.
Exercícios propostos
1 Calcular, pela definição, as transformadas das seguintes funções:
1.1 (^ )^
4 x 2
0 0 x 2 f x
2 s e s
R :
−
⇐ >π
⇐ < <π
0 x
sen(x) 0 x f x s 1
1 e R : 2
s
−π
0 0 x 1
x 1 x 1 fx
2
3
s
s
2 e R:
−
2 f x = x 3 s
R:
2 Mostre que L { ( )} ( s 0 )
s
2 e 1 fx
4 s
−
sendo ( )
1 x 4
1 x 4 f x.
3 Aplicando a propriedade da linearidade, calcule a transformada das funções:
3.1 (^ )^ (^ )^ (^ )
2
f x = 3 − 2 cosx + 2 x + 3 ( )
( )
( s 0 )
s
s
s
ss 1
s 3 R :Fs 2 3 2
3
3.2 f (^ x )^ 3 e 6 sen (^ 2 x )^ 5 cos (^ 2 x )
2 x = + −
−
( ) ( s 0 )
s 4
12 5 s
s 2
R :Fs 2
3.3 ( ) [ ( ) ( )]
2
f x = senx − cosx ( )
( )
( s 0 )
ss 4
s 2 s 4 R :Fs 2
2
2 t f t 4 t 3 cos 2 t 5 e
−
= − + ( ) ( s 0 )
s 1
s 4
3 s
s
R :Fs 3 2
4 Aplicando a propriedade da translação ou deslocamento, calcule as transformadas
das funções:
4.1 f (^ x )^ e cos (^ x )
− x
s 2 s 5
s 1 R :Fs 2
2 3 x
f x = x e ( )
3 s 3
R :Fs −
4.3 f ( ) t e [ 3 cos ( 6 t ) 5 sen ( 6 t )]
2 t = −
−
s 4 s 40
3 s 24 R :Fs 2
0 x 2
x 2 x 2 fx
3
2 s 4
e s
R :Fs
−
