Trabalho - Qual a utilidade de Limites, Derivadas e Integrais, Trabalhos de Cálculo Diferencial e Integral

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QUAL A APLICAÇÃO DE LIMITES E DERIVADAS?

Aluno: xxxx Profª. Dra. Sc. xxxxxxx Disciplina: Cálculo I

MANAUS

2015/1º SEMESTRE

Ideia intuitiva de limite Exemplo: Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1.

Vamos desenvolver as seguintes etapas: a) Preencher metade dessa figura.

Área preenchida: ½

b.) Preencher metade do que restou em branco.

Área preenchida: ½ + ¼ = ¾

c.) Preencher, novamente, metade do que restou em branco.

Área preenchida: ½ + ¼ + ⅛ = ⅞

Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área acurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1.

½ + ¼ + ⅛ = ⅞, ...., 1 Dizemos então que o limite desse processo, quando o número de partes preenchidas tende a um valor maior do que qualquer valor imaginável, é preencher a figura toda, ou seja, obter uma área preenchida igual a 1. Quando dizemos que a área preenchida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.

a. Considere o gráfico da função f(x):

Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende a “a” é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f(x) para os infinitos valores de x permanecerem próximo de L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.

Indica-se Lim f(x) = L x → a

DERIVADAS Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Consideremos uma função f(x). A função F 06 6 é derivável em F 06 1, se existir o limite, neste caso, o valor f’(a) é chamado derivada de f em a.

f'’(a) = lim f(x) – f(a) x → 0 x - a

APLICAÇÃO DE LIMITES E DERIVADAS

Podemos também calcular a produção semanal de uma indústria usando a seguinte função (Q(x) = – x2 + 2.100) x unidades, onde x é o número de operários empregados resolvendo a função, poderemos saber a produção semanal desta empresa.

Exemplo 5:

Calcular a propagação de epidemia.

Suponhamos que Alta Floresta seja flagelada por uma epidêmica. Através dos cálculos de limites e derivadas os setores de saúde poderão calcular o número de pessoas atingidas por esta epidemia depois de um certo tempo (t) (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) usando para isso a seguinte função “f(t) = 64t -33t” poderá também o setor de saúde calcular qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias. Qual a taxa da expansão da epidemia após 8 dias, e também quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia.

Exemplo 6:

Calcular qual o tamanho ideal de uma determinada embalagem.

Suponhamos que uma fábrica esteja produzindo um certo produto e queira saber qual o tamanho ideal da embalagem que terá de ser feita para armazenar este produto, através de fórmulas presentes em limites e derivadas a empresa terá como saber o tamanho da embalagem a ser produzida para o armazenamento do produto, evitando assim gastos desnecessários.

Exemplo 7:

Para um produtor rural calcular a produtividade de sua terra e a produtividade do trabalho.

Considerando como exemplo a seguinte função P(x,y) = 2x 0,5^. y 0,5 , onde P é a quantidade colhida de um determinado produto (em toneladas), x é o número de homens-hora empregados (em milhares) e y é o número de hectares plantados.

Exemplo 8:

Calcular a produção e a taxa de crescimento de um produto, em relação ao tempo.

Exemplo 9:

Calcular o preço da demanda de produtos em um supermercado por semana.

Suponhamos que a quantidade de batatas demandadas por semana (em Kg) num supermercado seja função do preço unitário x (por Kg) e do preço unitário de arroz y (por Kg), segundo a relação q = f(x, y) = 1000 – 2x² + 15y. Com o cálculo de limite e derivadas irá 8 descobrir que a um aumento unitário do preço do Kg de batata (de 30 para 31) corresponde uma diminuição da demanda de batata de 120 Kg aproximadamente, mantendo o preço do Kg de arroz em 40.

Exemplo 10:

Calcular a velocidade e a aceleração de um carro.

Com carro em movimento ao longo de uma reta horizontal, suponhamos que sua posição p (em Km) no instante t (em segundos) seja dada por x ( t ) = 5 t² + 100. Então, sua velocidade no instante t é v(t) = x’ (t) = 10t. Como o v(0) = 0, o carro parte de repouso no instante t = 0; e como x(0) = 100, parte do ponto x = 100. Substituímos t = 10, vemos que x (10) = 600 e v (10) = 100, de modo que, após 10 segundos, o carro percorreu 500 ft (de seu ponto de partida x = 100), e sua velocidade é então 100 ft/s.

Exemplo 11:

Calcular a taxa de variação de uma gota de chuva.

Imagine uma gota de chuva esférica caindo através do vapor de água no ar. Suponha que o vapor adira à superfície da gota de tal maneira que a taxa de aumento da massa M da gota seja proporcional à área S da superfície da mesma. Se o raio inicial da gota é, na verdade, zero, e o raio é r = 1 mm após 20s. Temos dM/dt = kS, onde k é uma constante que depende das condições atmosféricas. Ora, M = 3/4§pr³ e S = 4§r², onde p é a densidade da água. Assim, a regra da cadeia dá 4§kr² = kS = DM/dt =DM/dr. dr/dt; isto é, 4§kr 2 = 4§pr²dr/dt. Isto implica dr/dt = k/p, uma constante. Assim, o raio da gota cresce a uma taxa constante. Se forem necessários 20s para que r cresça até 1 mm, será preciso 1min para r crescer até atingir 3mm

grande enriquecimento, pois sai do caráter meramente teórico ao qual se prendem muitos doutrinadores desta matéria. Quando em contato com a infinidade de aplicações às quais são permissíveis, torna nossa noção matemática muito mais dinâmica e propensa a um ágil raciocínio, o que é de grande valia para os universitários.

BIBLIOGRAFIA

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Acesso em 01 dez. 2007.

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Acesso em 01 dez. 2007.