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CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE
1.1 INTRODUÇÃO
Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto especificado de condições, conduz invariavelmente ao mesmo resultado. São os experimentos chamados de determinísticos. Entretanto, existem experimentos em que não se obtêm sempre o mesmo resultado, ainda que realizado sob condições idênticas. Tais experimentos, por apresentarem variabilidade nos resultados, são objeto da Teoria de Probabilidade, a qual será introduzida aqui.
1.2 CONCEITOS BÁSICOS
1.2.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Um experimento é dito aleatório quando o seu resultado não for previsível no sentido comum antes de sua realização, ou seja, é um experimento cujos resultados estão sujeitos unicamente ao acaso.
Os seguintes traços são pertinentes a esta caracterização de experimento aleatório :
- Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. - Embora o resultado preciso que ocorrerá não possa ser dado, um conjunto que descreva todos os resultados possíveis para o experimento poderá ser apresentado. - Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados individuais parecerão ocorrer de uma forma acidental. Contudo, quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático preciso através do qual se analisará o experimento.
EXEMPLOS
( 1 ) Jogue um dado comum e observe o número mostrado na face voltada para cima.
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( 2 ) Jogue uma moeda quatro vezes e observe o número de caras obtido.
( 3 ) Uma lâmpada é fabricada e em seguida ensaiada. Observe a sua duração de vida.
( 4 ) Observe o tempo de espera de uma pessoa numa fila de ônibus.
( 5 ) Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total de peças é observado.
1.2.2 ESPAÇO AMOSTRAL ( S )
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. O espaço amostral depende essencialmente do que se queira observar no experimento aleatório. Por exemplo, podemos jogar duas moedas e observar o número de caras que ocorre ou podemos observar a distância entre elas na superfície em que caíram.
EXEMPLOS
Considere os experimentos aleatórios descritos no item 1.2.1. Definiremos os espaços amostrais para cada exemplo dado.
( 1 ) S 1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
( 2 ) S 2 = {0, 1, 2, 3, 4 }
( 3 ) S 3 = { t ∈ R / t ≥ 0 }
( 4 ) S 4 = { t ∈ R / t ≥ 0 }
( 5 ) S 5 = { 10, 11, 12, ... }
OBSERVAÇÃO :
Um espaço amostral pode ser : Finito: Se tem um número finito de elementos. Exemplos (1) e (2) acima. Infinito Enumerável: Se tem tantos elementos quanto o conjunto dos números Naturais. Exemplo (5) acima. Infinito Não-enumerável: Se tem tantos elementos quanto um determinado segmento do eixo Ox, tal como 0 ≤ x ≤ 1. Exemplos (3) e (4) acima.
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1.2.3.1 Operações Com Eventos
Como o espaço amostral S e qualquer evento de S são conjuntos, todas as operações entre conjuntos podem ser aqui aplicadas. Assim, se A e B são dois eventos de S, então :
a ) Evento União : A U B
O evento A U B ocorre quando ocorre o evento A ou ocorre o evento B ou ocorrem ambos os eventos A e B.
B
A
S
b) Evento Interseção : A ∩ B
O evento A ∩ B ocorre quando ambos os eventos A e B ocorrem.
B
A
S
c) Evento Complementar : A , A’ ou AC
O evento A’ ocorre quando o evento A não ocorre.
A
S
A'
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d) Evento Diferença : A - B
O evento A - B ocorre quando ocorre o evento A mas não ocorre o evento B.
OBS.: Note que A - B ≠ B - A.
B
A
S
EXEMPLO :
Sejam A, B e C eventos quaisquer de S. Usando as operações de união, interseção e complementar, podemos descrever alguns eventos tais como :
( i ) Ocorrência de A e não ocorrência de B e C :
A ∩ B’ ∩ C’
( ii ) Ocorrência de pelo menos um destes eventos :
A U B U C
( iii ) Ocorrência de exatamente um destes eventos :
( A ∩ B’ ∩ C’ ) U ( A’ ∩ B ∩ C’ ) U ( A’ ∩ B’ ∩ C )
( iv ) Ocorrência de nenhum destes eventos :
A’ ∩ B’ ∩ C’
( v ) Ocorrência de exatamente dois destes eventos :
( A ∩ B ∩ C’ ) U ( A ∩ B’ ∩ C ) U ( A’ ∩ B ∩ C )
1.2.3.2 Algumas Propriedades Operatórias
A U B = B U A A ∩ B = B∩ A
A U (B U C) = (A U B) U C = (A U C) U B = A U B U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ B = A ∩ B ∩ C
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EXEMPLO 2
Uma urna contém 4 bolas brancas, 6 bolas pretas e 5 bolas azuis. O experimento consiste em retirar duas bolas com reposição da primeira e observar a cor delas. Considere os seguintes eventos :
A : “ a primeira bola retirada é branca ” B : “ a segunda bola retirada é preta ”. Como A e B são dois eventos que podem ocorrer juntos ( é possível a primeira bola ser branca e a segunda preta ), isto é, A ∩ B ≠ φ, então A e B não são eventos mutuamente exclusivos.
EXEMPLO 3
No circuito abaixo pode ou não passar corrente de L para R, dependendo do fechamento dos relês 1, 2, 3 e 4. Supondo que estes relês fechem aleatoriamente, considere os seguintes eventos :
A : “ fecham os relés 1 e 2 ”
B : “ fecham os relés 3 e 4 ”.
Como os relés podem fechar juntos, A ∩ B ≠ φ. Portanto, A e B não são eventos mutuamente exclusivos.
L R
1 2
3 4
EXEMPLO 4:
Uma lâmpada é fabricada e sua duração de vida é observada. Considere os eventos:
A: a lâmpada dura mais do que 300 horas
B: a lâmpada dura no máximo 200 horas
C: a lâmpada dura pelo menos 100 horas
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos ; os eventos A e C não são mutuamente exclusivos e os eventos B e C também não são mutuamente exclusivos.
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1.3 PROBABILIDADE
1.3.1 ENFOQUE ESTATÍSTICO
Se repetirmos um experimento aleatório n vezes, em certo número m de vezes ocorrerá o evento E ; m é a freqüência com que ocorre o evento E e m/n é a freqüência relativa de ocorrência de E.
Chamamos de probabilidade do evento E , P( E ), ao valor limite da freqüência relativa m/n para uma seqüência muito grande de realizações do experimento
(n→∞). Ou seja :
P (E) =
m
limn→ ∞ n
EXEMPLO
Considere o experimento aleatório de jogar uma moeda honesta e observar o resultado que ocorre. O espaço amostral é : S = { H, T }.
Seja o evento E = { H }. À medida que forem realizados os lançamentos da moeda, notamos que a proporção (freqüência relativa) de caras se aproxima de 1/2. O gráfico abaixo ilustra esta situação apresentando a tendência da freqüência relativa em se aproximar do valor 1/2, à medida em que o número de lançamentos cresce.
10 25 50 100 150 200
proporção de caras
número de lançamentos
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Defina o evento A = { Soma 5 } = { (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) }.
Daí : P(A) =
n n
4 36
A S
=
Ainda sobre o lançamento destes dois dados, podemos expressar os resultados de seguinte maneira :
1 o^ DADO 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 2 o^ DADO 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
1.3.3 ENFOQUE AXIOMÁTICO
Seja ε um experimento aleatório e S um espaço associado a ε. A cada evento A e S associamos um número real P(A) denominado probabilidade de A, que obedeça aos seguintes axiomas :
A1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , para todo A.
A2) P(S) =1.
A3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(A U B) = P(A) + P(B).
A4) Se A 1 , A 2 , ... , An , ... é uma seqüência de eventos mutuamente exclusivos,
então P ( A (^) i P(A. i=
i i=
∞ ∞
U )^ =^ ∑ )
Podemos enunciar, a partir daí, alguns teoremas importantes.
Teorema 1 : P( φ ) = 0
De fato:
Para um evento qualquer A, temos que A = A U φ e A ∩ φ = φ. Pelo axioma A3, P(A ) = P(A U φ) = P(A) + P(φ). Portanto P(φ) = 0.
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Teorema 2 : P( A ) = 1 - P(A’)
De fato:
A U A’ = S e A ∩ A’ = φ. Pelo axioma A3: P(S) = P(A U A’) = P(A) + P(A’) = 1. Portanto P(A) = 1 - P(A’).
Teorema 3 : Se A e B forem dois eventos quaisquer, então :
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
De fato:
Temos que A U B = A U (A’ ∩ B) e que B = (A ∩ B) U (A’ ∩ B). Logo, pelo axioma A3 , P( A U B ) = P( A ) + P(A’ ∩ B ). Mas P(B) = P(A ∩ B) + P(A’ ∩ B). Daí P(A’ ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B). Levando P(A’ ∩ B) na equação acima , vem: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Note que uma demonstração informal pode ser vista através de um diagrama de Venn como este abaixo :
B
A
S
A ∩ B
Teorema 4 : Sejam A e B dois eventos quaisquer. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B).
B (^) A
De fato:
Podemos decompor B em dois eventos mutuamente exclusivos da seguinte forma: B = A U ( B ∩ A’). Como A ∩ ( B ∩ A’ ) = φ , A e B ∩ A’ são mutuamente exclusivos. Pelo axioma A3: P(B) = P [ A U ( B ∩ A’ ) ] = P(A) + P( B ∩ A’ ) ≥ P(A). ( Já que P( B ∩ A’ ) ≥ 0 ).
OBSERVAÇÕES :
- Note que no teorema 3, se A e B forem mutuamente exclusivos, então : P( A ∩ B ) = P(φ) = 0 e daí vale P ( A U B ) = P( A ) + P( B ).
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EXEMPLO 4
Três cavalos A, B, C estão numa corrida; A é duas vezes mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do que C. Supondo que não haja empate, quais as probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C)?
Seja P(C) = p. Então P(B) = 2 P(C) = 2p e P(A) = 2 P(B) = 4p. Como a soma as probabilidades tem que ser igual a 1, temos : p + 2p + 4p = 1 ou p = 1/ Daí, P(A) = 4/7 , P(B) = 2/7 e P(C) = 1/ Ainda neste exemplo, qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? B ∩ C = φ , então P(B U C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 =3/
EXEMPLO 5
Suponha-se que há três revistas A, B e C com as seguintes porcentagens de leitura : A : 9,8 % , B : 22,9 % , C : 12,1 % , A e B :5,1 % , A e C : 3,7 % , B e C : 6,0 % , A, B e C : 2,4 %. A probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja leitor de pelo menos uma revista é :
P(A U B U C)= P(A)+P(B)+P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C)+P(A∩B∩C)=
= 0,098 + 0,229 + 0,121 - 0,051 - 0,037 - 0,06 + 0,024 = 0,324 ou 32,4 %.
1.3.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL
Muitas vezes, o fato de ficarmos sabendo que certo evento ocorreu faz com que se modifique a probabilidade que atribuímos a outro evento. Por exemplo, a probabilidade de tirar o número 2 no lançamento de um dado é reforçada quando se sabe que um número par saiu.
Assim, sendo A e B eventos, define-se a probabilidade condicionada do evento A dado que B ocorreu (ou a probabilidade de A sabendo-se que B ocorreu ) por P(A | B).
1.3.4.1 Teorema do Produto
Sejam dois eventos A e B, com P(A) > 0. A probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é igual ao produto da probabilidade de um dos eventos pela probabilidade condicionada do outro, isto é :
P( A ∩ B ) = P( A ). P( B | A ) ou P( A ∩ B ) = P( B ). P( A | B )
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Daí, temos :
P(B A) =
P(A B)
P(A)
ou P(A B) =
P(A B)
P(B)
OBSERVAÇÃO :
No caso de n eventos A 1 , A 2 , ... , An , temos :
P(A 1 ∩A 2 ∩...∩An)=P( A 1 ). P(A 2 | A 1 ). P(A 3 | A 1 ∩A 2 ) ... P(An | A 1 ∩A 2 ∩...∩An-1)
1.3.5 EVENTOS INDEPENDENTES
Se a ocorrência do evento A não modificar a probabilidade de ocorrência do evento B, dizemos que A e B são eventos independentes.
Assim, se A e B são eventos independentes, P(A | B) = P(A) e no teorema do produto temos :
P( A ∩ B ) = P( A ). P( B ).
Reciprocamente, se P(A ∩ B) = P( A ). P( B ), A e B são ditos independentes .
OBSERVAÇÕES :
- Em geral, n eventos A 1 , A 2 , ... , An são independentes se : P( A (^) i P(A. i=
n i i=
n
I )^ =^ ∏ )
2) P(A / B) + P(A’/ B) = 1.
- Se A e B são eventos independentes então :
A e B também são independentes e A’e B também são independentes.
EXEMPLO 1
Lançando-se uma moeda e um dado, qual a probabilidade de sair “cara” na moeda e “5” no dado? Sejam os eventos: H : “cara na moeda” e C : “5 no dado” H e C são dois eventos independentes. Então: P(H ∩ C) = P(H). P(C) = (1/2).(1/6) = 1/
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O evento A 1 U A 2 é “4 na primeira jogada ou 4 na segunda jogada ou 4 em ambas”. Os eventos A 1 e A 2 não são mutuamente exclusivos, mas são independentes. Portanto :
P( A 1 U A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) - P( A 1 ∩ A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) - P(A 1 ) P(A 2 ) = = 1/6 + 1/6 - (1/6)(1/6) = 11/36.
EXEMPLO 5
Considere o circuito abaixo onde cada relé fecha independentemente um do outro com uma probabilidade p > 0.
( a ) Qual a probabilidade de haver corrente de L para R?
( b ) Se há corrente de L para R, qual a probabilidade de que o relé 1 esteja fechado?
( c ) Se há corrente de L para R, qual a probabilidade de que ambos os relés 1 e 2 estejam fechados?
L 1 R
2
Sejam os eventos : A 1 : “o relé 1 está fechado” A 2 : “o relé 2 está fechado”.
( a ) P( passar corrente de L para R ) = P( A 1 U A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) - P(A 1 ∩ A 2 )
= P(A 1 ) + P(A 2 ) - P(A 1 ) P(A 2 ) = p + p - p^2 = 2p - p^2.
( b ) P( relê 1 fechado | passa corrente de L para R ) = P(A 1 | A 1 UA 2 ) =
=
P [A (A UA )
P(A UA
1 1 2 1 2
∩ ]
P(A
P(A UA
p 2p - p
1 2
2
( c ) P(ambos os relês fechados | passa corrente de L para R) = P(A 1 ∩A 2 | A 1 UA 2 )
=
P [(A A (A UA
P(A UA
P(A A
P(A UA
P(A P(A
P(A UA
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
) )] ∩
p 2p - p
2 2 =
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=
p 2 - p
EXEMPLO 6
Certo artigo, ao sair da linha de produção pode ter no máximo dois defeitos, A e B. Os defeitos ocorrem independentemente um do outro com probabilidade 1/10, cada um. Se um artigo é extraído ao acaso da linha de produção, qual a probabilidade de :
( a ) ser defeituoso
( b ) ter o defeito A, se é defeituoso
( c ) ser perfeito.
Sejam os eventos : A : “o artigo tem defeito A” B : “o artigo tem defeito B” D : “o artigo é defeituoso”.
( a ) P(D) = P( A U B ) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) =
= 1/10 + 1/10 - 1/100 = 19/.
( b ) P(A D) =
P(A D)
P(D)
P [A (AUB)]
P(D)
P(A)
P(D)
( c ) P (ser perfeito) = P( D’ ) = 1 - P(D) = 1 - 19/100 = 81/.
EXEMPLO 7
Três componentes C 1 , C 2 e C 3 de um mecanismo são postos em série. Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja R o evento “C 2 está a direita de C 1 ” , e seja S o evento “C 3 está à direita de C 1 ”. Os eventos R e S são independentes? Por quê?
O espaço amostral é : S = { C 1 C 2 C 3 , C 1 C 3 C 2 , C 2 C 1 C 3 , C 2 C 3 C 1 , C 3 C 1 C 2 , C 3 C 2 C 1 } Os eventos R e S são : R = { C 1 C 2 C 3 , C 3 C 1 C 2 , C 1 C 3 C 2 } S = { C 1 C 2 C 3 , C 2 C 1 C 3 , C 1 C 3 C 2 } R ∩ S = { C 1 C 2 C 3 , C 1 C 3 C 2 }
C1 C2 C
C1 C3 C
...
P(R) = 3/6 = 1/2 P(S) = 3/6 = ½ P(R ∩ S) = 2/6 = 1/.
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EXEMPLO 8
Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos de ensaios anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas :
P( A falhe ) = 0,
P( A e B falhe ) = 0,
P ( B falhe sozinho ) = 0,
Qual a probabilidade de que :
( a ) A falhe dado que B tenha falhado
A
0,05 0,15^ 0,
B S
( b ) A falhe sozinho.
Sejam os eventos : A : “A falha” e B : “B falha”. Então : P(A) = 0,20 P(B) = 0,30 P( A ∩ B) = 0,15. P(B) = P[(A ∩ B) U ( A’ ∩ B)] = P(A ∩ B) + P(A’ ∩ B) = 0,15 + 0,15 = 0,30.
( a ) P(A B) =
P(A B)
P(B)
( b ) P(A ∩ B’) = P(A) - P(A ∩ B) = 0,20 - 0,15 = 0,.
EXEMPLO 9
Uma urna contém 12 bolas brancas, 5 bolas pretas e 3 bolas vermelhas.
( a ) Retiramos 2 bolas com reposição da primeira, qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor?
( b ) Se retirarmos 5 bolas sucessivamente, sem reposição , qual a probabilidade de que todas sejam brancas? Sejam os eventos : Ai : “a i-ésima bola retirada é branca” Bi : “a i-ésima bola retirada é preta” Ci : “a i-ésima bola retirada é vermelha”
( a ) Seja o evento D : “ ambas as bolas são da mesma cor ”.
P( D ) = P [ (A 1 ∩ A 2 ) U (B 1 ∩ B 2 ) U (C 1 ∩ C 2 ) ] = = ( A 1 ∩ A 2 ) + ( B 1 ∩ B 2 ) + ( C 1 ∩ C 2 ) = = P(A 1 ) P(A 2 ) + P(B 1 ) P(B 2 ) + P(C 1 ) P(C 2 ) = = (12/20) (12/20) + (5/20) (5/20) + (3/20) (3/20) = 89/.
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( b ) Seja o evento E : “ todas as cinco bolas são brancas ”.
P( E ) = P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 ) = = P(A 1 ) P(A 2 | A 1 ) P(A 3 | A 1 ∩A 2 ) P(A 4 | A 1 ∩A 2 ∩A 3 ) P(A 5 |A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩ A 4 )
= (12/20) (11/19) (10/18) (9/17) (8/16) = 33/.
EXEMPLO 10
Dois jogadores jogam alternadamente uma moeda, ganhando o jogo aquele que obtiver a primeira cara. Qual a probabilidade de ganho do primeiro a jogar? E do segundo?
Sejam os eventos : A : “o primeiro a jogar ganha o jogo” B : “o segundo a jogar ganha o jogo”.
O espaço amostral é : S : { A , B } O evento poderá ocorrer na primeira jogada ou na terceira ( a segunda é do adversário), desde que ambos errem as anteriores, ou na quinta, etc. A probabilidade de acerto na primeira é 1/2, de acerto na terceira jogada é 1/8, etc. Logo :
P( A ) = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... =
1-^14
P( B ) = 1 - P( A ) = 1 - 2/3 = 1/.
1.3.6 DIAGRAMA DE ÁRVORE
Se um resultado pode ser obtido de n 1 maneiras diferentes e se, após isso, um segundo resultado pode ser obtido de n 2 maneiras diferentes, etc ... , e finalmente se um k-ésimo resultado pode ser obtido de nK maneiras diferentes, então todos os k resultados podem ser obtidos, na ordem especificada, de n 1 n 2 ...nK maneiras diferentes. Neste tipo de experimentos utiliza-se um diagrama de árvore.
EXEMPLO
São dadas três caixas, como segue :
a caixa I contém 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas ;
a caixa II contém 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa ;
a caixa III contém 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.
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