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1. INTRODUÇÃO
Todo engenheiro civil deve ter um conhecimento teórico para resolver as estruturas não somente utilizando os softwares de cálculo. O conhecimento da solução do problema de maneira manual permite não só uma visão melhor dos resultados quanto um domínio maior do software de cálculo, proporcionando dimensões otimizadas e menores chances de erro, o que pode ser crucial na carreira de um engenheiro. O início do cálculo estrutural começa na teoria das estruturas e na mecânica. Através destas disciplinas o aluno consegue calcular por sua vez os esforços e os deslocamentos nas estruturas, podendo então utilizar a norma da região para calcular se a peça irá ou não resistir ao esforço dado. O objetivo desta apostila é proporcionar o conhecimento para os futuros engenheiros de maneira prática e passo a passo. Existem muitos métodos para resolução de estruturas tanto isostáticas quanto hiperestáticas. Para estruturas isostáticas será apresentado o método das seções, que consiste em encontrar as equações que descrevem os esforços da estrutura, para as estruturas hiperestáticas será detalhado o método das forças, sendo este o mais prático quando se calcula uma viga ou um pórtico à mão. Para o cálculo dos deslocamentos e giros serão apresentados dois métodos, um com o qual o aluno integra as equações dos esforços (dispensando a tabela, porém mais demorado) e também será apresentado o método com o qual o aluno utiliza uma tabela de integrais para encontrar o deslocamento da viga, deixando o cálculo mais rápido. Todos os cálculos desta apostila levam em conta a teoria da elasticidade linear para os deslocamentos, ou seja, a teoria proposta por EULER-BERNOULLI. Os Gráficos desta apostila foram todos feitos utilizando o programa FTOOL podendo ser encontrado em: http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/.
2. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
Em mecânica estrutural, diz-se que uma estrutura é isostática quando o número de restrições (reações) é rigorosamente igual ao número de equações da estática. É, portanto, uma estrutura estável. Diferem das estruturas hipostáticas (cujo número de reações é inferior ao número de equações) e das estruturas hiperestáticas (número de reações superior). São exemplos de estruturas isostáticas uma viga biapoiada (com um dos apoios podendo se movimentar horizontalmente) e uma viga engastada em balanço.
2.1 RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DAS SEÇÕES
Quando se resolve uma estrutura isostática pelo método das seções aplica-se uma forma sistemática de resolução a partir da realização de cortes na estrutura entre cada tipo de carga e/ou apoio. Estes cortes possibilitam o encontro das equações para cada tipo de esforço solicitante que está ocorrendo no trecho analisado. Após encontrada a equação do esforço solicitante basta a plotagem ao longo do trecho desta equação para encontrar os valores dos esforços solicitantes em qualquer lugar da estrutura. Além disso este método dispensa o uso de tabelas para encontrar deslocamentos ou giros pois estaremos integrando diretamente as equações dos esforços. Resolveremos então uma viga isostática pelo método das seções e encontraremos o deslocamento da viga em um ponto escolhido.
1°Corte:
Observe então que na figura acima foi feito um corte olhando para a esquerda na carga distribuída da viga expondo-se as os esforços de normal, cortante e momento. A distância total deste trecho será chamada de X, portanto a carga concentrada vinda da carga distribuída para este trecho será de q*X e ela estará a uma distância da seção de X/2. Para encontrar as equações para cada esforço deste trecho deve-se realizar o somatório para o equilíbrio na seção.
Normal: Será feito um somatório das forças em X, portanto:
N=
Cortante: Será feito um somatório das forças em Y, portanto:
Momento: Será feito um somatório de momento na seção andando para a esquerda notando que 6x é a carga que foi concentrada a partir da carga distribuída e x/2 é a distância desta carga à seção e 13,8 é a reação de apoio RA e x é a distância total desta carga até a seção, portanto:
Estas equações valem com X de 0 a 3.
2°Corte:
Observe então que na figura acima foi feito um corte olhando para a esquerda após a carga distribuída e antes da carga concentrada da viga expondo-se as os esforços de normal, cortante e momento. A distância total deste trecho será chamada de X, portanto a carga concentrada vinda da carga distribuída para este trecho será de q*3 e ela estará a uma distância da seção de [(X-3)+1,5].O valor X- deve-se ao fato de que 3 é uma distância conhecida e X é o total deste trecho, logo a distância da seção à carga distribuída é X-3. Para encontrar as equações para cada esforço deste trecho deve-se realizar o somatório para o equilíbrio na seção.
Normal: Será feito um somatório das forças em X, portanto:
N=
Cortante: Será feito um somatório das forças em Y, portanto:
Momento: Será feito um somatório de momento na seção andando para a esquerda :
Estas equações valem com X de 3 a 4.
será desenhada para cima da viga ou então basta seguir a equação da cortante, quando o sinal for positivo ela deverá ser traçada em cima da viga e quando negativa ela deverá ser traçada em baixo da viga. A normal será positiva quando ela estiver tracionando a seção da viga e será negativa quando ela estiver comprimindo a seção da viga.
Cortante (V-kN)
Momento(M-kN.m)
Pelo método das seções a solução da estrutura acaba se tornando de maneira sistêmica uma vez que o aluno só precisa plotar os pontos das equações conforme os trechos para desenhar os esforços solicitantes. Cabe também ao aluno se identificar com as formas e os tipos de cargas e esforços que aparecem nas estruturas a fim de poder confirmar as equações encontradas.
2.2 DESLOCAMENTOS E O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária (MCU). Também conhecido como Método do Trabalho Virtual, Método da Carga Substituta e Método de Maxwell-Mohr, o MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas. Como o MCU é uma sistematização do PTV, sua formulação geral pode ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não-linear. Seja calcular um determinado deslocamento ∆, por exemplo o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer. Portanto, este método consiste em colocar uma carga unitária onde deseja-se encontrar o deslocamento (o deslocamento será no sentido da carga, seja x, y ou z). Tendo em mãos os esforços solicitantes causados pela carga inicial e devido a carga unitária podemos encontrar o deslocamento integrando um vezes o outro ao longo de toda a viga. Para encontrar o deslocamento deve-se utilizar a seguinte formulação:
Temos então a integração dos três esforços para se encontrar o deslocamento. Para vigas e pórticos são utilizadas as parcelas da normal e do momento pois elas que mostram de maneira mais expressiva a quantidade do deslocamento ou giro. A parcela da cortante contribui muito pouco para o deslocamento ou giro, sendo então (para cálculos manuais ou análises onde não é necessária a precisão) normalmente desprezada no cálculo do deslocamento. Lembrando-se que este tipo de cálculo de deslocamentos ou giros leva em conta a teoria linear elástica de Euller/Bernoulli, ou seja os deslocamentos aumentam de maneira linear a medida que a carga for aumentando. Apesar de este ser o método mais simples e utilizado, as estruturas têm um comportamento não-linear com relação aos deslocamentos, em obras de grande porte é possível levar em consideração a não linearidade para cálculo dos deslocamentos, sendo esta uma vantagem com relação ao dimensionamento dos elementos, podendo gerar economia no orçamento da obra. Calcularemos então para a viga abaixo o deslocamento no ponto indicado.
Diagrama dos esforços solicitantes
1°Corte:
Normal: N= Cortante:
Momento: (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo)
2°Corte:
Normal: N=
Cortante:
Momento: (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo)
Gráficos
Cortante (V-kN) – Gráfico de cortante para a carga unitária
Momento(M-kN.m) – Gráfico de momento para a carga unitária
Para encontrar o deslocamento integramos então as equações de momento, cortante e normal da estrutura com o carregamento inicial contra o carregamento unitário. Chamaremos de M0 o momento no sistema 0 com as cargas iniciais e de M1 para o momento no sistema 1 com a carga unitária. Como já dito a cortante será então desprezada e a normal não existe nessa viga, então a equação para deslocamentos lineares será resumida a:
De maneira análoga é possível resolver os mais variados tipos de vigas utilizando então o método das seções, tanto para deslocamentos quanto para giro. Abaixo uma lista de exercícios resolvidos utilizando o método das seções passo a passo.
Exercícios Resolvidos : Viga Bi-apoiada
Corte : Normal:
Cortante:
Momento:
Gráfico de Cortante (kN):
Gráfico de Momento (kN.m):
Equação do giro:
∫
∫. /
Equação do deslocamento:
∫
∫. /
Condições de contorno:
Gráfico de Cortante (kN):
Gráfico de Momento (kN.m):
Equação do giro:
∫
∫. /
Equação do deslocamento:
∫
∫. /
Condições de contorno:
Exercícios Resolvidos : Viga com carga concentrada
Reações de Apoio:
∑
∑
Equações:
1º Corte (0<=x<=2):
2º Corte(2<=x<=5):
Carga Unitária:
1º Corte (0<=x<=2): 2º Corte(2<=x<=5):
Deslocamento em x=2m:
Exercícios Resolvidos : Viga com carga triangular
Reações de Apoio:
∑
∑
Equações:
1º Corte (0<=x<=4):
Equações e Condições de Contorno:
1º Corte: ∫ ∫ ∫ ∫
Para x = 0 → d = 0
