teorema de stokes atribuido a materia de calculo iv, Trabalhos de Cálculo

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de escoamento de um fluido) onde:

Circulação de F ao longo do Retângulo são contínuas e deriváveis em D. Considere- mos um pequeno retângulo contido em D com vértices em: (x,y), (x + Δx,y), (x,y + Δy) e (x + Δx,y + Δy) (ver Fig. 9. ). A soma das taxas de escoamento dos quatro lados do retângulo mede a circulação de F no sentido anti-horário. As taxas de escoamento ao longo de cada lado do retângulo são dadas por:

em cima : em baixo : à direita : à esquerda : O escoamento total ao longo das arestas do retângulo é: (f2(x + Δx,y) − f2(x,y))Δy + (−f2(x,y + Δy) + f2(x,y))Δx Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1(x+Δx,y)−

temos a seguinte aproximação para o escoamento de F ao longo das arestas do retângulo:

Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ΔxΔy teremos uma aproximação para a densidade da circulação de F no retân- gulo.

Fazendo Δx e δy tenderem independentemente a zero podemos definir a densidade de circulação no ponto (x,y) por: Definição 9.2. Seja um campo vetorial onde: são contí-

nuas e deriváveis em da densidade de circulação do campo vetorial F no ponto (x,y), denominado rotacional de F, denotado por:

Teorema de Green O teorema de Green pode ser exposto de duas formas na primeira diz que o fluxo exterior de um campo vetorial através de uma curva fechada simples no plano é igual a integral dupla do divergente do campo vetorial sobre a região D limitada pela curva, i.e.

Na outra forma diz que a circulação no sentido anti-horário de um campo de força ao longo de uma curva simples e fechada no plano é igual a integral dupla da componente k do rotacional do campo vetorial sobre a região D limitada pela curva.

Vamos agora e sem muita demora à demonstração do teorema de Green. Sejam um campo vetorial dado

por: são con�nuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R 2 uma curva simple fechada tal que retas paralelas aos eixos coordenados não a corte

Teorema de Green em mais que dois pontos e Seja R a região limitada por C então:

PROVA: Observando a Fig. 9.3 vemos C formada por duas parte orientadas dadas por:

Tomando um ponto arbitrário x ∈ (a,b) podemos integrar em relação a y nos limites y = g1(x) até y = g2(x). A saber:

Podemos então integrar este resultado na variável x nos limites x = a até x = b e temos:

toda reta

Curva Partição paralela aos eixos coordenados a cortem em no máximo dois pontos É o caso da curva dada na Fig. 9.5 visto que retas paralelas ao eixo x podem corta-la em até 4 pontos na parte de cima da curva. Nestes casos podemos extender o teorema de Green com o seguinte procedimento: Traçamos retas unindo pontos específicos da curva C como na Fig. 9.6 os pontos A, B e D de modo que

as curvas formadas pela união de C1 com a reta AB bem como

a união da curva C2 com a reta BD e a curva C3 com as retas

DB e BA orientadas todas no sentido anti-horário contornando as regiões R1 R2 e R3, respectivamente. As curvas acima descritas todas satisfazem a condição da demonstração do teorema de Green acima i.e. toda reta paralela aos eixos coordenados as cortam em apenas dois pontos. Desta forma aplicando o teorema de Green a cada uma das curvas temos:

Adicionando todas as equações e levando em conta que:

temos:

E como C = C1∪C2∪C3 e R = R1∪R2∪R3 podemos finalmente escrever que para a curva C da vale o teorema de Green:

Uma outra categoria de regiões que não satisfaz a exigência da demonstração do teorema de Green são regiões R com buracos

Curva Partição como a da Fig. 9.7 onde a curva C∗ que define a região do buraco está orientada no sentido horário. Uma solução está na partição dada na Fig. 9.8 onde repartimos R em oito sub-regiões R1 a R8 da seguinte forma: R1 limitada pelas curvas , R2 limitada pelas curvas limitada pelas curvas limitada pelas curvas e limitada pelas curvas limitada pelas curvas limitada pelas curvas limitada pelas curvas e

. Em cada uma das oito regiões o teorema de Green pode ser aplicado individualmente e levando em conta que as integrais ao longo dos segmentos de reta se anulam mutuamente podemos escrever para a região R que:

Podemos então relaxar um pouco as exigências do teorema de Green e reformula-lo como: Teorema 9.2. Sejam um campo vetorial dado

por: são con�nuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R 2 uma curva simple, fechada e Seja R a região limitada por C então:

Verificação do Teorema de Green Caros alunos, nesta seção faremos uma verificação do teorema de Green. A saber: Considere a campo vetorial dado por

e a região com buraco limitadas pelos círculos (ver Fig. 9.9):

E o teorema de Green é verificado:

tridimensional dado por:

onde são funções contín us e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O rotacional de F, denotado , ´´e definido por:

Vamos agora enunciar o Teorema de Stokes que nos diz que sob certas condições a circulação de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície S ⊂R 3 no sentido anti-horário com relação ao campo de vetores normais a S é igual a integral de superfície do componente normal do rotacional. Teorema 9.3. Sejam um campo vetorial tridi- mensional cujas componentes são con�nuas e teem derivadas parciais de primeira ordem con�nuas e S ⊂ D ⊂ R 3 uma super�cie lisa com borda C ⊂ D ⊂ R 3 lisa então, a circulação do campo vetorial F ao l.ongo da borda C de S, no sen�do an�-horário em relação aos vetores normais unitários de S é igual a integral de super�cie de da componente normal do rotacional i.e.:

Se duas superfícies orientadas diferentes S1 e S2 tem a mesmas bordas C as integrais de superfície da componente normal do rotacional de um campo vetorial que atravessa ambas são iguais:

Se C é uma curva lisa do plano xy, orientada no sentido anti-horário e R a região de xy delimitada por C o vetor normal a

. Daí, temos:

E o teorema de Stokes pode ser escrito como:

Que é o teorema de Green. Daí, se diz que o teorema de Green é um caso particular do teorema de Stokes. 9.7 Verificação do Teorema de Stokes

x y z Exemplo 9.2. Considere a campo vetorial dado por

e a Curva C na

qual o plano z = a > 0 corta o cone (ver Fig. 9.10)

e determine a circulação de F ao longo de C. SOLUÇÃO: Para determinação da circulação de F ao longo

Densidade de Circulação de um Campo Vetoreial Bi-dimensional

Seja um campo vetorial onde:

são contínuas e deriváveis em D. Definimos a componente k da densidade de circulação do campo vetorial F no ponto (x,y), denominado rotacional de F, denotado por:

Teorema de Green Sejam um campo vetorial dado por: são contínuas e derivá- veis em D e C ⊂ D ⊂ R 2 uma curva simple, fechada e Seja R a região limitada por C então:

Rotacional Seja uma campo vetorial tridimensional dado

por: onde f1,f2,f3 : são funções contín us e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O rotacional de F, denotado ou , ´´e definido por:

Teorema de Stokes

Sejam um campo vetorial tridimensional cujas componentes são contínuas e teem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R 3 uma superfície lisa com borda C ⊂ D ⊂ R 3 lisa então, a circulação do campo vetorial F ao l.ongo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação aos vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície de da componente normal do rotacional i.e.

Teorema de Green e Teorema de Stokes