INSTITUTOFEDERALDEEDUCAÇÃO,CIÊNCIAETECNOLOGIADOMARANHÃO
CURSO:LICENCIATURAEMFÍSICA-DISCIPLINA:ANÁLISEVETORIAL
PROFESSORDR.:ANTONIOLUIZMARTINSJUNIOR
NOME:_____________________________________________________________________
LISTA2:TEOREMASDEGREEN,STOKESEGAUSS
1. Calcule a integral de linha por dois metodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green:
, C e o triangulo com ve rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 2). Resposta: 2/3.
𝐶
∮ 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 2
𝑦 3
𝑑𝑦
2. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientaça o
positiva. (a) , C e um triangulo de vertices (0,0), (1,3) e (0,3). (b) , C e
𝐶
∫ 𝑥 2
𝑦 2
𝑑𝑥 + 4 𝑥 𝑦 3
𝑑𝑦 𝐶
∫ 𝑦 3
𝑑𝑥 − 𝑥 3
𝑑𝑦
o cırculo de . Resposta: (a) 12; (b) .
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 − 24π
3. Calcule , onde C e o cırculo de . Resposta: .
𝐶
∫( 3 𝑦 − 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥
) 𝑑𝑥 +( 7 𝑥 + 𝑦 4 + 1 ) 𝑑𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 36π
4. Calcule , onde C e a fronteira da regiao semianular D contida no semiplano superior
𝐶
∮ 𝑦 2
𝑑𝑥 + 3 𝑥𝑦𝑑𝑦
entre os cırculos e . Dica: use coordenadas polares. Resposta: 14/3. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
5. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força ao
𝐹
→ 𝑥 , 𝑦 ( ) = 𝑥 𝑥 + 𝑦 ( ) 𝑖 ^+ 𝑥 𝑦 2
𝑗 ^
mover uma partıcula da origem ao longo do eixo x ate (1, 0), em seguida ao longo de um segmento de
reta ate (0, 1), e entao de volta a origem ao longo do eixo y. Resposta: .
− 1/12
6. Provar o teorema de Green no plano, considere C uma curva fechada. A primeira parte da demonstraça o
foi feita em sala de aula, voce so precisa completar com a segunda parte da demonstraça o!
7. Uma partıcula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1) e
de volta para a origem sob a inlue ncia do campo de forças . Encontre o
𝐹
→ 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ( ) = 𝑧 2
𝑖 ^+ 2 𝑥𝑦 𝑗 ^+ 4 𝑦 2
𝑧 ^
trabalho feito. Resposta: 3.
8. Suponha que . Veriique o teorema de Stokes para a superfıcie
𝐹
→ 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ( ) =( 2 𝑥𝑧 + 3 𝑦 2
) 𝑗 ^+ 4 𝑦 𝑧 2
𝑘
^
quadrada mostrada na igura abaixo: Resposta: 4/3.
