UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
ENGENHARIA MECÂNICA
RELATÓRIO DO SEMINÁRIO DE
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CAROLINY SUQUE ENDLICH
GUILHERME GOMES FIOREZI
MURILO ZUCATELLI ELIAS
PHELIPE AUGUSTO
VITÓRIA – ES
2017
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Tensor de tensão, inércia e círculo de Mohr, Notas de estudo de Engenharia Mecânica
Conceitos fundamentais para a disciplina de Resistência dos materiais, tensor de tensão, tensor de inércia, e círculo de mobr
Tipologia: Notas de estudo
2017
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
ENGENHARIA MECÂNICA
RELATÓRIO DO SEMINÁRIO DE
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CAROLINY SUQUE ENDLICH
GUILHERME GOMES FIOREZI
MURILO ZUCATELLI ELIAS
PHELIPE AUGUSTO
VITÓRIA – ES
Sumário
- Introdução
- Tensão
- 2.1. Estado de tensão
- 2.2. Tensor de tensão
- 2.3. Rotação do tensor tensão
- 2.4. Tensões principais e planos principais
- 2.4.1. Autovalor e autovetor
- 2.5. Tensões cisalhantes máximas
- 2.6. Círculo de Mohr das tensões
- 2.6.1. Estado Plano de Tensões
- 2.6.2. Transformação de eixos para o estado plano de tensões.................................
- 2.6.3. Círculo de Mohr e o estado triplo de tensões
- Inércia de Área....................................................................................................
- 3.1. Definição
- 3.2. Eixos principais de inércia com Círculo de Mohr
- 3.3. Tensor de inércia
- 3.4. Rotação do tensor de inércia
- 3.5. Momentos de Inércia principais
- Exemplos
- Referências bibliográficas
tensões podendo ser vistas como componentes do tensor de segunda ordem, chamado tensor de
tensão.
Figura 1c.
2.2. Tensor de tensão
A tensão, que é força por unidade de área, não depende apenas da magnitude da força e
orientação do plano, mas também da direção da força. Assim, a especificação da tensão em um
ponto requer dois vetores, um perpendicular ao plano em que a força está agindo e a outro na
direção da força. Esse objeto é conhecido como um tensor de segunda ordem. É definida como
dois vetores que ficam lado a lado e que atuam como uma unidade.
De acordo com o teorema da tensão de Cauchy , conhecendo apenas os vetores tensão
sobre três planos mutuamente perpendiculares, o vetor tensão sobre qualquer outro plano
passando através daquele ponto pode ser determinado através das equações de transformação
de coordenadas.
O teorema da tensão de Cauchy estabelece que existe um campo tensorial de segunda
ordem σ ( x , t), denominado tensor tensão de Cauchy, independente de n , tal que T é um
funcional linear de n.
(𝒏)
Considere um tetraedro com três faces orientadas nos planos coordenados, e com uma
área infinitesimal 𝑑𝐴 orientada em um sentido arbitrário especificado por um vetor unitário
normal n, O tetraedro é formado cortando o elemento cubico infinitesimal ao longo de um plano
arbitrário n, O vetor tensão sobre este plano é denotado por T
(n)
, Os vetores tensão agindo sobre
as faces do tetraedro são denotados por 𝑻
(𝒆
1
)
(𝒆
2
)
e 𝑻
(𝒆
3
)
. O equilíbrio de forças:
(𝒏)
(𝒆
1
)
𝟏
(𝒆
2
)
𝟐
(𝒆
3
)
𝟑
Onde o lado direito representa a massa do tetraedro
multiplicada por sua aceleração. Considerando o plano n como
base. As áreas das faces do tetraedro perpendiculares aos eixos
1
2
3
podem ser determinadas por projeção de dA sobre
cada face.
𝟏
𝟏
1
Figura 1d.
𝟐
𝟐
2
𝟑
𝟑
3
E então substituindo na equação e cancelando dA por divisão
(𝒏)
(𝒆
1
)
𝟏
(𝒆
2
)
𝟐
(𝒆
3
)
𝟑
Para considerar o caso limite quando o tetraedro se reduz a um ponto, h deve convergir
a zero (intuitivamente, o plano n é transladado ao longo de n para O ). Como resultado, o lado
direito da equação converge para 0, e assim:
(𝒏)
(𝒆
1
)
𝟏
(𝒆
2
)
𝟐
(𝒆
3
)
𝟑
(𝒏)
𝟏
(𝒆 1
)
𝟐
(𝒆 2
)
𝟑
(𝒆 3
)
Que podemos rearranjar como:
(𝒏)
[
1
2
3
]
∙ [
(𝒆 1
)
(𝒆
2
)
(𝒆
3
)
]
O termo entre parentes do lado direito representa o tensor de tensões de Cauchy. O vetor
tensão associado a cada um dos planos, 𝑻
(𝒆
1
)
(𝒆
2
)
e 𝑻
(𝒆
3
)
pode ser decomposto em uma
componente normal e duas componentes cisalhantes, componentes nas direções dos três eixos
coordenados.
(𝒆 1
)
1
(𝒆 1
)
𝟏
2
(𝒆 1
)
𝟐
3
(𝒆 1
)
𝟑
11
𝟏
12
𝟐
13
𝟑
(𝒆 2
)
1
(𝒆 2
)
𝟏
2
(𝒆 2
)
𝟐
3
(𝒆 2
)
𝟑
21
𝟏
22
𝟐
23
𝟑
(𝒆
3
)
1
(𝒆 3
)
𝟏
2
(𝒆 3
)
𝟐
3
(𝒆 3
)
𝟑
31
𝟏
32
𝟐
33
𝟑
𝝈 = [
(𝒆
1
)
(𝒆
2
)
(𝒆
3
)
] = [
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
Substituindo em 𝑻
(𝒏)
(𝒏)
= [𝑛
1
2
3
] ∙ [
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
[𝑇
1
(𝑛)
2
(𝑛)
3
(𝑛)
] = [𝑛
1
2
3
] ∙ [
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
Ou podemos escrever também, de forma mais usual:
[
1
(𝑛)
2
(𝑛)
3
(𝑛)
] = [
11
21
31
12
22
32
13
23
33
] [
1
2
3
]
′
é o tensor de tensão em base de um sistema ortogonal rotacionado em relação ao
sistema ortogonal inicial𝝈, como L é uma matriz de rotação, em um sistema de coordenadas
ortogonais sua inversa equivale a sua transposta.
−𝟏
𝑻
e 𝑳𝑳
𝑻
Basicamente, podemos entender a equação de rotação do tensor como:
′
𝒙
′
𝒚
′
𝒛
′ = [𝑳
𝒙𝒚𝒛 → 𝒙
′
𝒚
′
𝒛
′ ] 𝝈
𝒙𝒚𝒛
[𝑳
𝑻
𝒙
′
𝒚
′
𝒛
′
→ 𝒙𝒚𝒛
]
A matriz de rotação genérica em torno de um eixo qualquer de rotação é dada pelos
cossenos diretores a seguir:
𝑮
= [
cos(𝑥
′
, 𝑥) cos(𝑥
′
, 𝑦) cos(𝑥
′
cos(𝑦′, 𝑥) cos(𝑦
′
, 𝑦) cos(𝑦
′
cos(𝑧
′
, 𝑥) cos(𝑧
′
, 𝑦) cos(𝑧
′
]
Onde cos(𝑎
′
, 𝑏) é o ângulo entre os eixos 𝑎
′
e 𝑏. Se escolhermos como eixo de rotação,
um dos eixos do seu sistema de coordenadas (x, y, z). 𝑳
𝑮
pode ser uma rotação apenas em torno
do eixo zcomo na Figura 1d ou uma rotação em torno do eixo x e y, assim:
𝒛
= [
cos 𝜃 sen 𝜃 0
− sen 𝜃 cos 𝜃 0
]
𝒙
= [
0 cos 𝜑 sen 𝜑
0 − sen 𝜑 cos 𝜑
]
𝒚
= [
cos 𝛼 0 − sen 𝛼
sen 𝛼 0 cos 𝛼
]
E o tensor de tensões em um sistema de coordenadas rotacionado de 𝜃 em torno de z
fica definido como:
′
= [
cos 𝜃 sen 𝜃 0
− sen 𝜃 cos 𝜃 0
] [
11
12
13
21
22
23
31
32
33
] [
cos 𝜃 − sen 𝜃 0
sen 𝜃 cos 𝜃 0
]
Uma rotação em torno de um eixo arbitrário qualquer pode ser decomposta em rotações
sucessivas em torno dos eixos que compõem um sistema inercial fixo euclidiano pelos três
ângulos de Euler. Podemos então rotacionar em torno de z, depois em torno de x, e depois em
torno de y, da seguinte maneira:
′
𝒛
𝒛
𝑻
′′
𝒙
′
𝒙
𝑻
′′′
𝒚
′′
𝒚
𝑻
Ou também dessa forma: 𝝈
′′′
𝒚
𝒙
𝒛
𝒛
𝑻
𝒙
𝑻
𝒚
𝑻
2.4. Tensões principais e planos principais
Para um determinado estado de tensão, a determinação das tensões normais e os esforços
de cisalhamento máximos em um ponto são de interesse considerável no projeto das estruturas
porque ocorrem falhas quando as magnitudes das tensões excedem os permitidos valores de
tensão, chamados pontos fortes do material.
A este respeito, é preciso determinar os valores e os planos nos quais as tensões são
máximas. Assim, devemos determinar os autovalores e os vetores próprios associados ao tensor
tensão.É claro a partir da Figura 1d e 1c que o componente normal de um vetor detensão é o
máximo quando 𝑻
(𝒏)
é paralelo ao vetor normal 𝒏.
Se designarmos o valor de tensãonormal por 𝜆. então podemos
escrever 𝑻
(𝒏)
= 𝜆𝒏. No entanto, pela fórmula de Cauchy 𝑻
(𝒏)
𝒏 ∙ 𝝈 = 𝝈 ∙ 𝒏. (Devido à simetria do tensor de tensão).
2.4.1. Autovalor e autovetor
A equação acima é um conjunto homogêneo de equações para os componentes do vetor
𝒏e uma solução não trivial existirá se o determinante da matriz for nulo, ou seja, se a matriz
(𝝈 − 𝜆𝑰)não for invertível. O esse determinante nulo produz uma equação cúbica para a
equação característica calculada, cuja solução produz três valores de 𝜆. Os autovalores𝜆de𝝈 são
chamados de tensões principais e os autovetores associados são chamados de planos principais.
Isso é para um determinado estado de situação, dado ponto no corpo. existe um conjunto
de planos em que o vetor de tensão é normal para os planos não há componente de cisalhamento
nos planos.
11
12
13
21
22
23
31
32
33
Figura 1d- Elemento infinitesimal
seccionado.
Figura 2 - Estado plano de tensões.
E este também pode ser representado dessa forma:
Figura 3 - Vista bidimensional do plano de tensões.
2.6.2. Transformação de eixos para o estado plano de tensões
Ao se rotacionar o elemento infinitesimal de um ângulo 𝜃 gerando novos eixos x’ e y’
perpendiculares também rotacionados de 𝜃 como mostrados abaixo:
Figura 4 - Novos eixos x' e y'.
Por trigonometria e métodos matemáticos foram determinadas algumas equações gerais
de transformação dos eixos de coordenada x e y para os eixos x’ e y’ abaixo:
𝑥′
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
cos 2 𝜃 + τ
𝑥𝑦
sin 2 𝜃 (𝐸𝑞. 1 )
𝑦′
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
cos 2 𝜃 − τ
𝑥𝑦
sin 2 𝜃 (𝐸𝑞. 2 )
𝑥′𝑦′
𝑥
𝑦
sin 2 𝜃 + τ
𝑥𝑦
cos 2 𝜃 (𝐸𝑞. 3 )
Essas equações são utilizadas para acharmos as tensões principais e de cisalhamento
máxima no plano derivando-as em relação à 𝜃 e igualando a 0, obtendo-se as expressões abaixo:
tan 2 𝜃
𝑝
2τ
𝑥𝑦
𝑥
𝑦
tan 2 𝜃
𝑐
𝑥
𝑦
2τ
𝑥𝑦
Onde os valores de 𝜃
𝑝
são os ângulos dos planos da tensão normal máxima e mínima e
os valores de 𝜃 𝑐
são os ângulos que nos dão a orientação do elemento cujas faces sofrem tensão
de cisalhamento máxima. De uma forma genérica, aplicando os resultados obtidos e
simplificando, a fórmula para as tensões principais e tensão de cisalhamento máxima são:
1 , 2
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
2
𝑥𝑦
2
𝑚á𝑥
𝑥
𝑦
2
𝑥𝑦
2
Outra forma de abordarmos o tema de tensões principais e de cisalhamento máxima é
uma forma “gráfica” chamada de Círculo de Mohr, neste caso, para tensões no plano. Tal
método é obtido eliminando o 𝜃 das equações 1 e 3 e somando-as, obtendo assim:
𝑥′
𝑚é𝑑
2
𝑥′𝑦′
2
2
Onde 𝜎
𝑚é𝑑
𝜎
𝑥
+𝜎
𝑦
2
e 𝑅 =
𝜎
𝑥
−𝜎
𝑦
2
2
𝑥𝑦
2
. Tal equação pode ser interpretada como
a equação de um círculo com centro deslocado de 𝜎
𝑚é𝑑
no eixo das tensões normais e com raio
R.
Para a construção do Círculo de Mohr, é necessário primeiramente definir os eixos 𝜎 𝑒 𝜏,
seguindo as notações do livro Hibbeler de Resistências dos Materiais consideraremos o eixo 𝜎
na horizontal positivo para a direita e o eixo 𝜏 vertical positivo para baixo. Dessa maneira, o
centro do círculo (C) é marcado em 𝐶(𝜎
𝑚é𝑑
, 0 ) como dito anteriormente. O próximo passo é
descobrir um ponto do círculo para que depois possamos terminá-lo, e como sabemos os valores
das tensões normal e de cisalhamento para quando 𝜃 = 0° (𝜎 𝑥′
𝑥
𝑥𝑦
𝑥′𝑦′
), isto é,
Figura 7 - Ângulos 𝛼 e 𝜃
𝑝 1
das tensões principais.
Para analisarmos a tensão de cisalhamento máxima, observemos o círculo de Mohr da
figura 6. Nele podemos perceber que ela se dá no ponto mais baixo do círculo (E), onde a tensão
normal é 𝜎 𝑚é𝑑
e o valor da tensão de cisalhamento vale 𝜏
𝑚á𝑥
= 𝑅. E como visto na figura 7, o
ângulo 𝛽 de rotação (em sentido horário) no círculo de Mohr representa 2𝜃 𝑐
(duas vezes o
ângulo de rotação do elemento no mesmo sentido).
Figura 8 - Ângulos 𝛽 e 𝜃
𝑐
da tensão de cisalhamento máxima.
2.6. 3. Círculo de Mohr e o estado triplo de tensões
Como já visto, quando um ponto em um corpo está sujeito a um estado de tensão geral
tridimensional, haverá em todas as faces do elemento infinitesimal duas tensões de
cisalhamento e uma tensão normal. Para esse estado também é possível desenvolver equações
de transformação de tensão que podem ser usadas para determinar as componentes de tensão
normal e de cisalhamento que agem em qualquer plano oblíquo do elemento. A discussão da
transformação de tensão em três dimensões não é o foco dessa disciplina, entretanto, ela é
discutida em livros que tratam da teoria da elasticidade. Para nossa finalidade, consideraremos
que a orientação principal do elemento e as tensões principais são conhecidas, condição
conhecida como tensão triaxial.
Tratando o elemento infinitesimal no estado geral como três estados planos de tensão, é
possível montar três círculos de Mohr no mesmo sistema de eixos onde os três círculos estão
correlacionados. Dizendo que as tensões principais no elemento têm intensidades máxima,
intermediária ou mínima, temos que os três estados planos são como os representados na figura
8 e os três círculos de Mohr correlacionados são mostrados na figura 9.
Figura 9 - Estados planos de tensão do elemento carregado na condição de tensão triaxial.
Figura 10 - Círculo de Mohr para o estado triplo de tensões.
A partir da figura 8, notamos que o centro do círculo maior é dado no ponto
𝜎
𝑚á𝑥
+𝜎
𝑚í𝑛
2
, 0 ), ainda podemos perceber que a tensão de cisalhamento máxima absoluta é dada
pelo raio do círculo maior, ou seja, 𝜏
𝑎𝑏𝑠 𝑚𝑎𝑥
𝜎
𝑚á𝑥
−𝜎
𝑚í𝑛
2
. Similarmente, as outras tensões de
cisalhamento máxima podem ser calculadas.
Em uma análise desse Círculo de Mohr para o estado triplo de tensões, notamos que
independentemente da orientação do plano, a tensão de cisalhamento 𝜏 no plano sempre será
menor do que a tensão de cisalhamento máxima. Nesse mesmo sentido, a tensão normal 𝜎 que
age em qualquer plano terá um valor que se encontrará entre as tensões principais máxima e
mínima, ou seja, 𝜎
𝑚á𝑥
𝑚í𝑛
3.2. Eixos principais de inércia com Círculo de Mohr
Podemos decompor os eixos 𝑥
′
e 𝑦
′
nos eixos 𝑥 e 𝑦, em termos de 𝛼, substituí-los nas
equações de inércia e expressar as inércias nos eixos 𝑥
′
e 𝑦
′
em termos de 𝑥 e 𝑦:
𝑥
′
𝑥
𝑦𝑦
sen
2
𝑥𝑥
cos
2
𝑥𝑦
sen 𝛼 cos 𝛼
𝑥
′
𝑥
′ = 𝐼
𝑦𝑦
2
𝑥𝑥
sen
2
𝑥𝑦
sen 𝛼 cos 𝛼
𝑥
′
𝑦
𝑥𝑦
(cos
2
𝛼 − sen
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
) sen 𝛼 cos 𝛼
Manipulando essas equações podemos chegar em:
𝑥
′
𝑥
′ −
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
𝑥
′
𝑦
′ )
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
𝑥𝑦
2
Que é a equação para o círculo de Mohr com centro em (
𝐼
𝑥𝑥
+𝐼
𝑦𝑦
2
Lembrando que 𝐼
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥
′
𝑥
𝑦
′
𝑦
′
Podemos ver a inércia máxima está no ponto A. e
a mínima está em B, com 𝐼
𝑥
′
𝑦
𝑥
′
𝑥
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
𝑥𝑦
2
𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
𝑥𝑦
2
𝑚á𝑥
e 𝐼
𝑚𝑖𝑛
definem as inércias principais do plano.
3.3. Tensor de inércia
Podemos tomar uma matriz com elementos de inércia para um plano qualquer, onde os
eixos x e y estão no plano, e o eixo z está ortogonal ao plano.
𝑜
= [
𝑥𝑥
𝑥𝑦
𝑥𝑧
𝑦𝑥
𝑦𝑦
𝑦𝑧
𝑧𝑥
𝑧𝑦
𝑧𝑧
] = [
𝑥𝑥
𝑥𝑦
𝑦𝑥
𝑦𝑦
𝑜
]
De fato 𝐼
𝑧𝑥
e 𝐼
𝑧𝑦
serão zeros, já que não possui elemento de área nos planos z-x e z-y, e
𝑧𝑧
será equivalente à inércia polar 𝐽
𝑜
. Assim para a matriz de inércia, o tensor de inércia está
definido para rotação em torno do eixo z (normal ao plano), e 𝐼 𝑜
possuirá 3 autovalores e 3
autovetores, dois dos quais apontam para o máximo e mínimo momento de inércia, e o último
aponta na direção de z, que é 𝐽 𝑜
invariante com a rotação em torno de z.
A matriz acima é preenchida considerando os eixos x, y no plano e z normal ao plano,
mas pode ser refeita para qualquer caso, seja x,z no plano e y normal ou y,z no plano e x normal.
3.5. Momentos de Inércia principais
′
′
Se estamos interessados em 𝐼
′
com as inércias máximas e mínimas, 𝐼
𝑦
′
𝑥
′ e 𝐼
𝑥
′
𝑦
′ se
anulam, e 𝐼
′
equivale a uma matriz diagonal. Pelo teorema da diagonalização em álgebra linear,
L é formado por autovetores e 𝐼
′
contém os autovalores em sua diagonal.
′
= 𝐿 [
1
2
3
] =
[𝜆
1
1
2
2
3
3
]
𝐼 ∙ 𝐿 = [
𝑥𝑥
𝑥𝑦
𝑥𝑧
𝑦𝑥
𝑦𝑦
𝑦𝑧
𝑧𝑥
𝑧𝑦
𝑧𝑧
]
[
1
2
3
]
[
1
2
3
]
Igualando as colunas 𝐼 ∙ 𝐿 = 𝐿 ∙ 𝐼
′
1
1
1
2
2
2
3
3
3
Onde 𝜆
𝑖
são autovalores da matriz I, e 𝒙
𝑖
são os autovetores associados aos respectivos
autovalores 𝜆 𝑖
. Para encontrar esses autovalores, devemos fazer:
Pode ser verificado que det(𝐼
𝑜
− 𝜆I) = 0 , faz:
𝑥𝑥
𝑥𝑦
𝑦𝑥
𝑦𝑦
𝑜
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑜
𝑥𝑦
𝑦𝑥
𝑜
Uma solução é 𝜆
1
𝑜
, e seu autovetor é [
], onde 𝑎 = ∀ℝ, na direção do eixo z.
E as outras duas soluções, são a resolução da equação:
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑦
𝑦𝑥
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑦
2
2 , 3
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑦
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑦
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
𝑥𝑦
2
Isso prova a equivalência entre círculo de Mohr e matriz de inércia.
2 , 3
𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛
Após achar 𝜆
2 , 3
, encontre os autovetores 𝒙
2
e 𝒙
3
associados e eles estarão apontados na
direção dos eixos principais de inércia 𝑥
′
e 𝑦
′
4. Exemplos
Exemplo 1: Encontre os momentos de inércia e produtos de inércia para a área
mostrada na figura abaixo em relação ao centróide da peça. Encontre os principais momentos
de inércia de área usando Mohr e o método de autovalor e autovetor.