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Exercícios de Análise de Sinal

FEUP – DEEC

Setembro 2008

recolha de problemas de diversos autores

edição feita por: H. Miranda, J. Barbosa (2000) M.I. Carvalho, A. Matos (2003, 2006, 2008)

Conte´udo

• 1 Complexos
• 2 Sinais
• 3 Sistemas
• 4 Sistemas lineares e invariantes em tempo discreto
• 5 Sistemas lineares e invariantes em tempo cont´ınuo
• 6 S´erie de Fourier em tempo cont´ınuo
• 7 Transformada de Fourier em tempo cont´ınuo
• 8 An´alise de Fourier de SLITs cont´ınuos
• 9 S´erie de Fourier em tempo discreto
• 10 Transformada de Fourier em tempo discreto
• 11 An´alise de Fourier de SLITs discretos
• 12 Transformada de Laplace
• 13 Transformada Z
• 14 Amostragem
• Anexo 1 – Decomposi¸c˜ao em Frac¸c˜oes Simples

(c) je1+j^ π^2 (d) (1 − j)^9 (e)

2 ejπ/^4 − 1+2 3 −jj (f) (1+

√ 3 j) 6 3+4j

6 Represente graficamente o m´odulo e a fase de cada uma das seguintes fun¸c˜oes complexas de vari´avel real: (a) f (x) = cos(x) (b) g(x) = cos(x)e−jx (c) h(t) = sin(2t) ejt (d) S(ω) = (1 + cos(2ω)) e−j^3 ω

7 Prove a validade das seguintes express˜oes:

(a)

N∑ − 1

n=

αn^ =

N , α = 1 11 −−ααN , α 6 = 1

(b)

∑^ ∞

n=

αn^ = (^1) −^1 α , |α| < 1

(c)

∑^ ∞

n=

nαn^ = (^) (1 −α α) 2 , |α| < 1

(d)

∑^ ∞

n=k

αn^ = α

k 1 − α ,^ |α|^ <^1

8 Determine o valor de:

(a)

∑^ ∞

n=

( (^1) − j 2

)n

(b)

∑^ ∞

n=

( (^) 1 + j 2

)n

(c)

∑^ ∞

n=

n

( (^) 1 + j 2

)n

(d)

∑^20

n=

(1 − j)n

Folha 2

Sinais

1 Considere os sinais x(t) e y(t) da figura

1

− 1 1 2 3 4

x(t)

t

1

− 1

− 2 − 1 1 2 3

y(t)

t

Determine e esboce os sinais (a) 2x(t) (b) x(t) − 2 y(t) (c) x(t)y(t) (d) x(t − 2) + 2y(t) (e) ty(t) (f) y(t)u(t) (g) 3 x(2t) u(t − 1)

2 Considere o sinal x(t) representado a seguir.

t

x(t)

− 1 1 2 3

1

2

− 1

(a) Represente x(t − 2). (b) Represente x(1 − t).

− 1

2 3 4

2

x[n]

1 1 − 2

5 6 n

− 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1

Represente x[n + 1](u[n + 3] − u[−n]) em que u[n] ´e o degrau unit´ario discreto.

7 Fa¸ca a decomposi¸c˜ao em parte par e parte ´ımpar dos seguintes sinais:

(a)

− 1 1

1

− (^2) t

x(t)

(b)

− 1 1

1

− 3 − 2 2 3 4

2

3

x[n]

− 4 5 6 n

(c)

1

2

− 1

− 1 1 2 3

z(t)

t

8 Conhecendo a parte par de x[n], xP [n], e sabendo que x[n] = 0 para n < 0, determine x[n].

− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5

xp[n] 1

118 16 − 5 n

(^14)

9 Conhecendo a parte par de x(t), xP (t), e sabendo a forma de x(t + 1)u(−t − 1), deter- mine x(t).

− 1 1

1

t

xp(t)

− 1

1

x(t + 1)u(−t − 1)

− 2 t

10 Conhecendo a parte ´ımpar de x[n], xi[n], e sabendo a forma de x[−n+1]u[n−1], determine x[n].

1

2

− 1 − 2

xi[n]

n

1

2

− 1 − 2

x[−n + 1]u[n − 1]

n

11 Calcule, para o sinal peri´odico v(t) representado a seguir:

t

A

v(t)

− 1 1

(a) o valor m´edio: 〈v(t)〉; (b) a potˆencia: 〈v^2 (t)〉; (c) o valor eficaz: vRM S ; (d) a componente alternada: vAC(t).

Folha 3

Sistemas

1 Considere um sistema S com entrada x[n] e sa´ıda y[n], que ´e constitu´ıdo pela liga¸c˜ao em s´erie de um subsistema S 1 seguido por um subsistema S 2. Estes dois subsistemas caracterizam-se pelas seguintes rela¸c˜oes entrada-sa´ıda: S 1 : y 1 [n] = x 1 [n] + 2x 1 [n + 1] S 2 : y 2 [n] = x 2 [n − 3] − 4 x 2 [n − 1] (a) Determine a rela¸c˜ao entrada-sa´ıda para o sistema composto S. (b) Esta rela¸c˜ao ser´a alterada se a ordem dos dois subsistemas em s´erie for modificada?

2 Considere um sistema S composto por trˆes subsistema como indica a figura.

S 1

S 2

S 3

x ( t ) y ( t )

As rela¸c˜oes entrada-sa´ıda dos trˆes subsistemas s˜ao, respectivamente: S 1 : y 1 (t) = tx 1 (t) S 2 : y 2 (t) = x 2 (t − 1) S 3 : y 3 (t) = x 3 (− 2 t). (a) Determine a rela¸c˜ao entrada-sa´ıda do sistema composto. (b) Determine e esboce a sa´ıda y(t) quando x(t) = u(t) − u(t − 1).

3 Considere o sistema S de entrada x(t) e sa´ıda y(t) caracterizado por

y(t) =

∫ (^) t −∞

x(s)ds.

Determine e esboce y(t) quando a entrada do sistema ´e (a) x(t) = δ(t + 1) − 2 δ(t − 1) (b) x(t) = u(t + 2) − u(t − 1)

(c) x(t) = tu(t)u(1 − t)

4 Classifique os sistemas seguintes relativamente `as qualidades de ter ou n˜ao mem´oria, in- variˆancia no tempo, linearidade, causalidade e estabilidade. (a) y(t) = ex(t) (b) y[n] = x[n]x[n − 1] (c) y(t) = x(t − 1) − x(1 − t) (d) y[n] = x[2n]

5 Classifique cada um dos seguintes sistemas com entrada x e sa´ıda y quanto `a linearidade e invariˆancia no tempo (a) y(t) = t^2 x(t − 1) (b) y[n] = x^2 [n − 2] (c) y[n] = x[n + 1] − x[n − 1] (d) y(t) = xi(t), onde xi(t) ´e a parte ´ımpar de x(t).

6 Considere um sistema em tempo cont´ınuo de entrada x(t) e sa´ıda y(t) = xp(t) (parte par de x(t)). Verifique quais as propriedades que este sistema possui.

7 Em cada caso identifique um sistema com as propriedades indicadas. Caso n˜ao seja poss´ıvel, indique a raz˜ao. (a) linear, em tempo discreto, est´avel, com mem´oria e causal; (b) n˜ao causal e sem mem´oria; (c) linear, inst´avel e sem mem´oria; (d) n˜ao linear, n˜ao causal e invariante.

(b) Sabendo que a resposta de um sistema LTI a entrada δ[n] ´e um sinal h[n], determine a resposta z[n] deste sistemaa entrada w[n]. (c) Sendo h[n] o sinal da figura, esboce z[n].

1

− 1

h[n]

− (^2) n

− 1 1

2 3

3 Sabendo que a resposta de um SLIT `a entrada δ[n] ´e

2

)n u[n], determine a resposta do sistema `a entrada u[n].

4 Sabendo que a resposta de um SLIT `a entrada u[n] ´e s[n] =

3

)n u[n], determine a resposta impulsional do sistema.

5 Calcule a convolu¸c˜ao y[n] entre os sinais x[n] e h[n] representados a seguir:

(a)

1

− 1 1 2 3 4

x[n]

n

1

− 1

− 2 − 1 1 2 3

h[n]

n

(b)

− 1 1

1

− 3 − 2 2 3

2

− 4 n

x[n]

− 1 1

1

− 2 2 3 4 5 6 n

h[n]

(c)

1

− 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x[n]

n

1

− 1 1 2 3

h[n]

n

6 Calcule (αnu[n]) ∗ (βnu[n]).

7 Considere um sistema linear e invariante em tempo discreto com resposta impulsional h[n] =

2

)n u[n]. (a) O sistema ´e est´avel? E tem mem´oria? (b) Calcule a sa´ıda do sistema quando a sua entrada ´e o sinal x[n] = u[n + 2] − u[n − 3].

8 Considere o sinal x[n] = 0. 8 nu[n] aplicado `a entrada de um SLIT com resposta impulsional h[n] = u[n + 1] − u[n − 2]. (a) Indique se este sistema ´e ou n˜ao causal e est´avel. (b) Calcule o sinal de sa´ıda do sistema.

− 1 1 − 1

v 1 (t) t 1 2

2

t

v 2 (t) 3

1

3

(c)

1

− 1 1

x(t)

t

1

1

h(t)

t (d)

− 1 1

1

v 1 (t)

t − 1 1

v 2 (t)

t

1

2 3

3 Em cada caso determine y(t) = x(t) ∗ h(t):

(a) x(t) = e−^2 tu(t), h(t) = 3u(t). (b) x(t) = e−^2 tu(t), h(t) = e−^3 tu(t). (c) x(t) = e−^2 tu(t)u(4 − t), h(t) = u(t)u(3 − t). (d) x(t) = cos(πt)u(t)u(1 − t), h(t) = u(t + 1)u(1 − t). (e) x(t) = h(t) = sin(t)u(t).

4 Considere um sistema cont´ınuo LTI, de entrada x(t), sa´ıda y(t) e com resposta impulsional h(t) = u(t) − u(t − 4). (a) Este sistema ´e causal? E tem mem´oria? Justifique as respostas. (b) Sabendo que x(t) = e−^2 tu(t) determine y(t).

5 Dois sistemas cont´ınuos LTI, S 1 e S 2 , com respostas impulsionais, respectivamente, h 1 (t) e h 2 (t) representadas na figura, s˜ao ligados em s´erie para formar um sistema composto.

1

− 1

− 1 1

h 1 (t)

t

1

1 2

h 2 (t)

t

(a) Determine e represente graficamente a resposta impulsional h(t) do sistema composto.

(b) Indique se o sistema composto ´e: i. causal; ii. est´avel.

Determine x(t).

6 Calcule a s´erie de Fourier do sinal v(t), representado a seguir.

t

1

v(t)

−T − T 2 T 2 T

7 (a) Mostre que o sinal v(t)

v(t)

−T 1 T 1 t

1

−T (^0) − T 20 T 20 T 0

tem como s´erie de Fourier v(t) =^2 TT^1 0

k=

2 sin(kω 0 T 1 ) kπ cos(kω^0 t), ω^0 =

2 π T 0.

(b) Atendendo `a s´erie de Fourier de v(t), determine a s´erie de Fourier de: i.

−T 1 T 1 t

v 1 (t) 1 − T^02 2 T 20 −T 0 T 0 − (^12)

ii.

−T (^0) − T 20 −T 1 T 1 T 20 T 0 t

v 2 (t)

− T 21 T 21

1

2

8 Determine os sinais x(t) que satisfazem simultaneamente as seguintes condi¸c˜oes:

(a) x(t) ´e um sinal real; (b) x(t) tem per´ıodo 4, e coeficientes da s´erie de Fourier ak; (c) ak = 0, |k| > 1; (d) o sinal y(t) com coeficientes de Fourier bk = e−jkπ/^2 a−k ´e real e ´ımpar; (e) (^14)

0 |x(t)|^2 dt^ =^12.

Folha 7

Transformada de Fourier em tempo

cont´ınuo

1 Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais: (a) x(t) = δ(t − 4). (b)

1

− 2 − 1 1 2

x(t)

t (c) f (t)

−T t

1

(d) f (t) = A (e) f (t) = ejω^0 t (f) f (t) = u(t) (g) f (t) = u(t − 1) − u(t − 3) (h) f (t) = cos

( (^2) π T t

[u(t + T ) − u(t − T )] (i) f (t) ´e peri´odico (per´ıodo T 0 ) f (t)

−T 1

1

−T 0 T 1 T 0 t

(j) f (t) 1

− 2 − 1 1 t