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CAPÍTULO 3
Exercícios 3.
1. b ) Seja a série k k^ k
2
2
¬ ln.^ A função^ f x^ ( )^^ ^ x ln x
2 é contínua, decrescente e
positiva no intervalo [ , 3 [.De ln x 1 para x 3, temos
3 2 3 2
⁄^ dx ^ ⁄
x x
dx ln x
3 2
dx x ln x
convergente fi ¬
k k^ k
2
2
ln
convergente.
d ) Seja a série k
k k
. A função f x x x
é contínua, positiva e decrescente
em [ , 0 [.Temos:
0 4 0 4
2 (^1 )
⁄ ⁄ ^
∆ ∆
ŒÕ^
x dx x
x dx x
lim lim x
arc tg
.
x dx x
convergente fi ¬
k
k k
0 1 ^4
convergente.
e ) Seja a série k k^ k^ k
2
¬ ln ln(ln ).
Seja f x x x x x x x
( ) dx ln ln(ln )
ln ln(ln )
3
Então, ⁄
lim ln(ln ln ) ,
∆
[ x^ ] 3 pois
ln(ln ln ) ln ln(ln )
x. x x x
[ ] ^
Portanto, a série k k^ k^ k
2
¬ (^) ln ln(ln ) é divergente.
f ) Seja a série k k^ k^ k
2
¬ 1 ln [ln(ln )]
Temos 3
⁄ ^ ∆ [^ ]
dx x ln x [ln(ln x )] lim ln(ln ) ln(ln )
ln(ln^3 )^. 1
1
Portanto, (^3)
⁄
dx x ln x [ln(ln x )] é convergente para^ ^ 1.
Daí, k k^ k^ k
2
¬ (^) ln [ln(ln )] é, também, convergente para^ ^ 1.
3. Suponha que f : [0, [ seja contínua, decrescente e positiva e que a série f k k
0
¬
seja convergente com soma s. Então, f x dx ( ) 0
⁄ é convergente e temos, para todo^ n ,
0 0 1
s f k f k f x dx k k n
n n ¬ ( )^ ¬ ( )^ ⁄ ( )^.
Logo, f k k
n ( ) 0
¬ é um valor aproximado para^ s , com erro inferior a^ n f x dx ( )^.
⁄
6. a ) k
k k n f n
0
2 (^2 2 1 )
¬ (^2) ( ) ... ... que é uma série geométrica de
razão 2 1.
Logo, 2 2 0
k k
f k
¬ (^ )^ é convergente para^ ^ 1 e^ s^ ^
; é divergente para 1.
b ) Utilizando o critério de Cauchy-Fermat e ( a ):
2 2 0
k k
f k
¬ (^ )^ é convergente para^ ^1 fi^ ¬ ¬ k k
f k k
E
1 1
( ) ( 2 ) é convergente
para 1.
k
k (^) f k
0
¬ 2 (^2 )^ é divergente para^ ^1 fi^ ¬ k k
1
(^1) é divergente para 1.
7. a ) Seja f k^ k k
(ln )
1 .Então,
k
k k k
k k k k
e f e e e^ e^ k
1 1 1
¬ (^ )^ ¬ (^) (ln ) ¬
que é a série harmônica de ordem : convergente para 1 e divergente para 1.
Então, k k
f k k^ k
2 2
¬ ( )^ ¬ (ln ) é convergente para^ ^ 1 e divergente para^ ^ 1.
b ) Seja f k k k k
ln [ln(ln )]
k
k k k
k e f e (^) k k k e e^ e^ e
2 1
¬ (^ )^ ¬ ln [ln(ln )]
k 2 k^ k
¬ (^) (ln ) convergente para^ ^ 1 e divergente para^ ^1
(Exercício 7 a ).
Portanto, k k^ k^ k
2
¬ (^) ln [ln(ln )] é convergente para^ ^ 1 e divergente para^ ^ 1.
c ) Seja f k k k k k
ln ln(ln ) [ln ln(ln )]
k
k k k
e f e k^ k^ k
2 2
¬ (^ )^ ¬ ln [ln ln ] é convergente para^ ^ 1 e divergente para^ ^1
(Exercício 7 b ). Portanto,
k k^ k^ k^ k
2
¬ (^) ln ln(ln )[ln ln(ln )] é convergente para^ ^ 1 e divergente para^ ^ 1.
d ) Seja f k k
(ln )
k
k k k
k k k
k e f e e e
e k
2 2 2
¬ (^ )^ ¬ (^) (ln ) ¬ é divergente. Logo, k k
2
¬ (^) (ln ) é divergente.
e ) Seja f k k k
ln [ln ln ]
1 .Aplicando o critério de Cauchy-Fermat duas vezes, chega-
se a k
ek k
2
¬ que é divergente (Exercício 7 d ).
Exercícios 3.
1. b ) Sejam a k e k k c^ e
k (^) k k
e A série k
e k
0
¬ ,^ usada como comparação, é
convergente (série geométrica de razão e^1 1). Como
ambas as séries k
k
k
k e k k
e
0 0
¬ 2 3 ¬
( ) (^) e são convergentes (pelo critério do limite).
lim lim , k
k k k
a c
k ∆ ∆ k
Como lim cos lim k k
k k k ∆ À ∆ k
à Ø^
2 2
2 2 (^1 )
sen
lim / /
k
k ∆ k k
sen 1 2 ◊sen 1 2
2 2 2 a série tem chance de ser
convergente. Tomando como série de comparação a harmônica convergente k k
1
2
¬ (^2) , segue
a k k c k k k
À cos^ àØ e.
lim lim k
k k k
a c
k k
k ∆ ∆ À
à ^ ^2 Ø^ ◊
(^2) sen 2 2 2 2
lim. k
k
k
k
k
∆
sen 1 sen 2 1 2
2
2
2
2
Pelo critério do limite, concluímos a convergência da série dada.
m ) Sejam a k c k k k ln 1 .
À^2
à Ø e
lim lim ln ln lim ln k
k k k^ k
a k c k k k e ∆ ∆ À ∆
à Ø À
à ^ ^ ^ ^ Ø ^ ^
2 (^1 2 )
2 .
Pelo critério do limite, como a série de comparação foi a harmônica convergente
k k
1
2
¬ ,^ concluímos que a série k k
1
¬ (^) À
à ln (^) Ø é convergente.
3. A série k
k
0
¬ 2 /^2 é convergente pois é uma série geométrica de razão^2 2
1 2/ (^) 1.
Façamos a (^) k k^ k ck k 2 e 2 /^2 ( 0).
Temos lim lim (^) / k
k k k^ k
a c
k ∆ ∆
2 2 0 (por L’Hospital). Pelo critério do limite, a série dada é convergente.
5. a ) Seja lim (ln )
k
k ∆ k ^ ^0 Façamos ln^ k^ ^ u. Logo,^ k^ ^ e^ u. Se^ k^ ∆^ ^ , u ∆
lim (ln )
lim k u
k u k
e ∆ ∆ u ^ (utilizando L’Hospital).
b ) Sejam a k c k k k
(ln )^ ^ e ( 0). Temos
lim lim (ln )
k
k k k
a c
k ∆ ∆ k
Pelo critério do limite, visto que a série de comparação é a harmônica divergente
k k
1
¬ ,^ concluímos que a série k k
2
¬ (^) (ln ) é divergente.
6. a ) Sejam a k k (^) k k
2 3
(ln ) e c k (^) k
(ln )^3.
A série k k
2
3
¬ (^) (ln ) é divergente (Exercício 5 b )
lim lim lim k
k k k^ k
a c
k ∆ ∆ k^ ∆ À k
à ^ Ø
2 2 2
Pelo critério do limite, concluímos que a série k
k k^ k
3
2 2 3
¬ (^) (ln ) é divergente.
c ) Para (^) k k
k (^4) k
. Por comparação, k
k
k
0
¬ (^)! é convergente, pois k
k
4
4
¬ (^2) é
uma série geométrica convergente.
d ) A série k k^ k
3
10
¬ (^) (ln ) é convergente (Exemplo 2 da Seção 3.1: critério da integral).
Observe que se tomássemos como série de comparação a harmônica convergente
k k
3
2
¬ , teríamos^ k lim^ lim^ (ln ).
k k k
a c
k ∆ ∆ k
Portanto, o critério do limite não nos daria informação alguma sobre a convergência ou divergência da série dada.
e ) Pelo critério de Cauchy-Fermat, o comportamento da série 1 k 3 k^ k (ln )^
¬ é o mesmo
que o de e k
k
k
( ) .
1
0
¬ (^) Então, para^ 1 e^ ^ ^ 0 ou^ ^ 1 e^ ^ 1 a série será
convergente; para 1 e 0 1 ou 0 1 e 0 a série será divergente.
Temos:
k n^ k
n n
k k
k k
n
(^)
1 1
¬ ln^ lim∆ ¬ ln^ lim ln (∆^ )^.
11. a ) Temos ln ln.
k k
k k
Utilizando o Exercício 10,
k k
k k
k k
1 1
¬ ¬ 1 ln.
b ) Temos
k
n (^) k k
n n
1
¬ ln^ ln^ ln^ ln^ ...^ ln
ln ... 1
n n ln (^ )(^ ) ... (^ ^ ) ... ln (^ )(^ ) ... (^ ) !
1 2 1 1 2 3
◊ ◊ 1 2 1 ◊ ◊ ◊
n n
n n
Portanto,
ln (^)
(^1 2 1 )
1 n n
e k
n (^) k
¬ k Por a ),
lim (^ )(^ ) ... (^ ) !
lim ln n
k n k n
e n^ k
n
∆
1 2 (^1) (^) (^1) 0
1
Ou seja, (^) lim (^ ) (^ ) ... (^ ) !
n
n ∆ n
c ) Temos que ( )( ) ... ( ) !
n 1 2 1 n
n n
n
a (^) n
para todo n 1.
A série n
n (^) an
1
¬ (^1 )^ é alternada. Temos^ a a
n n
n n n
1 , 1 , logo, a (^) n é
decrescente. Como a seqüência a (^) n é decrescente e (^) lim ( ) n n
a b ∆
0 11 , segue que a série
n
n n
1
¬
é convergente.
Exercícios 3.
1. b ) lim lim
n (^ )^!
n n n
n n
n n
a a
n n
n ∆ ∆ n
(^)
1 1
lim (^ ) ( )
lim n n^ n n
n n n n
n n
∆ ∆ e
À
à Ø À
à Ø
Pelo critério da razão a série n
n n
n n
1
¬
! (^) é convergente.
c ) (^) lim lim (^ )^ lim n
n n n
n n (^) n
a a
n ∆ ∆ n ∆ n
◊ À
à Ø
(^1) ^ 1 1 1 1.
Pelo critério da razão, se 0 1 a série n
n n
1
¬ é convergente.
Se 1 a série é divergente.
Para 1, temos a série n
n
1
¬ ,^ que é divergente.
d ) De n
k n n k
1
¬ [^1 ]^1 1 ,^ resulta n
n n
1
¬ [^1 ]^ , logo, a série é
divergente.
2. Se a 0, então a n
n !
0. Aplicando o critério da razão:
lim lim ( )!
lim ( )
n
n n n
n n (^) n
a a
a n
n a
a ∆ ∆ ∆ n
1 1 1
Temos
1 1
n (^) n n x dx x x x n n n (^) n n e ⁄ ln^ [^ ln^ ]^ ^ ln^ ^ ln^ ◊ e.
De , resulta ln (^ n^ )!^ ln^ ln^! n e
e n
n 1 (^) n ◊
Segue que: ( n 1 )! e n^ en n^ n e! n.
6. lim lim (^ )! ( )!
lim (^ ) ( ) n
n n n
n n
n n (^) n n
a a
n x n
n n x
x n n n
∆ ∆ ∆
À
à Ø
(^) (^)
1 1 1
Então, lim n
n n
a a
x ∆ e
(^1) ( x 0)
Pelo critério da razão, a série é convergente se x e
1, ou seja, 0 x e , e divergente se
x e. Para x e, a série é divergente (Exercício 5). Logo, a série será convergente para 0 x e.
Sendo a n t a a n^ ^0 ,^ ^ 1 0,^1 e^ n n^1 t ,para todo^ n^ ^ 1, resulta a n 1 a^ nt , para todo n 1. Assim, a 2 a 1 t , a 3 a 2 t a 1 t^2 , a 4 a 3 t a 1 t^3 e de modo geral
a (^) n a 1 tn^^1 , para todo n 1. Como 0 t 1, a série geométrica k
tk
0
¬ é
convergente, daí, pelo critério de comparação, k
ak
1
¬ será também convergente.
8. a ) Temos a a
a n b n
n n
(^1) , ,
se é par se é ímpar
œÃ ”
Logo, não existe lim. n
n n
a ∆ a
1
b ) A série n
an
1
¬ é tal que^ a^ n ^ 0 para todo^ n^ ^ 1, pois 0^ a^ b^ 1.
Por a , a a
n a n
(^1) 1 ou a a
n b n
(^1) 1. Pelo Exercício 7, a série dada é convergente.
c )
a
a a a a b b b b n k n (^) a a a a b b b b n k
k k
k k
œ Ã
fatores fatores
fatores fatores
se
se
1
Segue que
a
ab n k ab a b
n n k n k
( )
se se
œ Ã
Olhando para a expressão de an resulta, para n 2 , a na (^) n b 1. Daí, para n 2,
0 a (^) n b n. A convergência da série segue por comparação com a série geométrica
convergente n
bn
0
¬.
d ) À mesma conclusão chega-se olhando para a expressão de n^ a (^) n : lim. n n
n (^) a ab ∆
Como ab 1, pelo critério da raiz, a série é convergente.
e ) Este exemplo nos mostra que lim n n
n (^) a ∆
pode existir sem que exista o limite
lim. n
n n
a ∆ a
1
Exercícios 3.
a a
n n e
n e n n e
n n
n n
n n
n (^)
1 1
À
à Ø ◊
lim lim. n
n n n
a n ∆ a ∆ À n e
à Ø^ ◊
Logo, o critério da razão nada revela. Utilizando o critério de Raabe,
lim lim ( ) n
n n n
n n a a
n ∆ À¡^ ∆ n e
à Øò^
◊ (^) À àØ À¡
à Øò^
lim n
n n e
n
∆
À
à À¡ Ø^ ◊
à Øò À
à Ø
a a
n n n
n n
n n
(^)
(^1 1 2 1) 1 1 2 1
( )( ) ... ( )( ) ( )!
! ( )( ) ... ( )
◊ ◊ ◊ ◊
n n 1
Como lim , n
n n
a ∆ a
(^1) 1 o critério da razão não decide.
Utilizamos então o critério de Raabe.
lim lim ( ) lim ( ). n
n n n^ n
n a a
n n n
n ∆ À¡^ ∆ ∆ n
à Øò^ À¡
à Øò
Se 1 1, ou seja, 0 a série é convergente. Se 1 1, ou seja, 0 a série é divergente.
7. Seja a (^) k uma seqüência de termos estritamente positivos tal que
lim ,. k
k k
k
a a
L L
∆ À¡^
à Øò
1 ^1 0
De 1
1
1
a a
L
k
k a a
L
k
k k
k À k
à Øò segue lim. k
k k
a ∆ a
Vamos aplicar o critério de Raabe à série k
k am
0
¬. Lembrando que
(1 x m ) (1 x )(1 x x^2 ... x n^^1 ), resulta
lim lim ... k
k k
m k
k k L
k k
k k
k k
m
m
k a a
k a a
a a
a a
a ∆ À¡^ ∆ a
à Øò
Õ
Õ
Õ
˙ À¡^
à Øò^ À¡^
à Øò
Õ
Õ
1 1 1 ^1 1 ^1 ^1
2 1
1
(^14 42 44 31 444444442 )
Portanto, existe um natural m L
1 ( L 0 ) tal que lim. k
k k
m k a ∆ À¡^ a
à Øò
Õ
Õ
1 ^1 1
Pelo critério de Raabe, a série k
k am
0
¬ é convergente. Conseqüentemente,^ k lim k am ∆
(condição necessária para convergência). Segue que lim. k k
a ∆
8. Seja a (^) k , k 0, uma seqüência de termos estritamente positivos tal que
lim ,. k k^
k k
a a a
L L
∆ À¡^
à Øò
1 ^1 0
Segue da hipótese que existe k 0 tal que para todo k k 0 ,
a a
k k
(^1) 1. Então, para
k k (^) 0 , a (^) k 1 ak. Logo,^ lim k k
a ∆
não pode ser zero.
9. a ) lim lim ( ) k
k k k
k
a a k k ∆ À¡^ ∆ k
à Øò^ À¡
à Øò
Utilizando o Exercício 7, Exercícios 3.5. Se (1 ) 0, ou seja, 1, então lim. k k
a ∆
Utilizando o Exercício 8, Exercícios 3.5, se 1 0 e, portanto,
1 , então lim 0. k k
a ∆
π
10. Queremos estudar a série alternada n
n (^) an
1
¬ (^ )^ ,^ onde
a n n (^) n n
, dado. Vamos precisar calcular o limite de^ a^ n bem
como estudar tal seqüência com relação a crescimento ou decrescimento. Para isso, vamos pedir ajuda ao critério de Raabe. Temos
a a
n n n n
n n
. Segue que n
a a
x x x
n n
1 2 1^1
Õ
( ) (^) , onde x n
Aplicando L’Hospital, obtemos
lim lim (^ ) n
n n x
n
a a
x x ∆ (^) ∆ x
Õ
0
1
^ ^ ^
lim (^)
x
x x x ∆ 0 x
1 2 2
Para
, lim 1 1 0 , log lim 0 n
n n n^
n (^) n a a
a ∆ ∆
Õ
˙ o^ π (Exercício 8 da Seção 3.5) e,
portanto, a série é divergente.
e
lim ln n
n ∆
segue
lim ln (^). n
n n
n n
a a
c b ∆ À¡^ c^ b
à Øò
Õ
œÃ ”
(^1 1 ) 1 1
se se
Por outro lado, se c 1 b 1 1 0, pelo fato de lim^ ln (^) , n
n ∆ n
(^0) teremos, também,
lim ln. ( ) n
n n
n n a ∆ À¡^ a
à Øò
Õ
1 ^1 1 0 Verifique.
Pelo critério de De Morgan, a série será convergente se c 1 b 1 1 e divergente se c 1 b 1 1.
