Baixe Solucionário - Cálculo B - Diva Flemming e outras Exercícios em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity!
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 18 – 20.
CAPÍTULO 1
1.4 Exercícios — pág 18
(1 a 11)
Observação para o leitor: os gráficos apresentados foram construídos em softwares livres.
Em geral os de duas dimensões foram realizados com o Graph (http://www.padowan.dk) e
os gráficos de três dimensões com o Winplot (http://math.exeter.edu/rparris).
- Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:
a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35.
2 2
2 2 2
C H L
H L C
2 2 C H , L H L.
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e
y metros de altura.
V xy x y
2
c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular
de largura a e comprimento b.
f a , b 2 a 2 b.
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as
paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de
comprimento, se a altura do quarto é z metros.
f x , y , z 2 yz 2 xz.
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensão x, y e z.
V x , y , z xyz.
f) A distância entre dois pontos P x , y , z eQ u , v , w .
2 2 2 d x , y , z , u , v , w x u y v z w.
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g) A temperatura nos pontos de uma esfera se ela, em qualquer ponto, é
numericamente igual à distância do ponto ao centro da esfera.
Para uma esfera centrada em x 0 , y 0 , z 0 temos:
2 0
2 0
2 T x , y , z x x 0 y y z z.
- Uma loja vende certo produto P de duas marcas distintas A e B. A demanda do
produto com marca A depende do seu preço e do preço da marca competitiva B. A
demanda do produto com marca A é
DA 1300 50 x 20 y^ unidades/mês
e do produto com marca B é
DB 1700 12 x 20 y unidades/mês
onde x é o preço do produto A e y é o preço do produto B.
Escrever uma função que expresse a receita total mensal da loja, obtido com a venda
do produto P.
Receita = (número de unidades A por mês) x + (número de unidades B por mês) y
2 2
2 2
x y x y xy
x x xy y xy y
Rx y x yx x y y
- Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
a) z 3 x y
z
Dz
Im
2
b)
2 2 f x , y 1 x y
Im 1 ,
2
f
D f
c)
2 2 z 9 x y
Temos que:
2 2
2 2
x y
x y
Assim,
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2 Dz
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
x
y
b) 2 2 2
x y z
w
, , / , , 0 , 0 , 0
3 Dw xyz xyz
c) 2 2
x y
z
D z x , y / x y 0 x , y / x y
2 2 2 2
x
y
z
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
d) 1
2
y
x z
, / 1 0
2 2 Dz xy y
Como 1
2 y é sempre 0 , temos que:
2 Dz
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
x
y
e) 1
2 2 z x y
, / 1
2 2 2
2 2 2
x y x y
Dz x y x y
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-6 -4 -2 2 4 6
2
4
x
y
h)
y
x
z e
, / 0
2 Dz xy y
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
x
y
i) z
x y
2 e z z
x Dy x y
1° caso: 1 x 0 e 1 z 0
2° caso: 1 x 0 e 1 z 0
Logo: 1) x 1 e z 1 ou
- x 1 e z 1
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-6 -4 -2 2 4 6
2
4
x
y
j) 2 2 2 9
x y z
w
(^)
, , / 9
3 2 2 2
3 2 2 2
x y z x y z
Dw x yz x y z
y
x
z
k) x y
z
D z x , y / y x
2
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-6 -4 -2 2 4 6
2
4
x
y
n) z ln x y 3
, / 3
2
2
x y x y
Dz x y x y
-2 2 4 6
2
x
y
o)
1
y
x z
, / 4 1
2
2
x y x e y
Dz x y x e y
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-6 -4 -2 2 4 6 8
2
4
6
x
y
p)
2 2 2 f x , y , z 1 x 1 y 1 z
, , / 1 1 , 1 1 1 1
3
3
3
3 2 2 2
x y z x y e z
x y z x x y y e z z
x y z x x y y e z z
D f x y z x y e z
q) z ln 5 x 2 y 4
, | 5 2 4 0
2 Dz xy x y
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, | 9
2 2 2
2
Dy xz z x x
Dz
b) 3 9
2 2 2 x y z
2 2 2
2 2 1
z x y
z x y
, | 3 9
2 2 2
2 2 2 1 2
x y x y
Dz Dz x y x y
c)
2 2 2 l m n
2 2 2
2 2 1
l m n
l m n
2 Dl 1 Dl 2
6. Dada a função
x y
x y f x y
a) Dar o domínio:
, | 2 0
2 Dz xy x y :
b) Calcular f x x , y
x x y
x x y
x x y
x x y f x x y
c) Calcular f 1 , 0
f :
d) Fazer um esboço gráfico do domínio:
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-2 -1 1 2
1
2
x
y
- Desenhar as curvas de nível Ck para os valores de k dados.
a) ; 0 , 1 , 2 , 3
2 2 z x y k
x
y
b) ; 0 , 1 , 2 , 3
2 2 z y x k
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x
y
Observamos que para k=0 temos uma curva de nível degenerada ( m=n=0 ).
e) , 2 4 ; 2 , 3 , 4 , 8
2 2 f xy x y k
x
y
f) f x , y x y ; k 5 , 4 , 3 , 2
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x
y
Nos exercícios 8 a 10, o conjunto S representa uma chapa plana, e T x , y , a temperatura
nos pontos da chapa. Determinar as isotermas, representando-as geometricamente
8-
2 2 2 2 S x , y | x y 16 ; Tx , y x y
Resposta: circunferências concêntricas 0 16
2 2 x y k com k
x
y
2 S x , y / 0 x 4 , 0 y 8 ; Tx , y 4 x
Resposta: segmentos de retas verticais x 4 k , 12 k 4
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x
y
Resposta: circunferências concêntricas , 42 8 2
2 2 k
k x y ; para k=8 , temos
uma curva de nível degenerada ( x=y=0 ).
- Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico dos seguintes parabolóides.
a)
2 2 z 2 x 2 y
Gráfico da função e das curvas de níveis.
x
y
Exemplos de curvas de níveis
2 2
2 2
x y
x y e
2 2
2 2
x y
x y
b)
2 2 z 2 x 2 y
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 18 – 20.
Gráfico da função e das curvas de níveis.
x
y
Exemplos de curvas de níveis
2 2
2 2
x y
x y e
2 2
2 2
x y
x y
c) 1
2 2 z x y
Gráfico da função e das curvas de níveis.
x
y
Exemplos de curvas de níveis
2 2
2 2
x y
x y e
2 2
2 2
x y
x y
