Baixe Deformações em Barras: Determinação de Deslocamentos e Tensões e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
Neste caso em estudo, como todos os pontos pertencentes a uma certa seção transversal possuem o mesmo deslocamento axial, conhecido o campo de deformações longitudinais ao longo do eixo é possível determinar a variação de comprimento total da barra pela seguinte integração :
∆ L = ∫ 0 L ∆dx = ∫ 0 L εxdx (1.6)
Quanto à deformação transversal responsável pelos efeitos de encurtamento ou alongamento na direção ortogonal ao eixo, pode-se chegar a uma medida linear para ela procedendo-se de forma análoga, considerando-se, agora, um elemento de comprimento dy. Sendo, no caso v a componente de interesse do deslocamento,
∆dy a variação do comprimento inicial do elemento e εy a deformação
transversal específica definida por ε (^) y =^ ∆dydy , valem as relações :
( y )
y
dy dy dy 1
dy
dv
∆ ε
ε
Deve-se ressaltar que os elementos infinitesimais de barra até agora considerados possuem lados paralelos aos eixos de referência. Entretanto, tomando-se um elemento retangular de lados dx’ e dy’ inclinados com relação àqueles eixos, o estudo da deformação apresenta um caráter mais geral, que será brevemente descrito no que segue e retomado oportunamente no capítulo das deformações. Considere-se uma porção quadrangular de barra com lados paralelos aos eixos x’^ e y’ , obtidos mediante uma rotação a partir dos eixos iniciais de referência x e y , conforme indicado na figura 1.7.
C
y' C'
A
A'B
B' x'
y
x
dy’^ dx’
Figura 1.7 – Deformação de um elemento de lados inclinados com relação ao eixo da barra
Nessa porção destacam-se os segmentos A B e A C , de comprimentos dx’ e dy’ , respectivamente, posicionados sobre os eixos de referência na situação inicial e que passam às posições
A ′ B ′ e A ′ C ′ na situação deformada. Na figura 1.8 ilustra-se a relação entre as componentes de deformação e as componentes do campo de deslocamentos segundo as direções inclinadas. Nota-se que, agora, u ′^ = u ′( x ′, y ′) e v ′^ = v ′( x ′, y ′).
Tomando-se inicialmente a direção de A B como referência, pode-se definir uma deformação específica a ela associada pela seguinte relação :
A B
AB A B
x ε ′ = ′ ′^ − (1.8)
x =^ u dx
)-dx x dx(1+ u x = ′ ∂∂′′
ε ′ (1.11)
Fazendo-se uso dos mesmos argumentos, pode-se definir a
deformação específica associada à direção de A C , obtendo-se a seguinte relação :
y = v dy
dy(1+ yv )-dy y = ′ ∂∂ ′′
ε ′ (1.12)
Há, finalmente, uma terceira medida, denominada distorção angular , que vem completar a caracterização da deformação local e tem o significado de variação do ângulo inicialmente reto entre as
direções A B e A C. Com os elementos da figura 1.8 e considerando-se que na hipótese de giros pequenos a tangente do arco se confunde com o seno e com o próprio arco, tal medida pode ser expressa na seguinte forma :
_y
γ ′ ∂ ′ (1.13)
As (1.11), (1.12) e (1.13) compõem as relações deformação-
deslocamento no regime de pequenas deformações. Por convenção, as deformações específicas longitudinais são positivas quando a elas correspondem acréscimos de comprimento
( ∆L>0) ; a distorção angular é positiva quando a ela corresponde uma diminuição do ângulo inicialmente reto.
1.2.2) Determinação das tensões : relações de equilíbrio
Passando, então, a uma análise do efeito do carregamento externo em termos de esforços gerados internamente, nota-se que em qualquer seção obtida por um corte segundo um plano ortogonal ao eixo, haverá um esforço normal N de valor constante e igual à força aplicada F ; o diagrama de força normal ilustra a sua distribuição ao longo do comprimento da barra (v.fig.1.9a).
Figura 1.9 - Tensões segundo diferentes planos definidos num ponto da barra tracionada
Observando-se, por outro lado, o equilíbrio um segmento de barra obtido por uma seção ortogonal ao eixo, em posição qualquer a partir da extremidade livre da barra, a resultante de uma distribuição de tensões normais que existem em cada um dos pontos da seção transversal (v.fig.1.9b), define um esforço normal matematicamente definido pela seguinte relação:
N = ∫ Aσ (^) x dA (1.14)
Em coerência com o modelo de deformação admitido para a barra, conclui-se que as tensões normais possuem uma distribuição
que se decompõe numa componente normal σσαα e numa de cisalhamento τταα (v.fig.1.9d). Valem, portanto, as seguintes relações :
∫
∫
∫
α
α
α
α α
α α
α α
α τ
α σ
ρ
A
A
A
Nsen dA
Ncos dA
N dA
(1.17a,b,c)
Tendo-se em vista que a relação entre as áreas até agora
definidas no estudo pode ser colocada na forma : α (^) cosα A = A , as
(1.17) fornecem expressões para o cálculo das componentes de tensão no ponto, segundo um plano qualquer, em função do valor da
tensão normal σ (^) x , determinada diretamente pela (1.16), e do ângulo
de inclinação do plano com relação à horizontal. Assim sendo resultam :
ρα = NcosA α=σxcos α
σ (^) α =^ NcosαcosAα=σx cos^2 α (1.18a,b,c)
τα α α=σ senαcos^ α A = Nsen cos x
