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Sistemas Lineares
Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas entre elas que apresentam a forma a seguir:
A chave do lado esquerdo é o símbolo usado para sinalizar que as equações fazem parte de um sistema. O resultado do sistema é dado pelo resultado de cada equação. Os coeficientes a (^) mxm , am2 xm2 , am3 xm3, ... , a (^) n, an2, an3 das incógnitas x (^) 1, xm2,xm3 , ... , xn, xn2, xn3 são números reais. Ao mesmo tempo, b também é um número real que é chamado de termo independente. Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a 0 (zero): a1x1 + a2x2 = 0. Portanto, aqueles que apresentam termo independente diferente de 0 (zero) indica que o sistema não é homogêneo: a 1 x1 + a 2 x2 = 3.
Escalonamento
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações ( m ) é igual ao número de incógnitas ( n ). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1:
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
- Trocamos de posição a 1ª equação com a 2ª equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1.
- Trocamos a 2ª equação pela soma da 1ª equação, multiplicada por -2, com a 2ª equação:
- Trocamos a 3ª equação pela soma da 1ª equação, multiplicada por -3, com a 3ª equação:
2º passo : Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação:
- Trocamos a 3ª equação pela soma da 2ª equação, multiplicada por -1, com a 3ª equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6 z=
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=
Então, x=2, y=-1 e z=
Exemplo 2:
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação:
- Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por -2 com a 2ª equação:
2ª Etapa: realizar a substituição
Nesse etapa, substituímos o valor algébrico encontrado
na equação que ainda não foi usada. Em outras palavras, como
descobrimos o valor algébrico de y usando a primeira equação,
substituiremos esse valor na segunda.
Caso tivéssemos descoberto o valor algébrico de y usando a
segunda equação (na primeira etapa), substituiríamos esse valor
na primeira e essa regra também valeria para outras incógnitas.
Substituir o valor de uma incógnita em uma equação é tarefa
simples: onde essa incógnita aparecer, coloque o valor dela entre
parêntesis. Observe:
3ª Etapa: realizar os cálculos
Note que, após a substituição, restará apenas uma incógnita na
segunda equação nesse exemplo. Isso significa que sempre
teremos uma equação com uma incógnita nessa terceira etapa.
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de uma das
incógnitas. Observe:
Encontrado o valor numérico de uma das incógnitas ,
realizaremos a quarta e última etapa:
4ª Etapa: encontrar o valor da segunda incógnita
Para realizar essa etapa, basta substituir o valor numérico
encontrado na etapa anterior em qualquer uma das duas
equações. No exemplo, substituiremos o valor de x na primeira
equação, observe:
Classificação de um sistema linear
Qualquer sistema linear pode ser classificado quanto ao número de
soluções. Lembrando que um sistema linear é o conjunto de equações
lineares.
Podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma:
SPD – Sistema Possível e Determinado
SPI – Sistema Possível e Indeterminado
SI – Sistema Impossível
Sistema Possível e Determinado
Dado o par ordenado (2, 3) e o sistema a seguir:
x + y = 5
4x – 2y = 2
Podemos dizer que o par ordenado (2, 3) é a única solução do sistema,
por isso o classificamos como SPD.
Sistema Possível e Indeterminado
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SPI é um sistema que possui infinitas soluções. Observe:
x – y + z = 2
4x – 4y + 4z = 8
Podem existir inúmeras soluções para o sistema mostrado acima, por
isso o classificamos como SPI. Algumas soluções possíveis: (1, 1, 2), (0,
Um exemplo de deste grafo (ver G (^) 2) é: V = { Emerson, Isadora, Renata, Antonio, Cecília, Alfredo } A = {(Isadora, Emerson), (Antonio, Renata), (Alfredo, Emerson), (Cecília, Antonio), (Alfredo, Antonio)}
G 2:
A relação definida por A não é simétrica pois se <v é pai/mãe de w> , não é o
caso de <w é pai/mãe de v>. Há, portanto, uma orientação na relação, com
um correspondente efeito na representação gráfica de G.
O grafo acima é dito ser um grafo orientado (ou digrafo ), sendo que as
conexões entre os vértices são chamadas de arcos.
ORDEM
A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de vértices, ou seja, pelo número de vértices de G. Nos exemplos acima:
- ordem( G (^) 1) = 4
- ordem( G (^) 2) = 6 ADJACÊNCIA Em um grafo simples (a exemplo de G (^) 1) dois vértices v e w são adjacentes (ou vizinhos) se há uma aresta a =( v , w ) em G. Está aresta é dita ser incidente a ambos, v e w. É o caso dos vértices Maria e Pedro em G (^) 1. No caso do grafo ser dirigido (a exemplo de G 2), a adjacência (vizinhança) é especializada em: Sucessor : um vértice w é sucessor de v se há um arco que parte de v e chega em w. Em G (^) 2, por exemplo, diz-se que Emerson e Antonio são sucessores de Alfredo. Antecessor : um vértice v é antecessor de w se há um arco que parte de v e chega em w. Em G (^) 2, por exemplo, diz-se que Alfredo e Cecília são antecessores de Antonio. GRAU O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. Em G 1, por exemplo:
- grau( Pedro ) = 3
- grau( Maria ) = 2 No caso do grafo ser dirigido (a exemplo de G (^) 2), a noção de grau é especializada em: Grau de emissão : o grau de emissão de um vértice v corresponde ao número de arcos que partem de v. Em G (^) 2, por exemplo:
- grauDeEmissão( Antonio ) = 1
- grauDeEmissao( Alfredo ) = 2
- (^) grauDeEmissao( Renata ) = 0 Grau de recepção : o grau de recepção de um vértice v corresponde ao número de arcos que chegam a v. Em G (^) 2, por exemplo:
- grauDeRecepção( Antonio ) = 2
- grauDeRecepção( Alfredo ) = 0
- grauDeRecepção( Renata ) = 1 FONTE Um vértice v é uma fonte se grauDeRecepção( v ) = 0. É o caso dos vértices Isadora , Alfredo e Cecília em G 2.
SUMIDOURO Um vértice v é um sumidouro se grauDeEmissão( v ) = 0. É o caso dos vértices Renata e Emerson em G (^) 2. LAÇO Um laço é uma aresta ou arco do tipo a =( v , v ), ou seja, que relaciona um vértice a ele próprio. Em G (^) 3 há três ocorrências de laços para um grafo não orientado. G (^) 3:
GRAFO REGULAR
Um grafo é dito ser regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau. O grafo G 4, por exemplo, é dito ser um grafo regular-3 pois todos os seus vértices tem grau 3.
G 4:
GRAFO COMPLETO
Um grafo é dito ser completo quando há uma aresta entre cada par de seus vértices. Estes grafos são designados por K (^) n, onde n é a ordem do grafo.
Um grafo K (^) n possui o número máximo possível de arestas para um dados n. Ele é, também regular-(n-1) pois todos os seus vértices tem grau n-. GRAFO BIPARTIDO Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V 1 e V (^) 2, tais que toda aresta de G une um vértice de V (^) 1 a outro de V 2. Para exemplificar, sejam os conjuntos H ={h | h é um homem} e M ={m | m é um mulher} e o grafo G ( V,A ) (ver o exemplo G (^) 5) onde:
- V = H U M
- A = {(v,w) | (v ∈ H e w ∈ M ) ou (v ∈ M e w ∈ H ) e }
Teoria dos jogos
A Teoria dos Jogos é um ramo da matemática aplicada que estuda situações estratégicas onde jogadores escolhem diferentes ações na tentativa de melhorar seu retorno. Inicialmente desenvolvida como ferramenta pra compreender comportamento econômico e depois porCorporação RAND para definir estratégias nucleares, a teoria dos jogos é agora usada em diversos campos acadêmicos.
