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Séries de Potências e funções trigonométricas, Resumos de Cálculo Avançado

Centro Universitário SENAI CIMATEC (SENAI CIMATEC)Cálculo Avançado

Séries de Potências aproximando funções..

Tipologia: Resumos

2020

Compartilhado em 12/02/2023

williamlavoisier
williamlavoisier 🇧🇷

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bg1
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier
1
LISTA DE EXERCÍCIOS DE SÉRIES DE FOURIER
1) Encontre a série de Fourier da função descrita por:
(
)
(
)
(
)
.tf4tfe4t0se,2ttf=+<≤−=
2) Dada a seguinte função periódica:
ft t se teftft t( ) , , ( ) ( ), ,= − < < + = ∀ ∈ℜ3 3 6
determine os coeficientes a0, a3 e b5 da série de Fourier.
3) Determinar os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de Fourier
de:
f(t) =
<≤−
<<−+
2t0se,t1
0t2se,t1 e f(t +4) = f(t),
∀
∈
ℜ
t
.
4) Dada a função abaixo:
.t),t(f)4t(fe
2t1e1t2se,0
1t1se,t
)t(f ℜ∈∀=+
<<−<<−
<<−−
=
Calcular os coeficientes de Fourier nn bea , para n = 0, 1, 2 e 3.
5) Dada a função periódica abaixo, determine os coeficientes de Fourier e os quatro primeiros
termos não-nulos da série de Fourier:
4
6 4 2 -2 -4
6) Dada a função periódica graficada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os três
primeiros termos não-nulos da série de Fourier:
2
4
9 6 3 -3 -6
7) Dada a função periódica graficada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os três
primeiros termos não-nulos da série de Fourier:
3π
2π
-2π
2
4
π
-π
pf3
pf4
pf5

Pré-visualização parcial do texto

Baixe Séries de Potências e funções trigonométricas e outras Resumos em PDF para Cálculo Avançado, somente na Docsity!

LISTA DE EXERCÍCIOS DE SÉRIES DE FOURIER

1) Encontre a série de Fourier da função descrita por:

f (^ t)^ =t− 2 ,se 0 ≤t< 4 e f(^ t+ 4 )^ =f(^ t).

2) Dada a seguinte função periódica:

f t( ) = t , se − 3 < t < 3 , e f t( + 6 ) = f t( ), ∀ ∈ℜt ,

determine os coeficientes a 0 , a 3 e b 5 da série de Fourier.

3) Determinar os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de Fourier

de:

f(t) =

1 t, se 0 t 2

1 t, se 2 t 0

e f(t +4) = f(t), ∀ t ∈ ℜ.

4) Dada a função abaixo:

e f(t 4 ) f(t), t.

0 , se 2 t 1 e 1 t 2

t , se 1 t 1

f (t) + = ∀ ∈ℜ

Calcular os coeficientes de Fourier a n e bn, para n = 0, 1, 2 e 3.

5) Dada a função periódica abaixo, determine os coeficientes de Fourier e os quatro primeiros

termos não-nulos da série de Fourier:

6) Dada a função periódica graficada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os três

primeiros termos não-nulos da série de Fourier:

7) Dada a função periódica graficada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os três

primeiros termos não-nulos da série de Fourier:

-2π 2 π 3 π

  • π^ π

8) Determine os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não- nulos da série de Fourier

para a função:

f t( ) = t , se − < t < , e f t( + ) = f t( ), ∀ ∈ℜt.

9) Ache os coeficientes de Fourier a 0 , a 1 , a 2 , b 1 e b 2 para a seguinte função:

10) Ache os coeficientes de Fourier a 0 , a 1 , a 2 , b 1 e b 2 para a seguinte função:

11) Encontre os coeficientes de Fourier correspondentes a função de período 10:

( )

3 , se 0 x 5

0 , se 5 x 0

f x

e escreva a série de Fourier correspondente. Como deverá ser definida a função f(x) em

x = − 5 , x= 0 e x= 5 para que a série de Fourier convirja para f(x) em - 5 ≤ x≤ 5?

12) Desenvolva f(x) = x , se 0 <x< 2 π

, numa série de Fourier se:

a) o período é 2 π, b) o período não é especificado.

13) Desenvolva f(x) = x, se 0 < x< 2 , numa série de meio período:

a) em seno, b) em coseno.

14) Desenvolva f(x) = sen x, se 0 <x<π, numa série de Fourier Coseno.

15) Faça o gráfico de cada uma das seguintes funções e encontre suas séries de Fourier usando

propriedades de funções pares e impares sempre que possível:

a) ( ) Período 4

8 , se 2 x 4

8 , se 0 x 2

f x =

b) ( ) Período 8

x, se 0 x 4

x, se 4 x 0

f x =

c) ( ) Período 6

0 , se 3 x 0

2 x, se 0 x 3

f x =

16) Desenvolva

x 6 , se 4 x 8

2 x, se 0 x 4

f (x) numa série de Fourier de período 8.

( ) (^) ,

T

2 nt

a f sen

a

f t

n 1

∑ n

∞

=

e ache a fórmula para f n.

28) No exercício anterior, faça um gráfico preciso das somas parciais:

( ) (^) ∑

=

N

n 1

N n

T

2 nt

a f sen

a

t ,

para N=1,2,3 no intervalo (0,T), e superponha todos os três gráficos sobre o gráfico da f(t) a fim

de ilustrar o processo de convergência da série de Fourier.

29) Ache a série de Fourier no intervalo (0,T) para a seguinte imagem triangular:

t T

T

, se

T

t

2 a 1

T

, se 0 t

T

2 at

f (t).

30) Desenvolvendo f(x) = coshax em série de Fourier, mostre que

( )

∑ (^ )

n 1

n

cosnx x.

n a

2 asenha 1

a

senha

coshax

31) Desenvolva f (x)= cos(kx), onde k é um inteiro, em série de Fourier, no intervalo ( − π,+π).

32) As séries de Fourier podem ser usadas para calcular certas somas importantes. Por exemplo,

prove que, para 0 ≤x≤π,

a) ( )

π − = K

cos 6 x

cos 4 x

cos 2 x

x x

b) (^ )^

π − = K

sen 5 x

sen 3 x

8 senx

x x

33) Use o problema anterior para mostrar que:

a)

n^6

n 1

∑

b)

( )

∑

n 1

n 1

n^12

c)

( )

( 2 n 1 ) 32

n 1

n 1

∑

RESPOSTAS:

  1. (^) ∑

∞

=

π

π +

n 0

2 2

t 2

2 n 1 cos ( 2 n 1 )

f (t) 1. 2) ,b 0 3

a 3 ,a 5 2

π

  1. , b 0

0 ,senpar

8 /(n) ,senimpar a (^) n

2

n = 

 (^) π = ; (^)  

 π + 

 π + 

 π

π

= K

5 t cos 25

3 t cos 9

t cos

f (t) 2

  1. eb 0 3

,a

,a

,a 2

a (^) n 2

1 2

2 2

π

π

π

π

π

π

n

a 0 4 ,an 0 (n 0 ),bn ;  

π

π

π

π

π

π = − K 3

sen( 3 t)

2

sen(t) sen( 2 t) f (t) 2 4.

6) [ ]

n 0 n n^1 (^1 ) n

a 6 ,a 0 (n 0 ),b − − π

= = ≠ = ; ( π) +K π

 π

π

= + sen t 3

t 3

sen

f (t) 3.

7) [ ] [( 1 ) 1 ]

n

( 1 ) 1 (n 0 ),b n

a 4 ,a

n n

n

2 2

0 n − + π

π

= = ; −K

π

π

= − sen( 2 t)

cost

f (t) 2 2

  1. ( 1 ) (n 0 ),b 0

n

,a 3

a (^) n

n

2

n

2

0 = − ≠ =

π = ; − + −K

π = 4 cost cos 2 t 3

f(t)

2

.

∞

=

π π

n 1

senn t n

f (t). 10) ∑

∞

=

 π

π

n 1

2 n t sen n

f (t).

π

π

π

π

= + K

5 x sen 5

3 x sen 3

x sen

f (x). Se redefinirmos

, se x 5

3 , se 0 x 5

, se x 0

0 , se 5 x 0

, se x 5

f(x)

2

3

2

3

2

3

, de período

T=10, então a série de Fourier convergirá para f(x) em − 5 ≤x≤ 5.

12) a) ∑

∞

=

 (^) π

  • −

π = =

n 1

2

2 2 sennx. n

cosnx

n

f (x) x Isso é válido para 0 < x< 2 π.Em x = 0 e x = 2 π , a série

converge para 2.

2 π b) Se o período não é especificado, a série de Fourier não pode ser determinada de maneira

única em geral.

13) a) ( ) 

π

π −

π

π

= K

3 x sen 3

2 x sen 2

x sen

f x ; b) 

π

π

π

π

= − K

5 x cos

5

3 x cos

3

x cos

f (x) 1 2 2 2

π −

π

= K

cos 6 x

cos 4 x

2 4 cos 2 x f (x) 2 2 2

. 15) a)

∞

=

− π π

π

n 1

n x sen n

16 1 cosn f (x) ;

b)

n x cos

n

8 1 cosn f(x) 2

n 1

2 2

− π π

π

∞

=

; c)

∞

 (^) π

π

π −

π

π

π− = +

n 1

n x sen n

6 cosn

3

nx cos

n

6 cosn 1

2

f (x).

π

π

π

π

= K

5 x cos 5

3 x cos 3

x cos

f (x) 2 2 2

∞

π

n 1

2 4 n 1

8 nsen 2 nx f (x) ; f ( 0 )= f(π)= 0.

18) a) ∑

∞

=

π π

π

n 1

nx sen 2

n sen

n

f (x) ; b) ∑

∞

=

π π

 (^) − π−

π

n 1

2

2

n

n x cos

n

16 2 cos cosn^1 f (x).

∞

=

 

−  π

π

n 1

n 1

nt sen n

f (t). 20) ∑

+∞

=−∞

π+

π− π

= π

n

3 jnt

3 jn

e f (t) senh( 3 ).

21) (e 4 jt 4 e^2 jt 6 4 e^2 jt e^4 jt)

f (t)= − + − −^ + −. 22) e. 1 jn

e 1 f(t)

n

jnt

2

∞

=−∞

π

π −

jA 1 e ,paran 1 ,ec c 2 1 n

A

c (^11)

jn n (^2)

π −

− π

  1. ,c 0

j n

c (^0) 2

n = π

∞

=−∞

ω +π

π

n

j n t e^02 n

A
A

f (t). 26) ( ) ∑

∞

=−∞

π

π −

n

j 2 nt

2

e 4 n 1

2 A 1

f t.

π

n

b n. 29) ∑

∞

=

− −  π

π

n 1

2

n

2 T

2 nt cos n

2 a (^1 )^1

2

a f (t). 31) f (x)= cos(kx).