Pré-visualização parcial do texto
Baixe SENAI - 12 relações métricas nos triâng e outras Notas de estudo em PDF para Tecnologia Industrial, somente na Docsity!
E senai-sp Relações métricas nos triângulos SUMÁRIO página 5 14 29 59 50 Introdução Condição de existência e natureza dos triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Relações métricas num triângulo qualquer Lei dos co-senos Lei dos senos CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA E NATUREZA DOS TRIÂNGULOS Projeção ortogonal de um ponto e de um segmento sobre uma reta Considere o ponto P fora ou pertencente à reta r. Para encontrar a projeção ortogonal desse ponto P sobre a reta Ir, traçamos por P uma reta s perpendicular à reta r. À intersecção de s com r (P?) chamamos de projeção ortogonal de P sobre r. ! ) | p po agem E) | | dal r [Eid ol r É | | | É 40 —— — 1 Então, projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta é o ponto de intersecção desta reta com a reta perpendicular à ela passando pelo ponto. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA E NATUREZA DOS TRIÂNGULOS Projeção ortogonal de um ponto e de um segmento sobre uma reta Considere o ponto P fora ou pertencente à Teto rs Para encontrar a projeção ortogonal desse ponto P sobre a reta Tr, traçamos por P uma reta s perpendicular à reta r. À intersecção de s com r (P!) chamamos de projeção ortogonal de P sobre r. [o] RE t | ? I I o! r REM | l I | s o «———— 4020 —— Então, projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta é o ponto de intersecção desta reta com a reta perpendicular à ela passando pelo ponto. Faça a projeção ortogonal dos segmentos abaixo sobre a reta s. Às vezes precisamos projetar um segmento sobre outro segmento. Veja na figura abaixo como projetamos os lados BE e BC sobre a base HE. AH é a projeção ortogonal do lado 55 sobre o lado AC. FC é a projeção ortogonal do lado BE sobre o lado AC. Às vezes atribuímos às projeções e aos lados letras minúsculas. Por exemplo, podemos dizer que: m é a projeção de e enéa projeção de a sobre o lado b. Escreva no traço, abaixo do triângulo, os nomes dos segmentos que são projeções ortogonais | dos lados dos seguintes triângulos, N l I I h 5 [o NR Projeção ortogonal de [os Projeção ortogonal de s I I | | ; T Projeção ortogonal de RS é Projeção ortogonal de ST é E | t | | | I H 6 EF é Projeção ortogonal de EG Projeção ortogonal de Projeção ortogonal de XY é B A ç Projeção ortogonal de AB é Projeção ortogonal de AD é D Projeção ortogonal de TA É 5 sobre Projeção ortogonal de TA sobre c é | E | Verifique se as medidas abaixo formam ou não um triângulo. as < as 4,5 s S Resp.: es f ca e Resp. : E) 3 305 RES pr qui dei A Rear pes ss a Es Resp. : Ec 6, 12 | Resp. : Natureza de um triângulo Quando um dos ângulos de um triângulo mede 90º (ângulo reto), este triângulo é chamado de triângulo retângulo. Se o ângulo for maior que 90º (ângulo obtuso), o triângulo será chamado de triângulo obtusângulo. Se os três ângulos forem menores que 90º (ângulos agudos), o triângulo será chamado de triângulo acutângulo. Vamos agora aprender a fazer essa classificação sem conhecer as medidas des ângulos, mas conhecendo as medidas dos comprimentos dos lados da seguinte maneira: - Tomamos o lado de maior medida e elevamos ao quadrado. - Em seguida, elevamos ao quadrado a medida dos outros dois lados e somamos os resultados. - Comparamos o resultado obtido do quadrado do lado maior à soma dos quadrados dos outros dois lados. - Se o primeiro resultado for maior que o segundo, o triângulo será obtusângulo. - Se o primeiro resultado for igual ao segundo, o triângulo será retângulo. - E, finalmente, se o quadrado do maior lado for menor que a soma dos quadrados dos outros dois, O triângulo será acutângulo. Observe os exemplos. Reconhecer a natureza dos triângulos quanto aos ângulos, cujos lados medem: =64+25=89 u CoD qse masa dorso então a? o triângulo é acutângulo. a q BSD qcie eo Sp A Db? = 64 DE E D+ c2=64+81-145 (o) u 4 então ads po. o trisnguo É obtusângulo. er e is a os a? o ) lee so Ser ss Rss Sis Como 100 = 100 K 64 36 b Dê cl = 64:56 = 00 mn então af =b?+cº > o triângulo é retângulo. 10 EXERCICIOS 1 Nos triângulos abaixo, faça as projeções ortogonais de AB sobre o lado BC chamando-as de m e faça também as projeções ortogonais de AC sonre DE chamando-as de n. a) b) c B E) d) a A c 8 G 2 Responda se as medidas ahaixo podem ou não formar um triângulo. EDS D)7-25- 24 cross o 12 d)4-6-15 e)10-7-4 )e-5-8 Dadas as medidas dos lados de um triângulo, classifique esse triângulo quanto aos ângulos. a)5-4-3 b)9 -6-8 c)7-4-10 d) 14 -8-11 e) 20-21 -29 153 A altura h determina três triângulos: ABC, AHB e AHC, que são dois a dois semelhantes. Vamos provar que esses triângulos são dois a dois semelhantes e deduzir algumas relações métricas entre os elementos do triângulo ABC: O caso de semelhança que vamos nos utilizar é o AA. Acompanhe a dedução para os triângulos ABC e AHC. Como À = À (medem 90º) e Ê é comum aos dois triângulos, pelo caso AA de semelhança o AABC é semelhante ao ABHC. Portanto os lados correspondentes são proporcionais. a E b P ã E === E = odemos então escrever: — A Tm Da primeira igualdade podemos deduzir uma das relações: 15 “O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura É igual ao produto das medidas dos catetos." Uutra relação vem da igualdade: ac a E om Caldo, “O quadrado da medida do cateto É igual ao produto das medidas da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa." Veja agora cutro par de triângulos semelhantes: [of 5 B A c h H A B À = À (medem 90º), caso BA. a É > AABC - Ana B é comum a 16 Da segunda igualdade podemos escrever a seguinte relação: ad RES nO O h=m.n (1) =) = "A medida do quadrado da altura em relação à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa." Utilizando-nos das relações (2) e (3) podemos, ao somá-las membro a membro, obter outra relação já conhecida, que é a relação de Pitágoras. Veja pe am RSRS as bi ecisa man ou bifes aline mo E 2 Bogol ad dae 6) "O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos." Vamos reescrever ao lado da figura todas as relações deduzidas até aqui. :o (B) hº=m.n em (5) a=men a.n (6) ab ci 18 Se os triângulos vierem nomeados com outras letras, as relações continuarão válidas para as novas letras. Veja como ficam as relações para o triângulo abaixo. Ca) Escreva nos traços (DIS) pe O) as relações para os triângulos retângulos abaixo. 19 
