INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E
TECNOLOGIA
TOCANTINS
Campus Palmas
Fundamentos de Aritmética
PROF.: MAGNO MÁRCIO DE AZEVEDO
Divisibilidade em ℕ
Múltiplos e Divisores
Diz-se que um número natural 𝒂 divide um número natural 𝒃 se 𝒃 = 𝒂𝒄,
para algum 𝒄 ∈ ℕ.
𝒂|𝐛 ⇒ 𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆 𝒃, 𝒂 é 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒃 𝒆 𝒃 é 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒂
𝒂 ∤ 𝒃 ⇒ 𝒂 𝒏ã𝒐 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆 𝒃
Propriedades
• d1) 𝑎|𝑎, ∀ 𝑎 ∈ ℕ, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑎 = 1. 𝑎 (𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎)
• d2) 𝑎|𝑏 𝑒 𝑏|𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑏 ( 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎)
• d3) 𝑎|𝑏 𝑒 𝑏|𝑐 ⇒ 𝑎|𝑐 (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
• d4) 𝑆𝑒 𝑎|𝑏 𝑒 𝑎|𝑐, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎|(𝑏𝑥 + 𝑐𝑦),∀𝑥, 𝑦 ∈ ℕ
• d5) 𝑆𝑒 𝑐|𝑎, 𝑐|𝑏 𝑒 𝑎 ≤ 𝑏,𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑐|(𝑏 − 𝑎)
• d6) 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑎 = 𝑏 + 𝑐 𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛ℎ𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑|𝑏. 𝐸𝑛𝑡ã𝑜: 𝑑|𝑎 ⇔ 𝑑|𝑐
• d7) 𝑆𝑒 𝑎|𝑏 𝑒 𝑏 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 ≤ 𝑏
Obs.: 𝑀𝑎 é o conjunto dos múltiplos de 𝑎, 𝑀𝑎={0, 𝑎, 2𝑎, 3𝑎, … }.
Algoritmo da divisão ou de Euclides
Seja 𝑏 um número natural não nulo. Se 𝒂 ∈ ℕ, então ou 𝒂 é múltiplo de 𝑏
ou está entre dois múltiplos consecutivos de 𝑏, isto é, 𝑏𝑞 ≤ 𝑎 < 𝑏(𝑞 + 1)
Assim existe um 𝒓 ∈ ℕ, tal que:
𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 (𝑟 < 𝑏)
Teorema
Para quaisquer 𝒂,𝒃 ∈ ℕ, 𝒃≠ 𝟎, existe um único par de números 𝒓 e 𝒒, de
maneira que 𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 (𝑟 < 𝑏).
• 𝒂 é o dividendo.
• 𝒃 é o divisor.
• 𝒒 é o quociente.
• 𝒓 é o resto.
Sistemas de numeração posicionais: Base
Em nosso sistema de numeração, todo número n é um polinômio:
𝒏 = 𝒂𝟎+ 𝒂𝟏.𝟏𝟎 + 𝒂𝟐.𝟏𝟎𝟐+ ⋯ + 𝒂𝒓.𝟏𝟎𝒓.
Onde 𝑟 ≥ 0 e os 𝑎𝑖∈{0, 1, 2,…, 9} 𝑒 (𝑖 = 1, 2,…,𝑟) estão univocamente
determinados. O numeral é 𝒏=𝒂𝒓𝒂𝒓−𝟏 …𝒂𝟏𝒂𝟎.
Exemplo, 641 = 1 + 4.10 + 6. 102
Teorema
Seja 𝒃 um número natural maior que 𝟏 e seja 𝑴 = {𝟎, 𝟏,𝟐, …, 𝒃 − 𝟏}. Então
todo número 𝒏 não nulo pode ser representado univocamente da seguinte
maneira: 𝒏 = 𝒂𝟎+ 𝒂𝟏. 𝒃 + 𝒂𝟐.𝒃𝟐+ ⋯ + 𝒂𝒓.𝒃𝒓,
