Baixe Resumo de Funções a partir do livro de Cálculo do Morettin e outras Exercícios em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab.
Introdução
Função é uma forma de estabelecer uma ligação entre dois conjuntos, sujeita a algumas condições. Antes, porém, será exposta uma forma de correspondência mais geral, chamada relação. Sejam dois conjuntos A e B. Uma relação S entre os dois conjuntos é qualquer subconjunto de A x B (A cartesiano B). Definida uma relação, podemos considerar dois novos conjuntos, domínio e imagem: O domínio de S, D(S) , é o conjunto dos elementos x ∈A para os quais existe um y ∈B tal que ( x,y) ∈S. A imagem de S, Im(S) , é o conjunto dos y∈B para os quais existe um x∈A tal que ( x,y )∈S. Temos que D(S) ⊂ A e Im(S) ⊂ B Por exemplo, sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {2,3,4,5} e seja a relação dada por
S = {(x, y)∈A x B / y = x+1}
Daí, S = {(1,2),(2,3),(3,4)}, D(S) = {1,2,3} e Im(S) = {2,3,4}
Conceito de Função
Função é um caso particular de relação. Sejam dois conjuntos A e B. Uma relação f de A em B é uma função se e somente se:
(a) Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y pertencente a B definido pela relação, chamado imagem de x. (b) A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio de f.
Então, uma função é formada por três elementos: dois conjuntos, A e B, e uma regra f que associa a cada elemento de A, o domínio da função, apenas um único elemento em B, o contra domínio. A imagem y é representada por f(x) , onde x é a variável independente e y é a variável dependente.Temos que Im(S) ⊂ B.
Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab.
Funções Reais de uma Variável Real
Seja uma função com domínio em A e contra domínio em B. Domínio é o conjunto onde a função é definida, e o conta-domínio é o conjunto onde a função toma valores.Se estes dois conjuntos são subconjuntos dos reais, dizemos que f é uma função real de variável real. Por exemplo, seja a função dada por f ( ) x = 2 x , sendo A=N* 1 e B =
Assim,
f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) =6...
Temos ainda Im(f) = {2,4,6,...2n,...} ⊂ B
Primeiras Normas Elementares para o Estudo de uma Função
Domínio
Dada uma função, muitas vezes devemos saber qual o domínio da função, ou seja, para quais valores da variável independente x a função está definida. Quando não é mencionado o domínio da função, convenciona-se como sendo os reais.
Por exemplo,
f x x
, esta função está definida para todos os reais exceto para x=3. Então
o domínio da função é D(f) = - {3}
Funções Crescentes e Decrescentes
Seja uma função f definida num intervalo [a,b], em que x 1 e x 2 pertencem a este intervalo.
Uma função é crescente se x 1 (^) > x 2 (^) ⇒ f ( x 1 (^) ) > f ( x 2 ) Uma função é não decrescente se x 1 (^) > x 2 (^) ⇒ f ( x 1 (^) ) ≥ f ( x 2 ) Uma função é decrescente se x 1 (^) > x 2 (^) ⇒ f ( x 1 (^) ) < f ( x 2 ) Uma função é não crescente se x 1 (^) > x 2 (^) ⇒ f ( x 1 (^) ) ≤ f ( x 2 ) Se a função assume sempre o mesmo valor, isto é, f(x) = cte, trata-se de uma função constante.
(^1) N* = {1, 2, 3,...}
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Principais Funções Elementares e suas Aplicações
Função Constante
É uma função do tipo y = k, onde k é uma constante real. Seja o gráfico da função f(x )= 3
0
0,
1
1,
2
2,
3
3,
-6 -4 -2 0 2 4 6
Função do 1º grau
É uma função do tipo y = m.x+ n , m e n são constantes Seu gráfico é uma reta. A constante n é o intercepto do gráfico no eixo y, chamado de coeficiente linear da reta. A constante m é o coeficiente angular da reta e representa a taxa de variação de y dada uma variação na variável independente x.
O coeficiente angular é encontrado pela relação m =
y x
0
y y x x
, isto é, bastam dois pontos
para se encontrar o coeficiente angular da reta.
0
1
2
3
4
5
6
-4 -2 0 2 4 6
Este é o gráfico da função y = x+ O coeficiente linear é encontrado fazendo x=0 e então o intercepto está no ponto (0,1).
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O coeficiente angular é encontrado escolhendo dois pontos que pertencem à reta y=x+1, por
exemplo, A(2,1) e B(3,2), que resulta em m=
=1, ou seja, dada uma variação de uma
unidade em x ocorrerá a variação de uma unidade em y. Em geral, quando m>0, a função é crescente e quando m<0, a função é decrescente. Note que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo entre a reta e o eixo x.
Então, como m = 0 0
y y x x
, temos que y - y 0 = m (x-x 0 ) é a equação geral da reta.
Daí, para se caracterizar uma reta basta um coeficiente angular e um ponto.
Função Quadrática
È uma função do tipo
y = ax^2 + bx + c ,
Em que a,b e c são constantes reais com a ≠ 0. O gráfico deste tipo de função é chamado de parábola. O comportamento da parábola depende em parte de a e em parte do valor de ∆. Se a > 0, a concavidade é voltada para cima e se a < 0 é voltada para baixo. Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais; Se ∆ = 0 , a parábola tem duas raízes iguais e interceptará o eixo x em um único ponto; Se ∆ < 0 a parábola não tem raízes reais.
Seja o gráfico da função f(x) = x^2 -2x
-4 -2 0 2 4 6
As raízes (interceptos com o eixo x) da parábola são x = 0 e x=2. No caso, como a > 0 a concavidade é voltada para cima e como ∆ > 0 há duas raízes reais e distintas.
O vértice também pode ser descoberto: vemos xv =1, e então como yv = x^2 v^ − 2 xv , temos yv = -
Para valores de x∈]0,2[, temos y < 0 e para x<0 e x>2, temos y > 0.
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Função Exponencial – Modelo de Crescimento Exponencial
De um modo geral, se uma grandeza com valor inicial y 0 crescer a uma taxa igual a k por unidade
de tempo, então, após um tempo x, medida na mesma unidade de k , o valor dessa grandeza será dado por:
0 (1^ ) y = y + kx
que é conhecida como função exponencial O padrão gráfico se altera quando (1+k)>1 e quando (1+k)está entre 0 e 1.
Logaritmos
O uso de logaritmos tem sua motivação para resolver questões onde a variável está no expoente. Por exemplo, 2x^ = 8. Como 8 = 2^3 , temos que x = 3. Em geral temos
y = log a a y = N ⇔ N
Daí, y é o logaritmo do número N na base a .Os valores N e a devem ser positivos e diferentes de um. As bases mais utilizadas são a base 10 e a base e (número de Euler, e = 2,718284...).Este último é indicado por lnN = lgeN. Propriedades de Logaritmos ( 1) log. log log
( 2) log log log
( 3) log log log ( 4) log (mudança de base) log
a a a
a a a
a a c a c
P M N M N
M
P M N
N
P M M
M
P M
a
O gráfico do logaritmo se altera quando a > 1 e quando a∈]0,1[. O gráfico de Logaritmo na base 2 é esboçado a seguir:
0
2
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O ponto de intersecção com eixo x é o ponto (1,0).
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Vemos também, que o logaritmo não está definido para valores negativos de x e que quanto mais próximo x estiver de zero o logaritmo tende para menos infinito.
Quando a base do logaritmo está entre zero e um, o formato da curva se altera:
0
2
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Neste caso quando x se aproxima de zero a função tende para mais infinito.
Funções Trigonométricas
Serão descritas as funções seno, cosseno e tangente. O seno e o cosseno têm o domínio como sendo os reais e ambos assumem valores no intervalo [-1,1].Trata-se de funções limitadas. O gráfico do seno é mostrado a seguir:
-1,
-0,
0
0,
1
1,
A intersecção com o eixo x é feita fazendo f(x) = senx = 0, e, portanto, x = k π , onde k é um
inteiro. A análise para o cosseno é similar.
A função tangente é definida como f(x) = tgx = cos
senx x
.O domínio da função tangente são os reais,
excluindo os pontos onde o cosseno se anula.A função tangente assume valores em todo o conjunto dos reais.
