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apostila para auxiliar no aprendizado de estatistica
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Alexandre José Granzotto Julho a Outubro / 2002
RESUMÃO - ESTATÍSTICA BÁSICA
1. INTRODUÇÃO
ESTATÍSTICA: ramo da matemática aplicada.
ANTIGUIDADE: os povos já registravam o número de habitantes, nascimentos, óbitos. Faziam "estatísticas".
IDADE MÉDIA: as informações eram tabuladas com finalidades tributárias e bélicas.
SEC. XVI : surgem as primeiras análises sistemáticas, as primeiras tabelas e os números relativos.
SEC. XVIII: a estatística com feição científica é batizada por GODOFREDO ACHENWALL. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representações gráficas e os cálculos de probabilidades. A estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar "O estudo de como se chegar a conclusão sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população (amostra)".
MÉTODO: é um meio mais eficaz para atingir determinada meta.
MÉTODOS CIENTÍFICOS: destacamos o método experimental e o método estatístico.
MÉTODO EXPERIMENTAL : consiste em manter constante todas as causas , menos uma, que sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Ex: Estudos da Química, Física, etc.
MÉTODO ESTATÍSTICO : diante da impossibilidade de manter as causas constantes (nas ciências sociais), admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. Ex: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando a sua oferta diminui?
Seria impossível, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores, nível geral de preços de outros produtos, etc.
A ESTATÍSTICA
É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
A coleta, a organização ,a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA , enquanto a análise e a interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza , ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL , também chamada como a medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria da probabilidade.
FENÔMENO ESTATÍSTICO : é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja possível a aplicação do método estatístico. São divididos em três grupos:
Fenômenos de massa ou coletivo: são aqueles que não podem ser definidos por uma simples observação. A estatística dedica- se ao estudo desses fenômenos. Ex: A natalidade na Grande Vitória, O preço médio da cerveja no Espírito Santo, etc.
Fenômenos individuais: são aqueles que irão compor os fenômenos de massa. Ex: cada nascimento na Grande Vitória, cada preço de cerveja no Espírito Santo, etc.
Fenômenos de multidão: quando as características observadas para a massa não se verificam para o particular.
DADO ESTATÍSTICO: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos.
POPULAÇÃO : é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.
AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que É EXAMINADA com o propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população.
PARÂMETROS: São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. Ex: Os alunos do 2º ano da FACEV têm em média 1, metros de estatura.
ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra.
ATRIBUTO: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo.
VARIÁVEL: É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
VARIÁVEL QUALITATIVA: Quando seu valores são expressos por atributos : sexo, cor da pele,etc.
VARIÁVEL QUANTITATIVA: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo , e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica , trata-se portanto da estatística de variável e se dividem em :
VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA : Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos presentes às aulas de introdução à estatística econômica no 1º semestre de 1997: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.
VARIÁVEL CONTÍNUA : Resulta normalmente de uma mensuração , e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo.
Exemplos -
. Cor dos olhos das alunas: qualitativa . Índice de liquidez nas indústrias capixabas: quantitativa contínua . Produção de café no Brasil: quantitativa contínua . Número de defeitos em aparelhos de TV: quantitativa discreta . Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: quantitativa contínua . O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta
Exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. Trata-se do método que garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências. Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra.
É uma técnica especial para recolher amostras, que garantem, tanto quanto possível, o acaso na escolha.
. AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.
Ex: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa para a pesquisa da estatura de 90 alunos de uma escola: 1º - numeramos os alunos de 1 a 90. 2º - escrevemos os números dos alunos, de 1 a 90, em pedaços iguais de papel, colocamos na urna e após mistura retiramos, um a um, nove números que formarão a amostra. OBS: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. .
Quando a população se divide em estratos (sub-populações), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos.
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião.
Ex: Numa pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram.
Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos de mercado e em prévias eleitorais. Ele abrange três fases:
1ª - classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou presume, serem relevantes para a característica a ser estudada;
2ª - determinação da proporção da população para cada característica, com base na constituição conhecida, presumida ou estimada, da população;
3ª - fixação de quotas para cada entrevistador a quem tocará a responsabilidade de selecionar entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção e cada classe tal como determinada na 2ª fase.
Ex: Numa pesquisa sobre o "trabalho das mulheres na atualidade", provavelmente se terá interesse em considerar: a divisão cidade e campo, a habitação, o número de filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixas etárias etc. A primeira tarefa é descobrir as proporções (porcentagens) dessas características na população. Imagina-se que haja 47% de homens e 53% de mulheres na população. Logo, uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres. A consideração de várias categorias exigirá uma composição amostral que atenda ao n determinado e às proporções populacionais estipuladas. .
TABELA: É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática.
De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar : um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero ; três pontos ( ... ) quando não temos os dados; zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; um ponto de interrogação (? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto..
SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época , do local ou da espécie.
SÉRIES HOMÓGRADAS: são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica.
a) Série Temporal : Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva.
ABC VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996
b) Série Geográfica : Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização.
ABC VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996
São Paulo 13000 Rio de Janeiro 17000 TOTAL 30000
c) Série Específica : O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica.
ABC VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996
SÉRIES CONJUGADAS: Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica-temporal.
ABC VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996
FILIAIS Janeiro/96 Fevereiro/ São Paulo 10000 3000 Rio de Janeiro 12000 5000 TOTAL 22000 8000
Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variação de dois fenômenos, a parte interna da figura formada pelos gráficos desses fenômenos é denominada de área de excesso.
1.5- Gráficos em setores. Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.
Obs: As séries temporais geralmente não são representadas por este tipo de gráfico.
. 2 - ESTEREOGRAMAS: São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados nas representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico fica difícil de ser interpretado dada a pequena precisão que oferecem. . 3 - PICTOGRAMAS: São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:
São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.
É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências (repetições de seus valores).
Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados.
Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51
ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente).
Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
Distribuição de freqüência SEM INTERVALOS DE CLASSE: É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo:
Dados Freqüência 41 3 42 2 43 1 44 1 45 1 46 2 50 2 51 1 52 1 54 1 57 1 58 2 60 2 Total 20
Distribuição de freqüência COM INTERVALOS DE CLASSE: Quando o tamanho da amostra é elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe.
Classes Freqüências 41 |------- 45 7 45 |------- 49 3 49 |------- 53 4 53 |------- 57 1 57 |------- 61 5 Total 20
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA (com intervalos de classe)
CLASSE: são os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número total de classes simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe , onde i = 3.
LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe ( li ) e o maior número, limite superior de classe ( Li ). Ex: em 49 |------- 53,... l3 = 49 e L3 = 53. O símbolo |------- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do ROL não pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |------- 57.
4º - Decidido o nº de classes, calcule então a amplitude do intervalo de classe h > AA / i. No nosso exemplo: AA/i = 19/5 = 3,8. Obs: Como h > AA/i um valor ligeiramente superior para haver folga na última classe. Utilizaremos então h = 4
5º - Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. Podemos montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com freqüência = 0 (zero). No nosso exemplo: o menor nº da amostra = 41 + h = 45, logo a primeira classe será representada por ...... 41 |------- 45. As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último elemento da classe anterior.
Histograma, Polígono de freqüência e Polígono de freqüência acumulada
Em todos os gráficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável e na linha vertical (eixo das ordenadas), as freqüências. . Histograma: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas. Freqüências simples ou absoluta: são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição.
Freqüências relativas: são os valores das razões entre as freqüência absolutas de cada classe e a freqüência total da distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100 %). .
Polígono de freqüência: é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição. .
Polígono de freqüência acumulada: é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
Freqüência simples acumulada de uma classe: é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe.
Freqüência relativa acumulada de um classe: é a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição.
...CLASSE.. ......fi..... .....xi..... .....fri..... .....Fi..... ......Fri..... 50 |-------- 54 4 52 0,100 4 0, 54 |-------- 58 9 56 0,225 13 0, 58 |-------- 62 11 60 0,275 24 0, 62 |-------- 66 8 64 0,200 32 0, 66 |-------- 70 5 68 0,125 37 0, 70 |-------- 74 3 72 0,075 40 1, Total 40 1,
fi = freqüência simples; xi = ponto médio de classe; fri = freqüência simples acumulada; Fi = freqüência relativa e Fri = freqüência relativa acumulada.
Obs: uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe é representada graficamente por um diagrama onde cada valor da variável é representado por um segmento de reta vertical e de comprimento proporcional à respectiva freqüência.
.
3. MEDIDAS DE POSIÇÃO
Introdução São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência.
As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais).
As medidas de tendência central mais utilizadas são : média aritmética , moda e mediana. Outros promédios menos usados são as médias: geométrica , harmônica , quadrática, cúbica e biquadrática.
As outras medidas de posição são as separatrizes , que englobam: a própria mediana , os decis , os quartis e os percentis. .
É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.
onde xi são os valores da variável e n o número de valores. .
Dados agrupados:
Sem intervalos de classe Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família:
Nº de meninos freqüência = fi 0 2 1 6 2 10 3 12 4 4 total 34
Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada , dada pela fórmula:
..xi. ..fi. ..xi.fi. 0 2 0 1 6 6 2 10 20 3 12 36 4 4 16 total 34 78
onde 78 / 34 = 2,3 meninos por família Com intervalos de classe Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
onde Xi é o ponto médio da classe.
Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.
Estaturas (cm) freqüência = fi ponto médio = xi ..xi.fi. 50 |------------ 54 4 52 208 54 |------------ 58 9 56 504 58 |------------ 62 11 60 660 62 |------------ 66 8 64 512 66 |------------ 70 5 68 340 70 |------------ 74 3 72 216 Total 40 2.
Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo ... = 61 cm
MÉDIA GEOMÉTRICA = g
É a raiz n-ésima do produto de todos eles.
Média Geométrica Simples: ou.
Ex.: - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números:E
a) { 10, 60, 360 }.: = ( 10 * 60 * 36 0) ^ (1/3) .... R: 60 b) { 2, 2, 2 }........: = (2 * 2 * 2 ^ (1/3) ... R: 2 c) { 1, 4, 16, 64 }: = (1 * 4 * 16 * 64 ) ^(1/4) .... R: 8 .
Média Geométrica Ponderada :
ou .. Ex - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo :
... xi ... ... fi. .. 1 2 3 4 9 2 27 1 Total 9 = (1^2 * 3^4 * 9^2 * 27^1 ) (1/9)........ R: 3,
MÉDIA HARMÔNICA - h
É o inverso da média aritmética dos inversos. . Média Harmônica Simples:. (para dados não agrupados)
.. ou
Média Harmônica Ponderada : (para dados agrupados em tabelas de freqüências)
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros.
Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.
.Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais.
Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas : 4 e 7. A série é bimodal. .
A Moda quando os dados estão agrupados
a) Sem intervalos de classe: Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.
Ex: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:
Temperaturas Freqüência 0º C 3 1º C 9 2º C 12 3º C 6
Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior freqüência. . b) Com intervalos de classe: A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda , neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
Mo = ( l + L ) / 2**
onde l* = limite inferior da classe modal e L =* limite superior da classe modal.
Ex: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.
Classes (em cm) Freqüência 54 |------------ 58 9 58 |------------ 62 11 62 |------------ 66 8 66 |------------ 70 5
Resposta: a classe modal é 58|-------- 62 , pois é a de maior freqüência. l = 58* e L = 62 Mo = (58+62) / 2 = 60 cm* ( este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da moda).
Método mais elaborado pela fórmula de CZUBER : Mo = l + (d1/(d1+d2)) x h**
l =* limite inferior da classe modal..... e..... L* = limite superior da classe modal d1 = freqüência da classe modal - freqüência da classe anterior à da classe modal d2 = freqüência da classe modal - freqüência da classe posterior à da classe modal h* = amplitude da classe modal
Mo = 58 + ((11-9) / ((11-9) + (11 – 8)) x 4 Mo = 59,
Obs: A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade.
MEDIANA - Md
A mediana de um conjunto de valores , dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. .
A mediana em dados não-agrupados
Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 } De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9 , logo a Md = 9. .
Método prático para o cálculo da Mediana: Se a série dada tiver número ímpar de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :
.( n + 1 ) / 2
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }
1 º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 } n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana A mediana será o 5º elemento = 2 .
Se a série dada tiver número par de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :....
.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2
Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente.
