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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS – CÂMPUS GOIÂNIA
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS PROFESSOR:
RESUMO DE EQUAÇÕES DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1. INTRODUÇÃO
1.1. Componentes Cartesianas de uma
Força no Espaço
x y z
F F i F j F k
1.2. Equações de Equilíbrio
F 0
0
M 0
x
F 0
,
y
F 0
,
z
F 0
x
M 0
,
y
M 0
,
z
M 0
1.3. Casos Especiais de Sistemas de Forças
no Espaço
a) Sistema de Forças Coplanares
x
F 0
y
F 0
e
z
M 0
b) Sistema de Forças Paralelas
x
M 0
y
M 0
e
z
F 0
c) Sistema de Forças Concorrentes
x
F 0
,
y
F 0
,
z
F 0
1.4. Equações Diferenciais de Equilíbrio
dM
V
dx
dV
q
dx
2. TENSÃO
2.1. Tensão Normal
z z
z
A 0
F dF
lim
A dA
2.2. Tensão de Cisalhamento
x x
zx
A 0
F dF
lim
A dA
y y
zy
A 0
F dF
lim
A dA
2.3. Tensão Normal Média em uma Barra
com Carga Axial
méd
P
A
Convenção de sinais: ൝
0 (tração)
0 (compressão)
2.4. Tensão de Cisalhamento Média
méd
V
A
2.5. Tensão Admissível
rup
adm
FS
rup
adm
FS
2.6. Tensão de Esmagamento
esmag.
P
td
3. DEFORMAÇÃO
3.1. Deformação Normal Média
f i
B A
i
s s
lim
s
3.2. Deformação por Cisalhamento
B e C A
lim '
3.3. Deformação Específica Normal
0
L
Convenção de sinais: ൝
0 (alongamento)
0 (encurtamento)
4. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS
MATERIAIS
4.1. Lei de Hooke
E
4.2. Lei de Hooke para Cisalhamento
G
4.3. Coeficiente de Poisson
lat
long
4.4. Relação entre os Módulos de
Elasticidade Longitudinal e Transversal
E
G
5. CARGA AXIAL
5.1. Deformação elástica de um elemento
submetido a uma Carga Axial
L
0
P(x) dx
E A(x)
P = constante e
A = constante:
PL
EA
Caso geral:
PL
EA
5.2. Tensão Térmica
T 0
L T
5.3. Concentrações de Tensão
máx
méd
K
6. FLEXÃO
6.1. Tensão de Flexão em Vigas
a) Fórmula da Flexão
M
y
I
b) Tensão de Flexão Máxima Absoluta
máx
Mc
I
c) Variação linear da Deformação de
Flexão
máx
y
c
d) Variação linear da Tensão de Flexão
máx
y
c
e) Equação Momento-Curvatura
1 M
k
EI
f) Módulo de Resistência (de Seção)
I
W
c
6.4. Flexão Assimétrica
a) Equação de Flexão Assimétrica
y z
z y
M
M
y z
I I
b) Equação da Linha Neutra
y z
z y
M I
y z
M I
c) Inclinação da LN em relação ao eixo z
z
y
I
tg tg
I
6.5. Vigas Compostas
a) Fator de Transformação
1
1 2
2
E
n , (E E )
E
b) Largura da Seção Transformada
st 1
b nb
c) Tensão na Seção Original
so st
n
6.6. Vigas de Concreto Armado
a) Fator de Transformação
aço
concreto
E
n
E
b) Equação para obtenção da Linha Neutra
2
aço aço
bx nA x nA d 0
c) Tensão no aço
so,aço st ,conc.
n
6.7. Caso geral de carregamento axial
excêntrico
a) Equação de Flexão Assimétrica e
Composta
y z
x
z y
M
M
P
y z
A I I
b) Orientação da Linha Neutra
z y
z y
M
I P
y z
M I A
7. CISALHAMENTO TRANSVERSAL
6.1. Cisalhamento em Elementos Retos
a) Fórmula do Cisalhamento
VQ
Ib
b) Fluxo de cisalhamento
VQ
q
I
6.2. Tensão de Cisalhamento em Vigas
Retangulares
a) Fórmula do Cisalhamento
2
2
V h
y
2I 4
b) Tensão de Cisalhamento Máxima
máx
V
A
7. TORÇÃO
7.1. Tensão de Torção em Eixos Circulares
a) Fórmula da Torção
T
J
b) Tensão de Torção Máxima Absoluta
máx
Tc
J
c) Variação linear da Deformação de
Torção
máx
c
7.2. Ângulo de Torção no Regime Elástico
L
0
T(x) dx
G J(x)
T = constante e
J = constante:
TL
GJ
Caso geral:
TL
GJ
7.3. Transmissão de Potência
Pot T Pot 2 fT
9.4. Relações entre o Material e suas
Propriedades
a) Lei de Hooke Generalizada
x x y z
E
y y x z
E
z z x y
E
b) Lei de Hooke Generalizada para o
Cisalhamento
xy xy
G
yz yz
G
xz xz
G
c) Relação entre os Módulos de
Elasticidade Longitudinal e Transversal
E
G
d) Dilatação ou Deformação Volumétrica
x y z
V
e
dV
f) Módulo de Compressibilidade
E
k
10. CARGAS COMBINADAS
10.1. Equações para Tensões
Resultante
de Tensão
Símbolo Equação
Força
Normal
P
P
A
Momento
Torsor
T
T
J
Momento
Fletor
M
M
y
I
Força
Cortante
Transversal
V
VQ
Ib
10.2. Tensões em Vasos de Pressão de
Paredes Finas (Vasos Cilíndricos)
a) Tensão Circunferencial (Tangencial)
1
pr
t
b) Tensão Longitudinal (Axial)
2
pr
2t
10.3. Tensões em Vasos de Pressão de
Paredes Finas (Vasos Esféricos)
1 2
pr
2t
11. PROJETO DE VIGAS E EIXOS
11.1. Projeto de Viga Prismática
a) Tensão de Flexão Admissível
máx
adm
M c
I
b) Módulo de Resistência à Flexão
máx
req
adm
M
W
c) Tensão de Cisalhamento Admissível
adm
VQ
Ib
d) Fluxo de Cisalhamento Admissível
(Vigas Compostas)
VQ
q
I
12. DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS
12.1. Equação Diferencial da Linha Elástica
a) Equação da Linha Elástica (Caso Geral)
2
2
3/
2
d y
dx
dy
dx
b) Equação da Linha Elástica (Vigas)
2
2
d y M(x)
dx EI
c) Equações Diferenciais de Deflexão para
Vigas Prismáticas
2
2
d y
EIy " EI M(x)
dx
3
3
d y
EIy ''' EI V(x)
dx
4
4
d y
EIy '''' EI q(x)
dx
12.2. Métodos da Área do Momento
(Teoremas de Mohr)
a) Primeiro Teorema de Mohr
B
B/A
A
M
dx
EI
b) Segundo Teorema de Mohr
B
B/A
A
M
x dx
EI
12.3. Funções de Descontinuidade
a) Funções de Macauley
x − a
୬
(x − a)
୬
, para x ≥ a
0 , para x < a
(n>0)
b) Funções de Singularidade
q = P〈x − a〉
ି ଵ
P, para x = a
0 , para x ≠ a
q = M
x − a
ି ଶ
M
, para x = a
0 , para x ≠ a
13. FLAMBAGEM DE COLUNAS
13.1. Carga Crítica
a) Índice de Esbeltez de uma Coluna
L
r
b) Raio de Giração
I
r
A
c) Carga Crítica
cr
kL
P
d) Tipos de Equilíbrio
cr
P P : equilíbrio estável;
cr
P P : equilíbrio neutro;
cr
P P : equilíbrio instável.
13.2. Coluna Ideal com Apoios de Pinos
a) Carga de Flambagem de Euler
2
cr 2
EI
P
L
b) Tensão de Flambagem de Euler
2
cr 2
E
L / r
c) Modo de Flambagem
x
y C sen
L
13.3. Colunas com vários de tipos de Apoio
a) Comprimento Efetivo de Flambagem
e
L KL
b) Fator de Comprimento Efetivo
K 1 : extremidades presas por pinos;
K 2 : uma extremidade engastada e a
outra livre;
K 0,5 : extremidades engastadas;
K 0,7 : uma extremidade engastada e
a outra presa por pino.
c) Carga de Flambagem de Euler
2
cr 2
e
EI
P
L
d) Tensão de Flambagem de Euler
2
cr 2
e
E
L / r
13.4. Carregamento Excêntrico e Fórmula
da Secante
a) Deflexão Máxima
máx
P L
y e sec 1
EI 2
b) Deflexão Máxima (Forma Alternativa)
máx
cr
P
y e sec 1
2 P
c) Fórmula da Secante
máx 2
P ec L P
1 sec
A r 2r EA
14. MÉTODOS DE ENERGIA
14.1. Trabalho Externo e Energia de
Deformação
a) Trabalho de uma Força
x
0
W F dx
b) Trabalho de uma Força sobre um
Material em Regime Elástico Linear
W P
c) Trabalho de um Momento
0
W M d
d) Trabalho de um Momento sobre um
Material em Regime Elástico Linear
W M
e) Energia de Deformação em termos da
Tensão Normal
V
U dV
f) Energia de Deformação em termos da
Tensão de Cisalhamento
V
U dV
g) Energia de Deformação para um
Material em Regime Elástico Linear
2
V
U dV
2E
2
V
U dV
2G
h) Densidade Volumétrica de Energia
U*
U*
14.2. Energia de Deformação Elástica para
vários tipos de Carga
a) Carga Axial
2 L
0
N
U dx
2EA
2
N L
U
2EA
b) Momento Fletor
2 L
0
M
U dx
2EI
2
M L
U
2EI
c) Cisalhamento Transversal
2 L
s
0
f V
U dx
2GA
2
s
f V L
U
2GA
d) Momento Torsor
2 L
0
T
U dx
2GJ
2
T L
U
2GJ
