Resumo calculo numerico pagina 1 a 20, Notas de aula de Cálculo Numérico

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RENATO NEVES DE ALMEIDA

O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS :

ESTUDO E APLICAÇÕES PARA O ENSINO

MÉDIO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE

DARCY RIBEIRO - UENF

CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ

MAIO DE 2015

RENATO NEVES DE ALMEIDA

O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS :

ESTUDO E APLICAÇÕES PARA O ENSINO MÉDIO

"Dissertação apresentada ao Centro de Ciên- cias e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, como parte das exigências para obtenção do título de Mes- tre em Matemática."

Orientador: Prof. Paulo Sérgio Dias da Silva

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE

DARCY RIBEIRO - UENF

CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ

MAIO DE 2015

À memória de meu pai, que com poucas palavras e muitos exemplos me ensinou o caminho da retidão e o valor do conhecimento.

Agradecimentos

Agradeço aos meus pais e irmãos, cujas presenças físicas nunca foram necessárias para fazê-los fundamentais em todas as minhas conquistas. Aos meus colegas de curso, com os quais dividi nesses quase dois anos e meio a sala de aula, os contratempos e as aspirações. À minha esposa Andréia e ao meu enteado André, dois amores, dois pilares neste momento de minha vida. A todos os professores do curso PROFMAT, em especial ao meu orientador, Mestre Paulo Dias, pela supervisão sempre inteligente, paciente e ponderada da realização deste trabalho. Agradeço, por fim, a Ele, sabendo que sou instrumento de sua sabedoria e de seu plano divino, por me permitir viver mais esta conquista - o nosso bom Deus.

Resumo

O Método dos Mínimos Quadrados, bem como qualquer outro procedimento empregado no ajuste de curvas, não faz parte da grade curricular do Ensino Médio, embora os recursos matemáticos necessários para implementá-lo estejam ao alcance do aluno do final (3 º ano) desse segmento. Assim sendo, dados a versatilidade do método e seu potencial como ferramenta de modelagem matemática, busca-se neste trabalho apresentar uma abordagem acessível, porém sem perda do viés científico que o norteia, ao aluno do Ensino Médio. Busca-se assim não seguir a linha adotada na maior parte dos trabalhos que se propuseram a apresentar o método ao aluno deste segmento, nos quais prioriza- se o tratamento matricial e preocupa-se quase que exclusivamente com a execução do método, ofuscando a motivação que deu origem ao mesmo. O Método dos Mínimos Quadrados é uma modalidade dentro do contexto do Ajuste de Curvas e, como tal, para seu bom entendimento necessita de um estudo preliminar, mesmo que breve, sobre o tema, o que é feito neste trabalho. O desenvolvimento matemático do método é efetuado até chegar-se às modalidades de ajuste que o compõem (Ajuste Linear Simples, Ajuste Linear Múltiplo e Ajuste Polinomial), expondo as equações normais que levarão à sua execução. Havendo para a dedução do método a necessidade de conhecimento de alguns conteúdos não contextualizados no Ensino Médio, uma estratégia de abordagem voltada para tal segmento é exposta, aproveitando conteúdos familiares ao aluno e introduzindo conceitos novos de forma diferenciada e suficiente para entendimento do desenvolvimento matemático em questão. O trabalho é concluído com algumas atividades de aplicação do método. Há sugestões para a utilização de recursos computacionais, como modo de agilizar a resolução das atividades propostas e promover o incentivo ao acesso a novas tecnologias. Tais atividades foram selecionadas de modo a não somente familiarizar o aluno com a implementação do método estudado, mas a dotá-lo de capacidade de avaliação sobre a importância e o alcance do estudo aqui realizado.

Palavras-chaves: mínimos quadrados, ajuste, funções, diagrama de dispersão.

Abstract

The Method of Least Squares, as well as any other procedure employed in curve fitting, is not part of the curriculum of high school, although the mathematical resources needed to implement it are within the reach of the end of this year segment. Thus, given the method’s versatility and its potential as a tool in mathematical modeling, we search in this work to show an accessible approach, however without loss of scientific bias that guides the high school student. Thus, we search not to follow the line adopted in most works that have proposed to show the method to the student of this segment, in hhich prioritizes the matrix treatment and is concern almost exclusively with the method’s execution, overshadowing the motivation that gave rise it. The Method of Least Squares is a modality in the context of Curve Fitting and us the such, for its good understanding it needs a preliminary study, even brief, about the topic, which is made in this work. The mathematical development of the method is made until it reaches to the modalities fitting that compose it (Simple Linear Fitting, Multiple Linear Fitting and Polynomial Fitting), exposing the normal equations that will guide to the solution. Due to the need of knowledge of some topics for the deduction of the method not contextualized in high school, an strategy of approach aimed to this segment is exposed, taking advantage of familiar topics to the student and introducing new concepts in a different and suitable way for the understanding of the mathematical development in question. The work is concluded with some activities of method’s applications. There are suggestions for the utilization of computational resources, in order to streamline the resolution of the proposed activities and promoting the incentive to the access of new technologies. Such activities were selected in order to make the student not only familiarize himself with the method’s implementation, but as well adopt it due the capacity of avaliation about the importance and the reach the study made here.

Key-words:Least Squares, fitting, functions, scattergram.

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Introdução

Na busca por um tema para elaboração de minha Dissertação de Mestrado, desde o início assumi a intenção de transitar pelo universo da Matemática Aplicada, entusiasta que sou, por acreditar no seu potencial pedagógico, da estratégia de vincular de forma significativa conteúdos matemáticos a outros domínios e áreas do conhecimento.

Procurei agir, portanto, em consonância com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), segundo os quais:

"A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estru- turar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida co- tidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas."(BRASIL, 2000, p. 48)

Minhas pesquisas conduziram-me ao tema Método dos Mínimos Quadrados : Estudo e Aplicações para o Ensino Médio. O Método dos Mínimos Quadrados é um assunto que, exceto em pouquíssimos cursos técnicos da área tecnológica, não é estudado nem consta da grade curricular do Ensino Médio. Porém, ao debruçar-me sobre o tema, percebi a possibilidade de apresentá-lo ao aluno desse segmento, baseado no fato de que a implementação do ajuste lança mão de métodos que requerem o domínio de conteúdos matemáticos relevantes dentro do âmbito do Ensino Médio, como as funções, os polinômios e a resolução de sistemas de equações lineares, oportunizando a manipulação prática desses conteúdos e colocando o aluno em contato com uma ferramenta matemática de grande eficácia e utilidade.

Foi, portanto, essa característica, essa possibilidade de integrar num mesmo tema conteúdos do Ensino Médio a um recurso matemático de ampla aplicação, capaz de inserir- se em diferentes áreas de atividades, o principal elemento motivador na realização deste trabalho.

Estratégias desse tipo, acredito eu, convidam o aluno a repensar o saber matemático, enxergando o seu perfil catalisador, sua versatilidade e, inevitavelmente, sua importância como suporte a diversas atividades do imenso organismo social ao qual pertencemos. Isso resulta não apenas em consolidação do conhecimento, mas também em incentivo e entusiasmo na busca por novos saberes.

Introdução 13

Percebi ainda que o tema possui grande afinidade com recursos computacionais, notadamente softwares de geração de curvas e programas cujos algoritmos automatizam os procedimentos envolvidos nos métodos de ajustes. Por isso, as atividades propostas, em muitas das ocasiões, sugerem a utilização dessas ferramentas, proporcionando a possibili- dade de interação com recursos tecnológicos que agilizam e enriquecem o aprendizado.

Portanto, o objetivo geral deste trabalho é construir algo significativo para o aluno do Ensino Médio, apresentando-lhe uma ferramenta nova, o Método dos Mínimos Qua- drados. Entende-se que a utilização deste recurso, no qual o aluno irá defrontar-se com conteúdos e competências já por ele adquiridos, poderá levá-lo à construções de novos saberes e a uma visão mais prática do universo matemático.

O assunto poderá ser tratado com a profundidade que se achar conveniente, pois a aplicação do método contempla atividades simples, como ajustes lineares a partir de conjuntos de tês pontos, e outras consideravelmente mais complexas. Estima-se que uma boa resposta possa ser obtida na apresentação do método a alunos de cursos técnicos da área tecnológica

A organização do trabalho obedece à seguinte estrutura: O capítulo 1 contém uma breve exposição dos caminhos que conduziram ao de- senvolvimento do Método dos Mínimos Quadrados. Uma pequena exposição sobre o surgimento do conceito de funções á apresentada, visto que tal tópico está no cerne do tema estudado, culminando, de forma resumida, com os detalhes principais da criação do método. A abordagem busca deixar claro para quem lê este trabalho a importância e a eficácia do método como ferramenta de modelagem matemática em diversos ramos de atividades e conhecimentos, com seu uso ainda se fazendo muito presente nos dias atuais.

O capítulo 2 propõe-se a expor o método de uma forma tão ampla quanto necessária para que se atinjam as metas deste trabalho. Nele há a abordagem dos quesitos que motivam a utilização do método, situando-o como um importante desdobramento dentro do tema Ajuste de Curvas. Conteúdos considerados de relação estreita com o método, ou por estarem vinculados à sua fundamentação teórica (como as derivadas parciais e o conceito de otimização), ou por constituírem um suporte à sua aplicação (como os sistemas de equações lineares), são abordados de forma sucinta ou apenas citados, de modo a conferirem o devido suporte ao tema principal. Em seguida, são apresentados os fundamentos matemáticos do método para, por fim, passar-se a uma abordagem individualizada de cada um dos três tipos de ajustes de curvas por ele contemplados : o Ajuste Linear Simples, o Ajuste Linear Múltiplo e o Ajuste Polinomial. Aqui busca-se apresentar o procedimento matemático que implementa o método para cada tipo de ajuste e sedimentá-lo com a exposição de exemplos simples, porém eficazes, capazes de conferir razoável desenvoltura na utilização do mesmo.

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Capítulo 1

Contextualização Histórica

1.1 O Surgimento das Funções

Embora o conceito de função, tal como conhecemos hoje, tenha começado a ser definido de forma mais consistente a partir do surgimento do Cálculo Infinitesimal, nos trabalhos de Isaac Newton e Gottfried Leibniz, com noções bastante próximas das atuais da ideia de variáveis e relacionamento entre entidades matemáticas, alguns historiadores enxergam na Antiguidade alguns antecedentes de tal conceito (PITOMBEIRA; ROQUE, 2012). Eles alegam que, uma vez que a ideia de correspondência está intrinsecamente vinculada à ideia de função, pode-se citar as tabelas babilônias e egípcias, além das tabelas utilizadas pela astronomia grega e em toda a matemática antiga, como representantes de uma incipiente noção de função. Uma contribuição considerada significativa é a que foi legada pelo bispo francês Nicolas Oresme (1323-1382), que utilizou segmentos de reta para representar, segundo suas palavras, "tudo o que varia"(BOYER, 2001). Em uma de suas obras, ele representou a variação de velocidade de um móvel ao longo do tempo, dispondo os instantes ao longo de um segmento horizontal e associando a cada um deles um segmento perpendicular cujo comprimento representava a velocidade no instante. É possível identificar no modelo uma tímida antecipação do que viria a ser o modelo cartesiano criado por Descartes em 1637. Apesar da noção de variável só ter sido estabelecida de forma definitiva no século XVIII, a noção de variação estava fortemente presente na busca da representatividade matemática do movimento e no desenvolvimento do estudo da variação dos fenômenos naturais em relação ao tempo, movimento que se propagou a partir do surgimento do método científico elaborado por Galileu. Esse foi o ponto de partida para que se passasse a associar o movimento a uma curva representada por uma equação. A representação simbólica introduzida por Viète também deve ser citada, uma vez que permitia representar quantidades desconhecidas por fórmulas algébricas que as

Capítulo 1. Contextualização Histórica 16

relacionavam a outras quantidades. Porém, era um recurso matemático utilizado para resolver problemas específicos, desvinculado do conceito fundamental de relacionamento entre grandezas que variam. O primeiro matemático a introduzir esse tipo de abordagem foi Descartes (PITOMBEIRA; ROQUE, 2012), trabalhando com equações indeterminadas,

nas quais especificando-se infinitos valores para x, pode-se obter infinitos valores para y.

Em seus estudos sobre curvas, já havia, portanto, uma relação funcional entre quantidades indeterminadas, relação essa expressa por uma equação. Embora não houvesse estudos mais objetivos sobre relações entre variáveis em tal época, pairava sobre os matemáticos de então a ideia de que tais relações consistiam de expressões analíticas de curvas algébricas ou de séries infinitas.

Assim, com a expansão do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se ne- cessário criar um termo que designasse a expressão analítica utilizada para relacionar quantidades dependentes e suas respectivas variáveis. Consta que foi Leibniz, matemático que tratava com grande rigor a linguagem matemática, quem primeiro utilizou a palavra função com esse sentido (ROONEY, 2012). É com esse enfoque que ela aparece em uma correspondência por ele enviada, em 1698, a Johann Bernoulli (1667-1748), que anos mais tarde (1718) a publicou em um artigo apresentado à Academia de Ciências de Paris. Nesse artigo, ele introduziu uma notação para funções nas quais a característica era expressa

pela letra grega φ e o argumento não continha parênteses, ou seja, φx.

Caberia a um discípulo de Bernoulli, Leonard Euler (1707-1783), finalizar a definição de função segundo a ideia de expressão analítica, motivado pela crença de que o cálculo nada mais era do que o estudo da teoria das funções. Em seu importante trabalho Introdução à Análise dos Infinitos, de 1748, ele expõe a seguinte definição de função: "Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta de um modo qualquer desta quantidade e de números, ou de quantidades constantes." (PITOMBEIRA; ROQUE, 2012, p. 302)

Tal definição, na verdade, como se vê no restante de sua obra, ampliava conside- ravelmente o conceito de função, uma vez que a dita expressão analítica citada em sua definição poderia ser composta não apenas pelas tradicionais operações algébricas (adi- ção, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e a resolução de equações algébricas), mas também por aquelas conhecidas como funções transcendentes, entre as quais se incluem os logaritmos e as exponenciais. Além disso, a variável poderia receber

valores irracionais e imaginários. Foi Euler quem primeiro utilizou a notação f (x), adotada

ainda nos dias atuais.

A vinculação da definição de função à noção de expressão analítica predominou e norteou estudos ao longo dos séculos XVIII e XIX, até que no ano de 1837, o alemão Johann Dirichlet (1805-1859) ampliou o conceito formulando aquela que foi considerada a mais completa definição de função produzida até então, com reflexos que se fazem presentes ainda nos dias atuais, enunciada do seguinte modo:

Capítulo 1. Contextualização Histórica 18

de que os erros cometidos nas medidas seguem a distribuição da curva normal (ROONEY, 2012).

Figura 1.1 – Carl Friedrich Gauss, por Christian Albrecht Jensen Fonte: Rooney (2012, p. 126)

Segundo Crato (2000), o fato determinante da formatação definitiva do Método dos Mínimos Quadrados foi um problema levado até Gauss em 1808 por Giuseppi Piazzi (1746-1826), diretor do Observatório de Palermo na época. Depois de descobrir o asteroide Ceres e supor tratar-se de um planeta ainda desconhecido de nosso sistema solar, Palermo perdeu o astro de vista. Os métodos matemáticos para cálculos de órbitas dos corpos celestes na época requeriam um grande número de observações tomadas em um período de tempo razoavelmente longo. Dispondo de um número insuficiente de dados e ávido por preservar a prioridade da descoberta, Palermo recorreu aos préstimos do jovem Gauss, então com apenas vinte e quatro anos de idade.

Ainda segundo Crato (2000), o jovem gênio, que havia anos já se dedicava a estudar o problema do cálculo de órbitas de corpos celestes sem quaisquer pressupostos teóricos, tendo por base observações realizadas num período de tempo não necessariamente longo, conseguiu determinar a órbita de Ceres e, através de seus estudos, estabeleceu um método para manipular observações (dados) e daí estimar os parâmetros de uma função – o Método dos Mínimos Quadrados. Foi utilizando as estimativas baseadas nos cálculos de Gauss para a órbita de Ceres que o astrônomo húngaro Franz Xaver Von Zach(1754-182), então diretor do Observatório de Seeburgo, o redescobriu praticamente um ano após o primeiro avistamento. O asteroide estava a uma distância angular de meio grau da posição estimada por Gauss.

O Método dos Mínimos Quadrados continua a ter grande importância no campo da astronomia, notadamente na descoberta de planetas que orbitam outras estrelas que não o Sol. Além disso, o método foi aplicado a diversos outros ramos de atividades, tornando-se a principal ferramenta dos estatísticos no século XIX.

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Capítulo 2

O Método dos Mínimos Quadrados

2.1 Considerações Preliminares

2.1.1 Motivação para o Surgimento e Utilização do Método

O Método dos Mínimos Quadrados tem sua origem no estudo dos valores má- ximos e mínimos de funções reais. Mais precisamente, na determinação do(s) ponto(s) mínimo(s) de uma função que representa o desvio estimado na busca pelo ajuste. Antes de abordarmos este e outros tópicos envolvidos na dedução e na aplicação do método, é conveniente nos debruçarmos sobre o problema que motivou a sua elaboração e seus desdobramentos.

No estudo de qualquer fenômeno, natural ou proveniente de qualquer área de ativi- dade humana, a sua representação por equações e curvas produzidas pelo relacionamento entre as grandezas que o regem constitui, certamente, uma das ferramentas mais eficazes desse estudo. Impossível imaginar o entendimento e o alcance da Teoria de Relatividade de Einstein, das Leis da Mecânica Clássica elaboradas por Newton, dos juros simples e compostos na Matemática Financeira, sem o suporte das fórmulas matemáticas que expressam todos os princípios aí envolvidos.

Os temas acima citados são bastante conhecidos e têm suas bases matemáticas solidamente assentadas, porém há muitos outros fenômenos na vida cotidiana cuja análise será muito mais significativa e ampla se conseguirmos descrevê-los por meio de modelos matemáticos e com a inclusão de um termo que relaciona-se, em geral, com erros cometidos ou nas hipóteses do modelo ou na coleta de observações. Será por meio desses modelos que poderemos, por exemplo, estimar ocorrências futuras e direcionar tomadas de decisões.

Podemos classificar os inúmeros fenômenos que ocorrem à nossa volta em dois grupos:

• Fenômenos determinísticos: São aqueles em que, uma vez conhecidas suas cau-