Baixe Respostas - do - livro - Geometria - Analitica - Alfredo - Steinbruch - e-Paulo - Winterle e outras Exercícios em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity!
2.8 Problemas Propostos
- Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2, −5), sa-
bendo que sua origem ´e o ponto A(− 1 , 3).
Soluc¸ ˜ao:
~v = B − A
(2, −5) = (x, y) − (− 1 , 3)
Para x temos,
x + 1 = 2 ⇒ x = 1
Para y temos,
y − 3 = − 5 ⇒ y = − 5 + 3 ⇒ y = − 2
Logo, o ponto da extremidade e igual a:
B = (1, −2)
- Dados os vetores ~u = (3, −1) e ~v = (− 1 , 2), determinar o vetor w~ tal que:
a) 4(~u − ~v) +
1
3
w~ = 2 ~u − w~
Soluc¸ ˜ao:
4(~u − ~v) +
w~ = 2 ~u − w~
Substitu´ıdo os valores dos respectivos vetores,
4[(3, −1) − (− 1 , 2)] +
(x, y) = 2(3, −1) − (x, y)
Efetuando as operac¸ ˜oes;
x
y
= (6 − x, − 2 − y)
x
y
= (6 − x, − 2 − y)
Para x temos a seguinte igualdade; 16+
x
= 6 −x ⇒
x
+x = 6 −x ⇒
x + 3 x
x + 3 x = − 10 ⇒ 4 x = − 30 ⇒ x =
⇒ x =
Para y temos a seguinte igualdade;
y
= − 2 − y ⇒
y
y + 3 y
= 10 ⇒ y + 3 y = 30 ⇒ 4 y = 30 ⇒
y =
⇒ y =
Resultado: w~ =
b)3 w~ − (2~v − ~u) = 2(4 w~ − 3 ~u)
Soluc¸ ˜ao:
Substitu´ıdo os valores dos respectivos vetores;
3(x, y) − [2(− 1 , 2) − (3, −1)] = 2[(4(x, y) − 3(3, −1)]
(3x, 3 y) − [(− 2 , −4) − (3, −1)] = 2[(4x, 4 y) − (9, −3)]
(3x, 3 y) − (− 5 , 5) = 2(4x − 9 , 4 y + 3)
(3x + 5 , 3 y − 5) = (2(4x − 9), 2(4y + 3))
Para x temos a seguinte igualdade;
3 x + 5 = 8 x − 18
3 x − 8 x = 18 − 5
− 5 x = − 23
x =
Para y temos a seguinte igualdade;
3 y − 5 = 8 y + 6
3 y − 8 y = 6 + 5
− 5 y = 11
y =
w^ ~ =
- Dados os Pontos A(− 1 , 3), B(2, 5) e C(3, 1), calcular
OA −
AB,
OC −
BC e 3
BA − 4
CB.
Soluc¸ ˜ao:
Resolvendo:
OA ⇒ A − O ⇒ (− 1 , 3) − (0, 0) ⇒ (− 1 , 3)
Resolvendo:
AB ⇒ B − A ⇒ (2, 5) − (− 2 , 3) ⇒ (3, 2)
Efetuando a Operac¸ ˜ao:
OA −
AB = (2, 5) − (− 1 , 3) ⇒ (− 4 , 1)
OA −
AB = (− 4 , 1)
Resolvendo:
OC ⇒ C − O ⇒ (3, −1) − (0, 0) ⇒ (3, −1)
Resolvendo:
BC ⇒ C − B ⇒ (3, −1) − (2, 5) ⇒ (1, −6)
Efetuando a Operac¸ ˜ao:
- Dados os pontos A(− 1 , 3),B(1, 0) e C(2, −1), determinar D Tal que
DC =
BA.
Soluc¸ ˜ao:
Resolvendo
DC e
BA:
DC = (2, 1) = (x, y)
BA = (− 1 , 3) − (1, 0)
Substituido em
DC =
BA temos:
(2, −1) − (x, y) = (− 1 , 3) − (1, 0)
(2 − x, − 1 − y) = (− 2 , 3)
Resolvendo para x:
2 − x = − 2 ⇒ x = 4
Resolvendo para y:
− 1 − y = 3 ⇒ y = − 4
D(4, −4)
- Dados os pontos A(2, − 3 , 1) e B(4, 5 , −2), determinar o ponto P tal que
AP =
PB.
Soluc¸ ˜ao:
Resolvendo
AP e
PB:
AP = (x, y, z) − (2, − 3 , 1)
PB = (4, 5 , −2) − (x, y, z)
Substituindo em
AP =
PB temos:
(x, y, z) − (2, − 3 , 1) = (4, 5 , −2) − (x, y, z)
(x − 2 , y + 3 , z − 1) = (4 − x, 5 − y, − 2 − z)
Resolvendo para x:
x − 2 = 4 − x ⇒ x = 3
Resolvendo para y:
y + 3 = 5 − y ⇒ 2 y = 5 − 3 ⇒ 2 y = 2 ⇒ y = 1
Resolvendo para z:
z − 1 = − 2 − z ⇒ 2 z = − 2 + 1 ⇒ 2 z = − 1 ⇒ z =
− 1
2
P
1
2
- Dados os pontos A(− 1 , 2 , 3) e B(4, − 2 , 0), determine o ponto P tal que
AP = 3
AB.
Soluc¸ ˜ao:
(x, y, z) − (− 1 , 2 , 3) = 3[(4, − 2 , 0) − (− 1 , 2 , 3)]
(x + 1 , y − 2 , z − 3) = 3[(5, − 4 , −3)]
(x + 1 , y − 2 , z − 3) = (15, − 12 , −9)
Resolvendo para x:
x + 1 = 15 ⇒ x = 114
Resolvendo para y:
y − 2 = − 12 ⇒ y = − 10
Rsolvendo para z:
z − 3 = − 9 ⇒ z = − 6
P(14, − 10 , −6)
- Determinar o vetor ~v sabendo que (3, 7 , 1) + 2 ~v = (6, 10 , 4) − ~v.
Soluc¸ ˜ao:
(3, 7 , 1) + 2 ~v = (6, 10 , 4)
3 ~v = (6, 10 , 4) − (3, 7 , 1)
3 ~v = (3, 3 , 3)
~v = (1, 1 , 1)
- Encontrar os n ´umeros a 1
e a 2
tais que w~ = a 1
~v 1
~v 2
, sendo ~v 1
~v 2
= (2, 0 , −4) e w~ = (4, − 4 , 14).
Soluc¸ ˜ao:
(− 4 , − 4 , 14) = a 1
(1, − 2 , 1)+a 2
(2, 0 , −4) ⇒ (− 4 , − 4 , 14) = (a 1
, − 2 a 1
, a 1
−a 1
− 4 a 2
Fazendo o sistema:
a 1
− 2 a 1
a 1
Resolvendo para a 1
temos:
− 2 a 1
= − 4 ⇒ a 1
− 4
− 2
⇒ a 1
Resolvendo para a 2
temos:
2 − 4 .a 2
= 14 ⇒ − 4 a 2
= 14 − 2 ⇒ a 2
12
− 4
⇒ a 2
- Determinar a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1 , −3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos.
Soluc¸ ˜ao:
Para os vetores sejam paralelos tem que satisfazer a seguinte equac¸ ˜ao:
~v = α~u
(6, a, b) = α(4, 1 , −3) ⇒ 6 = α 4
α =
3
2
Substituindo α na primeira equac¸ ˜ao:
a =
1 ⇒ a =
e b =
− 3 ⇒ b =
a =
e b = −
Resolvendo para x: x + 1 = − 4 ⇒ x = − 5
Resolvendo para y: y = − 1 ⇒ y = − 1
Resolvendo para z: z + 3 = − 1 ⇒ z = − 4
X(− 5 , − 1 , −4)
3.16 Problemas Propostos:
- Dados os vetores u~ = (1, a, − 2 a − 1), ~v = (a, a − 1 , 1) e w~ = (a, − 1 , 1), determine a, de
modo ~u.~v = (u~ + ~v). ~w.
Soluc¸ ˜ao:
(1, a, − 2 a − 1).(a, a − 1 , 1) = [(1, a, − 2 a − 1) + (a, a − 1 , 1)].(a, − 1 , 1)
(a + a(a − 1) − 2 a − 1) = [(a + 1), a + a − 1 , 2 a − 1 + 1].(a, − 1 , 1)
a + a
2
− a − 2 a − 1 = [a + 1 , 2 a, − 2 a].(a, − 1 , 1)
a
2 − 2 a − 1 = a.(a + 1) − (2a − 1) − 2 a
a
2 − a
2 − 2 a − a + 2 a + 2 a = 1 + 1
a = 2
- Dados os pontos A(− 1 , 0 , 2), B(− 4 , 1 , 1) e C(0, 1 , 3), determine o vetor ~x tal que
2 ~x −
AB = ~x + (
BC.
AB)
AC
Soluc¸ ˜ao:
AB = B − A = (− 4 + 1 , 1 − 0 , 1 − 2) = (− 3 , 1 , −1)
BC = C − B = (0 + 4 , 1 − 1 , 3 − 1) = (4, 0 , 2)
AC = C − A = (0 + 1 , 1 − 0 , 3 − 2) = (1, 1 , 1)
BC.
AB = 4 .(−3) + 0. 1 + 2 .(−1) = − 12 − 2 = − 14
BC.
AB)AC = (− 14. 1 , − 14. 1 , − 14 .1) = (− 14 , − 14 , −14).
Portanto,
2 ~x − ~x = (− 14 , − 14 , −14) + (− 3 , 1 , −1) ⇒
~x = (− 17 , − 13 , −15)
- Determinar o vetor ~v, sabendo que (3, 7 , 1) + 2 ~v = (6, 10 , 4) − ~v.
Soluc¸ ˜ao:
(3, 7 , 1) + 2(x, y, z) = (6, 10 , 4) − (x, y, z)
(3, 7 , 1) + (2x, 2 y, 2 z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)
(3 + 2 x, 7 + 2 y, 1 + 2 z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)
Para x, temos: 3 + 2 x = 6 − x ⇒ 3 x = 3 ⇒ x = 1
Para y, temos: 7 + 2 y = 10 − y ⇒ y = 1
Para z, temos: 1 + 2 z = 4 − z ⇒ z = 1
~v = (1, 1 , 1)
- Dados os pontos A(1, 2 , 3), B(− 6 , − 2 , 3) e C(1, 2 , 1), determinar o versor do vetor
BA − 2
BC.
Soluc¸ ˜ao:
BA − 2
BC = 3 .[(1, 2 , 3) − (− 6 , − 2 , 3)] − 2[(1, 2 , 1) − (− 6 , − 2 , 3)] ⇒
BA − 2
BC = 3 .[(7, 4 , 0)] − 2[(7, 4 , −2)] ⇒
BA − 2
BC = (21, 12 , 0) − (14, 8 , −4) ⇒
BA − 2
BC = (7, 4 , 4)
Calculo do Modulo:
BA − 2
BC| =
2
2
2 ⇒
BA − 2
BC| =
BA − 2
BC| =
BA − 2
BC| = 9
Calculo do versor:
BA − 2
BC
BA − 2
BC|
BA − 2
BC
BA − 2
BC|
- Verificar se s˜ao unit´arios os seguintes vetores:
u = (1, 1 , 1) e
v =
Soluc¸ ˜ao:
Calculo do Modulo do vetor ~u:
|~u| =
2
2
2 ⇒
|~u| =
|~u| =
3 ⇒, ou seja, ´e diferente de 1 logo ~u n˜ao ´e unit´ario.
Calculo do Modulo do vetor ~v:
|~v| =
2
2
2
|~v| =
|~v| =
|~v| =
m =
m
′
⇒ m
′ = − 4
m
′′
⇒ m
′′ = − 5
- Dados os pontos A(1, 0 , −1), B(4, 2 , 1) e C(1, 2 , 0), determinar o valor de m para que
|~v| = 7, sendo ~v = m
AC +
BC.
Soluc¸ ˜ao:
~v = m
AC +
BC ⇒
~v = m[(1, 2 , 0) − (1, 0 , −1)] + [(1, 2 , 0) − (4, 2 , 1)] ⇒
~v = m[(0, 2 , 1)] + (− 3 , 0 , −1) ⇒
~v = (0, 2 m, m) + (− 3 , 0 , −1) ⇒
~v = (− 3 , 2 m, m − 1) ⇒
|~v| =
2
2
2 ⇒
|~v| =
9 + 4 m
2
2 − 2 m + 1 ⇒
|~v| =
5 m
2 − 2 m + 10
Substituindo o valor de |~v| = 7
5 m
2 − 2 m + 10 ⇒
5 m
2 − 2 m + 10)
2
= 7
2
⇒
5 m
2 − 2 m + 10 = 49 ⇒
5 m
2 − 2 m − 39 = 0 ⇒
Resolvendo a equac¸ ˜ao 2 grau.
2 − 4. 5 .(−39) ⇒
m =
m =
m
′
=
m
′
⇒ m
′ = 3
m
′′
m
′′
⇒ m
′′
⇒ m
′′ = −
- Dados os pontos A(3, m − 1 , −4) e B(8, 2 m − 1 , m), determinar m de modo que
AB| =
Soluc¸ ˜ao:
|(8, 2 m − 1 , m) − (3, m − 1 , −4)| =
|(5, 2 m − 1 − m + 1 , m + 4)| =
2
2
2 ) + 8 m + 16 =
25 + (m)
2
2 ) + 8 m + 16 =
25 + (m)
2
2 ) + 8 m + 16
2
2
25 + (m)
2
2 ) + 8 m + 16 = 35 ⇒
2 m
2
2 m
2
m
2
- 4 m + 3 = 0 ⇒ Resolvendo a Equac¸ ˜ao 2 grau.
δ = 4
2 − 4. 1. 3
δ = 16 − 12
δ = 4
m =
m
′
=
⇒ m
′
=
⇒ m
′
= − 1
m
′′
⇒ m
′′
⇒ m
′′ = − 3
- Calcular o per´ımetro do triˆangulo do v´ertices A(0, 1 , 2), B(− 1 , 0 , −1) e C(2, − 1 , 0).
Soluc¸ ˜ao:
p = |
AB| + |
BC| + |
CA| ⇒ p = |(B − A)| + |(C − B)| + |(A − C)| ⇒
p = |(− 1 , 0 , −1) − (0, 1 , 2)| + |(2, − 1 , 0) − (− 1 , 0 , −1)| + |(0, 1 , 2) − (2, − 1 , 0)| ⇒
p = |(− 1 , − 1 , −3)| + |(3, − 1 , 1)| + |(− 2 , 2 , 2)| ⇒
p =
2
2
2
2
2
2
2
2
2 ⇒
p =
p = 2
p = 2
p = 2(
- Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A(2, − 3 , 1) e
B(− 2 , 1 , −1).
Soluc¸ ˜ao:
AB| = 10 cm
AC| = 10 cm
Equac¸ ˜ao do produto escalar:
AB.
AC = |
AB|.|
AC|.cosθ ⇒
Substituindo a equac¸ ˜ao com os valores conhecidos:
AB.
AC = 10. 10 .cos 60
o ⇒
AB.
AC = 100. 0 , 5 ⇒
AB.
AC = 50
- Os lados de um triˆangulo retˆangulo ABC (reto em A) medem 5,12 e 13. Calcular
AB.
AC +
BA.
BC +
CA.
CB.
Soluc¸ ˜ao:
AB.
AC +
BA.
BC +
CA.
CB
AB.
AC = 0
cosα =
cosα =
BA.
BC
BA|.|
BC|
BA.
BC
BA.
BC = 25
cosθ =
CA.
CB
CA|.|
CB|
CA.
CB
CA.
CB = 144 ⇒
AB.
AC +
BA.
BC +
CA.
CB = 169
- Determinar os ˆangulos do triˆangulo de v´ertice A(2, 1 , 3), B(1, 0 , −1) e C(− 1 , 2 , 1).
Soluc¸ ˜ao:
Calculando ˆA:
AB = (1, 0 , −1) − (2, 1 , 3) = (− 1 , − 1 , −4) |
AB| =
2
2
2
AC = (− 1 , 2 , 1) − (2, 1 , 3) = (− 3 , 1 , −2) |
AC| =
2
2
2
Substituindo na equac¸ ˜ao
AB.
AC = |
AB|.|
AC|.cos
A temos:
14 .cos
A ⇒
cos
A =
A = arccos
A = arccos
Calculando ˆB:
BA = (2, 1 , 3) − (1, 0 , −1) = (1, 1 , 4) |
BA| =
2
2
2
BC = (− 1 , 2 , 1) − (1, 0 − 1) = (− 2 , 2 , 2) |
BC| =
2
2
2 = 2.
Substituindo na equac¸ ˜ao
BA.
BC = |
BA|.|
BC|.cos
B temos:
3 .cos
B ⇒ cos
B =
B = arccos
B = arccos
B = arccos
B = arccos
B = arccos
B = arccos
Calculando C:
CA = (2, 1 , 3) − (− 1 , 2 , 1) = (3, − 1 , 2) |
CA| =
2
2
2
CB = (1, 0 , −1) − (− 2 , 21) = (2, − 2 , −2) |
CB| =
2
2
2 = 2.
Substituindo na equac¸ ˜ao
CA.
CB = |
CA|.|
CB|.cos
C temos:
3 .cos
C ⇒ cos
C =
C = arccos
C = arccos
C = arccos
π
Sabendo que o ângulo entre os vetores~u = (2, 1 , −1) e ~v = (1, − 1 , m + 2) é
determinar m.
Soluc¸ ˜ao:
F ´ormula do ˆangulo entre dois vetores :
cosΘ =
u~.~v
|~u|.|~v|
~u.~v = (2, 1 , −1).(1, − 1 , m + 2) = 2. 1 + 1(−1) + (−1)(m + 2) = 2 − 1 − m − 2 = − 1 − m
|~u| =
2
2
2 ) =
6 |~v| =
1 + 1 + (m + 2) =
(2 + m
2
√
m
2
Substituindo os valores na equac¸ ˜ao do angulo entre vetores temos:
cos
π
(− 1 − m)
m
2
(− 1 − m)
m
2
m
2
2 m ⇒
Elevando ambos os membros ao quadrado:
6 .(m
2
2
⇒ 6 m
2
2
⇒ 2 m
2
m
2
Resolvendo a equac¸ ˜ao 2
o Grau.
2
− 4. 1. 16 = 0
Resolvendo a equac¸ ˜ao 2
o grau.
2
− 4. 1 .(−18) ⇒ ∆ = 81
α =
α
′
⇒ α
′ = 3
α
′′
⇒ α
′′ = − 6
- Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor u~ = (1, − 1 , 2), tal que ~v.~u = −18.
Soluc¸ ˜ao:
~u = (1, − 1 , 2)
~v = α(~u) ⇒ ~v = (α, −α, 2 α)
Substituindo os valores na equac¸ ˜ao:~v.~u = −18.
(1, − 2 , 2)(α, −α, 2 α) = − 18
α + α + 4 α = − 18
6 α = − 18
α =
α = − 3
~v = (− 3 , 3 , −6)
- Determinar o vetor ~v ortogonal ao vetor u~ = (− 4 , 2 , 6) e colinear e ao vetor w~ =
como o vetor ~v e colinear ao vetor´ w~, temos que:
Soluc¸ ˜ao:
~v = α. ~w
v = α.(− 6 , 4 , −2) onde α elementos dos reais para α = 1, temos que o vetor ~v ´e
igual ao vetor w~, que isso n˜ao deixa de ser colinear, ou seja dois vetores iguais
n˜ao deixa de ser colinear.
~v = α.(− 6 , 4 , −2) para α = (−
).t, onde t elemento dos reais, temos ~v = t.(3, − 2 , 1)
para t = −2, temos que o vetor ~v e igual ao vetor´ w~, que isso n˜ao deixa de ser
colinear, ou seja dois vetores iguais n˜ao deixa de ser colinear.
o vetor ~v = α.(− 6 , 4 , −2) ´e tamb´em a soluc¸ ˜ao do problema...mas o vetor ~v =
t.(3, − 2 , 1) ´e uma forma simplificada.
o vetor v = α.(− 6 , 4 , −2) e o vetor ~v = t.(3, − 2 , 1) s˜ao as mesmas soluc¸ ˜oes, basta
tomar α = (− 1 /2).t , onde t e k elementos dos reais.
ent˜ao temos que a resposta ´e ~v = t.(3, − 2 , 1).
- Determinar o vetor ~v, colinear ao vetor ~u = (− 4 , 2 , 6),tal que ~v. ~w = −12, sendo
w^ ~ = (− 1 , 4 , 2).
Soluc¸ ˜ao:
~v = α.~u
(x, y, z) = α.(− 4 , 2 , 6)
(x, y, z) = (− 4 α, 2 α, 6 α)
Substituindo x, y e z na equac¸ ˜ao:~v. ~w = −12 temos:
(x, y, z).(− 1 , 4 , 2) = − 12 ⇒
(− 4 α, 2 α, 6 α).(− 1 , 4 , 2) = − 12 ⇒
4 α + 8 α + 12 α = − 12
24 α = − 12 ⇒ α = −
~v = −
~v = (2, − 1 , −3).
- Provar que os pontos A(5, 1 , 5), B(4, 3 , 2) e C(− 3 , − 2 , 1) s˜ao v´ertices de um triˆangulo
retˆangulo.
Soluc¸ ˜ao:
Verificar se existe algum ˆangulo de 90
o
nos v´ertices.
Testando ˆA
cos
A =
AB.
AC
AB|.|
AC|
cos
A =
cos
A =
cos
A = 0 , 396 ⇒
A = arccos 0 , 396 ⇒
A 60
o ⇒
A , 90
o
Testando ˆB
cos
B =
BA.
BC
BA|.|
BC|
cos
B =
cos
B =
cos
B = 0 ⇒
B = arccos 0 ⇒
B = 90
o
.
Verificar se os pontos est˜ao ligado se for um triˆangulo tem que satisfazer a seguinte
equac¸ ˜ao:
AB −
AC =
CB
- Os ˆangulos diretores de um vetor podem ser de 45
o , 60
o e 90
o ? Justificar.
Soluc¸ ˜ao:
Para serem ˆangulos diretores tem que satisfazer a formula: cos
2 45
o
2 60
o
cos
2 90
o = 1
Resolvendo:
2
2
2 = 1 ⇒
75 , 1 logo: N˜ao s˜ao ˆangulos diretores.
Os ˆangulos diretores de um vetor s˜ao de 45
o , 60
o e γ. Determinar γ.
Soluc¸ ˜ao:
cos
2 45
o
2 60
o
2 γ = 1 ⇒
2
2
2
γ = 1 ⇒
- 5 + 0. 25 + cos
2 γ = 1 ⇒
cos
2
γ = 1 − 0. 75 ⇒
cos
2 γ = 0. 25
(cos
2 γ) =
cosγ = ± 0. 5
γ = arccos ± 0. 5
γ
′ = 60
o ou γ
′′ = 120
o
- Determinar o vetor ~v, sabendo que |~v| = 5, ~v e ortogonal ao eixo 0z, ~v. ~w = 6 e
w ~ = 2
j + 3
k.
Soluc¸ ˜ao:
~v = (x, y, z) ⇒
Para ser Ortogonal a 0z = (0, 0 , 1)
(x, y, z).(0, 0 , 1) = 0 ⇒ 0 .x + 0 .y + 1 .z = 0 ⇒ z = 0
Usando a equac¸ ˜ao:~v. ~w = 6 temos: (x, y, 0).(0, 2 , 3) = 6 ⇒ 0 .x + 2 y + 3. 0 = 6 ⇒ 2 y =
6 ⇒ y = 3
Usando a equac¸ ˜ao |(x, 3 , 0)| = 5 temos:
x
2
2
2 = 5 ⇒ x
2
2
⇒ x
2
= 25 − 9 ⇒ x
2
= 16 ⇒ x = ±
16 ⇒ x = ± 4
~v = (4, 3 , 0) ou ~v = (− 4 , 3 , 0)
- Sabe-se que |~v| = 2, cosα =
e cosβ = −
. Determinar ~v.
Soluc¸ ˜ao:
cos
2 α + cos
2 β + cos
2 γ = 1 ⇒
2
2
2 γ = 1 ⇒
cos
2
γ = 1 −
cos
2 γ = 1 −
cos
2 γ = 1 −
cos
2 γ = 1 −
cos
2
γ =
cos
2 γ =
cosγ = ±
cosγ = ±
Para coordenada x :
x = cosα.|~v| ⇒ x =
. 2 ⇒ x = 1
Para coordenada y :
y = cosβ.|~v| ⇒ x = −
. 2 ⇒ y = −
Para coordenada z :
z = cosγ.|~v| ⇒ z =
. 2 ⇒ z = ±
~v = (1, −
- Determinar um vetor unit´ario ortogonal ao vetor ~v = (2, − 1 , 1)
Soluc¸ ˜ao:
Seja ~u = (a, b, c) o vetor unit´ario pedido,ent˜ao a
2
2
2 = 1
Como u~ e ortogonal a´ ~v ,ent˜ao ~u.~v = 0
~u.~v = 0 => (a, b, c).(2, − 1 , 1) = 0 ⇒ 2 a − b + c = 0
Como temos duas equac¸ ˜oes,mas trˆes inc ´ognitas,ent˜ao teremos que atribuir a uma
inc ´ognita um valor arbitr´ario. Logo, seja a = 0. Ent˜ao
c − b = 0 ⇒ c = b
a
2
2
2 = 1 ⇒ b
2
2 = 1 ⇒ b = ±
Assim,encontramos dois vetores unit´arios ~u e ortogonais a ~v
