Baixe Respostas - Calculo A - Cap 5 a - Flemming e Gonçalves e outras Exercícios em PDF para Química, somente na Docsity!
5.3 – EXERCÍCIO – pg. 191
- Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas
24,4t 604 , 60 t 90,
(t 4) , 0 t 60 2
l 20 W(t)
2
onde t é medido em dias.
(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50?
50 4 54 gramas dia
50 50
= + =
t = t =
t dt
dw
(b) Quanto a ave aumentará no 5lº dia?
54 , 5 gramas
2 2
w − w
(c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80?
24 , 4 gramas dia 80
dtt =
dw
- Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = 0. Após t horas, sua temperatura,
em graus centígrados, é dada por:
, 0 t 5. 1
T(t) 30 - 5t ≤ ≤
t
Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas?
2 ( 1 )
dt t
dT
C h
dt
dT
o
t h
2 2
=
3. A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p^ em kgf/cm³ e volume v em
cm³ estão relacionadas pela igualdade vp = c, onde c é constante. Achar a razão de variação do
volume em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm³.
3 3 2 10
2
cm kgf cm
c c
dp
dv
p
c
dp
dv
p
c vp c v
p
=
- Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.
litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu
2 2500 t litros, determinar:
(a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina;
Seja v ( t )o volume de água no instante t.
2
v t
vt t
t t horas
t
2
2
(b) taxa média de escoamento no intervalo [2,5];
2 f ( t )= 2500 t
l hora
f f
t
f t t f t
2 2
(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
( )
2 1
t
p t
t
pt
0 , 8 milharesdepessoas ano 25
2 2
p ′
(b) Qual será a variação real sofrida durante o 18º mês?
0 , 068965 milharesde pessoas
^ −
p p
- Seja r a raiz cúbica de um número real x. Encontre a taxa de variação de r em relação a x
quando x for igual a 8.
3
2
3
1 3
x dx
dr
r x x
3
2 3
3
2
8
−
dxx =
dr
- Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t - t
1/ litros no recipiente. Qual a
taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em 1/hora, quando t = 16 horas?
2
1
f ( t )= 5 t − t
2
1
− = − t dt
df
4 , 875 l hora 8
4
dtt =
df
- Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura.
No tempo t = 0 , a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m / h.
3 Com que velocidade o
nível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?
Sejam:
v = v ( t )o volume de água no tanque;
h = h ( t )a altura da água no instante t;
r o raio da base.
Temos:
m h dt
dv 25 /
3
v r h
2
2 r
v h
dv
dh
v h
dt
dv
dv
dh
dt
dh =.
m/horas
dt
dh
dt
dh
m s dt
dr = 20 /
cm s
cm s dt
dv
r
dt
dr
dr
dv
dt
dv
r
3
3
2
2
2
=
- Os lados de um triângulo eqüilátero crescem à taxa de 2,5 cm/s.
(a) Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de
comprimento?
Sejam A a área e l o lado do triângulo.
. como
2
l
dt
dl l
l A dt
dl
dl
dA
dt
dA
cm seg
cm seg dt
dA
l
2
2
12
=
(b) Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10 cm de
comprimento?
Seja P o perímetro do triângulo.
cm seg
dl
dP
dt
dl
dl
dP
dt
dP
P = 3 l
- Um objeto se move sobre a parábola y 2x 3x- 1
2 = + de tal modo que sua abscissa varia à
taxa de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto
estiver no ponto (0, - 1)?
2 y = x + x − 6 u /min dt
dx
( 4. 0 3 ). 6 18 / min
0
un dt
dy
x
dt
dx
dx
dy
dt
dy
x
=
- Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80
km/h. Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de
95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do
segundo trem deixar a estação.
O instante t = 0 corresponde à saída do segundo trem. Posicionando o primeiro trem sobre o
eixo positivo dos y e o segundo sobre o eixo positivo dos x , num instante qualquer t , suas
posições são dadas por:
x t
y t
A taxa na qual os dois trens estão se separando coincide com a taxa de crescimento da diagonal
do triângulo xoy. Temos,
km hora
dt
dD
dt
dD
dt
dy y dt
dx x dt
dD D
D x y
2 2
- Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 90 cm de altura
caminha afastando-se da lâmpada à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra?
Sejam:
y a distância da criança até o poste;
x a sombra da criança.
3
2
−
π r V
dV
dA
unid.área/ unid.vol. 3
3
3
1
3
1
3
2 3
1
dV V V
dA
V
V V
dV
dA
^ =
−
−
- Supor que o custo total de produção de uma quantidade de um certo produto é dado pelo
gráfico da figura que segue.
(a) Dar o significado de C ( 0 ).
C ( 0 )corresponde a parcela de custo fixos.
(b)Descrever o comportamento do custo marginal.
O custo marginal vai diminuindo inicialmente e depois passa a aumentar.
q
C(q)
- O custo total C ( q )da produção de q unidades de um produto é dado por.
3 2 Cq = q − q + q +
(a) Qual é o custo fixo?
O custo fixo é 120.
(b) Qual é o custo marginal quando o nível de produção é q = 20 unidades.
( )
( ) ( 20 ) 10. 20 10 410 2
2
2
C
C q q q
(c) Determinar se existem, os valores de q tais que o custo marginal é nulo.
2
2
q
q q
q q
q 1 (^) = 5 , 44 q 2 = 1 , 2
- A função q = 20 000 − 400 p representa a demanda de um produto em relação a seu preço
p. Calcular e interpretar o valor da elasticidade da demanda ao nível de preço p = 4.
( )
q
p
q
p
dp
dq Eq p
p = ⇒ q = −
E
E
Interpretação: A elasticidade é negativa e muito baixa. Isso significa que um pequeno
aumento percentual no preço diminuirá muito pouco a demanda.
- A função
2 q = 15 + 60 y − 0 , 06 y mede a demanda de um bem em função da renda média per
capita denotada por y (unidade monetária), quando os outros fatores que influenciam a demanda
são considerados constantes.
(a) Determinar a elasticidade da demanda em relação à renda y.
