Baixe Respostas - Calculo A - Cap 4 e - Flemming e Gonçalves e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
4.21 – EXERCÍCIOS – pg. 176
Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas ate ordem n indicada.
- y 3 x 2 x
4 = − , n = 5
2
3
V
IV
y
y
y x
y x
y x
- y = ax + bx + cx + d
3 2 , n = 3
2
y a
y ax b
y ax bx c
2 5 y = 3 − 2 x + 4 x , n = 10
( ) ( ) ( ) 0
7 8 10
2
3
4
y y y
y
y
y x
y x
y x
y x x
VI
V
IV
2 y = 3 − x , n = 2
2 2
2
3 2 2 2
1 2
2
3 2 2
1 '' 2
2
1 2
x x
x x x
y x x x x
y x x
− −
− −
−
x
y , n = 4
8 5
3
6 4
2
4 3
2
x x
x y
x x
x y
x x
x y
x
y
IV
2 + 1
x y e , n = 3
2 1
2 1 2 1
2 1
x
x x
x
y e
y e e
y e
x x e e
y
− = =
, n = 4
x
IV x
x
x
x
e
y e
y e
y e
y e
−
−
−
−
- y = ln 2 x , n = 2
2
x
y
x
y
- y = senax , n = 7
a) y = senx
( ) y = senx
100
b) y =cos x
( ) y cos x
100
14. Mostrar que a derivada de ordem n da função ( )
x
f x
= é dada por
1
()
n
n n
x
n y
1
8 5
3
6 4 4
2
4 3
2
n
n n
IV
x
n y
x x
x y
x x x
x y
x x
x y
x
y
x
y
M
15. Mostrar que a derivada de ordem n da função ( )
ax f x = e é dada por.
( n ) n ax y = ae
n n ax
ax
ax
ax
ax
y a e
y ae
y ae
y ae
y e
M
3
2
16. Sejam f ( x )e g ( x )funções deriváveis ate 3ª ordem. Mostrar que:
a) ( ) 2.
' f g = gf ′′+ f g ′+ fg ′′
g f fg f g
fg fg gf g f fg
fg fg gf
= ′′+ ′′+ ′^ ′
b) ( ) 3 3.
'' ' ''' f g = g f ′′′+ f ′ g ′′+ fg ′′′+ f g
'' '
'''
g f fg fg f g
g f fg fg gf fg gf
fg g f fg fg gf fg gf
17. Mostrar que x = A cos ( wt + α), onde A , w e α são constantes, satisfaz a equação
2
..
x + ω x = , sendo
2
..^2
dt
d x x =.
Temos:
x = A cos ( wt + α)
x Aw wt
x Asen wt w
cos
2
..
.
Substituindo na equação:
cos ( ) cos( ) 0
2 2 − Aw wt +α + wA wt + α ≡
- Calcular dx
dy y ′^ = das seguintes funções definidas implicitamente.
a)
3 3 3 x + y = a
2
2
2
2 2 2
3
y
x
y
x x y y y
b) 0
3 2 2 x + x y + y =
x y
x xy y
y x y x xy
x xy x y yy
2
2
2 2
2 2
[ ]
y
y
y
e
y
y e
e y y
19. Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro ( 2 , 0 )e raio 2 nos
pontos de abscissa 1.
Temos a circunferência dada:
2 2
2 2
2 2
x x y
x x y
x y
Derivando, temos:
y
x y
y
x y
yy x
x yy
No ponto ( 1 , 3 ), temos:
Declividade da reta tangente:
m =
Equação da reta tangente:
1 1
y x
y y mx x
x y
y x
Declividade da reta normal:
mn =− 3
Equação da reta normal:
x y
y x
No ponto ( 1 , − 3 ), temos:
Declividade da reta tangente:
m =
Equação da reta tangente:
1 1
x y
y x
y x
y y mx x
Declividade da reta normal:
mn = 3
Equação da reta normal:
x y
y x
- Demonstrar que a reta tangente à elipse 1 2
2
2
2
y
a
x
no ponto ( x 0 , y 0 )tem a equação
2
0 2
0
y y
a
x x
Temos:
2
2
2
2
y
a
x
Derivando implicitamente:
a y
b x
y
b
a
x y
a
x
b
yy
b
yy
a
x
2
2 2
2
2 2
2 2
3 1
2 1
2 1
2 1 1 1
2 1
y x
x
x y y
x
3 1
4 1
3 1
22 − 4 x 1 (^) = 2 x ∴ 16 x = 2 x
1
1
3 1
3 1
4 1
x
x x
x x
Ou,
1
1
x
x
No pontos ( 0 , 0 )não existe reta tangente. Temos então somente
A figura que segue mostra graficamente o resultado obtido.
x
y
2 3
y = 2 x
4 x − 3 y + 1 = 0
- Mostre que as curvas cujas equações são 2 3 5
2 2 x + y = e
2 3 y = x interceptam-se
no ponto ( 1 , 1 )e que suas tangentes nesse ponto são perpendiculares
Verificando a intersecção:
2 3
2 2 2 3 5
y x
x y
O ponto ( 1 , 1 )pertence ao gráfico das duas curvas, pois:
2 2
2 3 1 = 1.
Analisando as tangentes:
2 2 x + y =
2 3 y = x
4 x + 6 yy ′= 0
2 2 yy ′= 3 x
y
x
y
x y 3
y
x y 2
2 ′ =
( ) 3
1 , 1
y ′ = ( ) 2
1 , 1
y ′ =
Assim as retas
y − = x e ( 1 )
y − 1 = x −
são perpendiculares.
A Figura que segue mostra os resultados obtidos graficamente.
-2 -1 1 2
1
2
x
y
tg t t sent
sent t
x t
y t
dx
dy =− − ⋅
2
2
24 cos
24 cos
para t ∈( 0 , π / 2 )∪( π/ 2 , π)..
- Determinar a equação da reta tangente à elipse
^ [^ ]
2 cos
y sent t
x t
no ponto (^).
2
P
No ponto.
2
P temos que
2 cos 2
y sent
x t
ou
cos 2 / 2
sent
t
Assim, temos que
4
t =.
Calculando a declividade:
sent
t
x t
y t
dx
dy
3 cos
Considerando 4
t = temos. 2
− ×
×
m =
A equação da reta tangente é dada por:
y x
y x
A figura que segue mostra os resultados obtidos.
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
x
y
- Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à astróide
, [ 0 , 2 ]
cos
3
3
y sent t π
x t
no ponto
P.
Calculando a declividade da reta tangente:
tgt tsent
sent t
x t
y t
dx
dy =− −
2
2
3 cos
3 cos
O ponto P corresponde a 3
t =. Portanto, 3 3
m tg.
A equação da reta tangente no ponto P é dada por:
x y
y x
A declividade da reta normal é dada por 3
mn = −.
A equação da reta normal no ponto P é dada por:
x x x
y f x x f x
x x
dy y x
x x x x
x
x
x
x x x
x
x
x
x x x
x x x
x
x y dy x x x
c)
2 1
x
x y
x x x
x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x
x
x x
x x
y f x x f x
x x
x x
x x
x x
x x dy y x
2
2
2
2 2 1
x
x
x x x
x y dy
- Encontrar ∆ y e dy para os valores dados
a) 2 2
x
y = ; ∆ x = 0 , 001 ; x = 1
2 2
2 2
2 2
x^ x
x x x
y
3
= x x
dy
b) y 5 x 6 x
2 = − ; ∆ x = 0 , 02 ; x = 0
y x x ( x ) x
y x x x x x x x x
y x x x x x x
2
2 2 2
(^22)
2
2
2
x
y x
dy = x − ∆ x = x −
c) 1
x
x y ; ∆ x = 0 , 1 ; x =− 1.
f x x f x dy
f x x f x y dy
b) 3 63 , 5
3 y = x , x = 64 , ∆ x =− 0 , 5
3 2
3 2
3
2
−
x
x
dy x x
f x x f x dy
f x x f x y dy
3 3 ≅ + dy = − =
c) 4 13
4 y = x , x = 16 , ∆ x =− 3
4 3
4 3
4
3
−
x
x
dy x x
f x x f x dy
f x x f x y dy
4 4 ≅ +− ≅ − ≅
- Calcular a diferencial das seguintes funções
a) y ln ( 3 x 4 x )
2 = −
dx x x
x dy. 3 4
2 −
b) x e
x y
dx e
x
dx e
e xe e
dx e
e x e dy
x
x
x x x
x
x x
2
2
c) ( 5 6 )
2 y = sen x +
dy 10 x cos ( 5 x 6 ) dx
2 = +
- A área s de um quadrado de lado x é dada por
2 S = x. Achar o acréscimo e a
diferencial desta função e determinar o valor geométrico desta última.
2 S = x
Calculando o acréscimo:
2
2 2 2
(^22)
s x x x
s x x x x x
s x x x
Calculando a diferencial:
ds =^2 x ∆ x
A Figura que segue mostra a interpretação geométrica.
