Baixe Resolução Guidorizzi Vol 3 Cap 1 e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Exercícios 1.
1. Sejam ( , ) ( x, y ), com x cos e y sen .
CAPÍTULO 1
Para cada fixo, 1 2, transforma o segmento ( , ), 0 2 , na circunferência x^2 y^2 ( cos ) 2 ( sen ) 2 ^2. Assim, transforma o retângulo
0 2 , 1 2 na coroa circular 1 x^2 y^2 4.
2. Sejam ( u, v ) ( x, y ), x u v , y u v.
a ) B {( u , 0) ^2 } (B) {( x, y ) ^2 x y }
b ) B {( u, v ) ^2 0 u 1, 0 v 1}.
Para cada v fixo, 0 v 1, transforma o segmento ( u, v ), 0 u 1, no segmento ( x, y ) ( u v , u v ), 0 u 1, de extremidades ( v , v ) e (1 v , 1 v ).
(B) é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 1), (2, 0), (1, 1).
3. Seja B {( u, v ) u^2 v^2 r^2 }.
( u, v ) ( x, y ) ( u v, u v ).
Temos:
x^2 y^2 ( u v ) 2 ( u v ) 2 2 u^2 2 v^2 2 2 2 2
( u v ) r
Portanto, (B) {( x, y ) x^2 y^2 2 r^2 }.
5. Seja f ( u, v ) ( u, v, 1 u v ) com u 0, v 0 e u v 1
A imagem de f coincide com o gráfico da função z 1 x y, x 0, y 0 e x y 1.
6. Seja ( u, v ) ( x, y, z ) com x u cos v, y u sen v e z u
a ) É a circunferência x u 1 cos v, y u 1 sen v e z u 1 contida no plano z u 1 e com centro no ponto (0, 0, u 1 ), com u 1 fixo e v .
b ) É a reta x u cos v 1 , y u sen v 1 e z u , com v 1 fixo e u .
Quando o ponto ( , 1) descreve a reta 1, o ponto ( x, y ) descreve a elipse x^2 y^2 4 1
12. Seja ( u, v, w ) ( u cos v , u sen v, w ), com 0 u 1, 0 v 2 e 0 w 1. Temos x u cos v e y u sen v. Então, x^2 y^2 u^2 (0 u 1) Im ( ) {( x, y, z ) ^3 x^2 y^2 1 e 0 z 1} é um cilindro.
Temos:
r
cos ( ) , 2 sen x r cos sen cos , y r sen sen sen , z cos ,
com 0, 0 2 e 0 .
15. a ) Em coordenadas esféricas:
x 1 sen cos , y 1 sen sen e z 1 cos . Temos:
x^2 y^2 z^2 1 2 sen^2 cos^2 1 2 sen 2 sen^2 1 2 cos^2 1 2 sen 2 (cos^2 sen^2 ) 1 2 cos^2 1 2 ( sen 2 cos^2 ). fi x^2 y^2^ z^2 12
E, portanto, x^2 y^2 z^2 1 2.
(B) {( x, y, z ) ^3 x^2 y^2 z^2 12 } é uma superfície esférica de raio 1.
b ) Seja B {( , , ) ^3 0 1, 0 2 e 0 } um paralelepípedo.
(B) {( x, y, z ) ^3 x^2 y^2 z^2 1} é a esfera de raio 1.
Exercícios 1.
1. a ) r^
r v ( , x y ) x^2 j
A função vetorial r v associa a cada ponto ( x, y ) do plano o vetor x^2 j
r .
A todos os pontos do eixo dos y , r v associa o vetor nulo, pois^
r v (0, y ) 0 2
r j.
A todos os pontos que estão sobre a reta x 1, r v associa o vetor
r j.
d ) r 124 43
r v ( , x y ) ( 1 x^2 ) j 0
com x 1.
r r r f ( , x y ) i ( x y j ).
c ) y x 2, daí
r (^) r r f x x ( , 2 ) i 2 j.
3. r^
r r g ( , x y ) i xy j.
Se xy 1 temos: r r^ r g x y ( , ) i j
r F f onde f x y z ( , , ) x^2 y^2 z^2.
f ( x, y, z ) (2 x , 2 y , 2 z ).
Seja ( x, y, z ) um ponto da superfície esférica x^2 y^2 z^2 1. Neste ponto
( x, y, z ) (2 x , 2 y , 2 z ) é normal à superfície esférica x^2 y^2 z^2 1.
7. Seja
r F f onde f x y z ( , , ) x y z.
r 1 2^ F x y z 4 43 f
r F f é normal no ponto ( x, y, z ) à superfície de nível de^ f^ que passa por esse ponto. Como x y z 1 é uma superfície de nível de f , então
r F x y z ( , , ) ( , , )1 1 1 é normal, no ponto ( x, y, z ), ao plano x y z 1.
9. Sabemos que V ( x, y ) x^2 y^2 , V ( x, y )
r F x y ( , ) 0 e ( t )
r F ( g ( )), t onde ( t ) ( x ( t ), y ( t )), t I. Primeiro, vamos mostrar que g ( t ) V (( t )) é decrescente no intervalo I. De fato, g ( t ) V (( t )) ( t ) V (( t ))
r F ( g ( )) t 0 em I ; logo, g ( t ) é decrescente em I. De g ( t ) V (( t )) x^2 ( t ) y^2 ( t ), segue que g ( t ) é o quadrado da distância da origem ao ponto ( t ). De g ( t ) 0, segue que tal distância decresce quando t cresce. Assim, se ( t 0 )
é ponto do círculo x^2 y^2 r^2 , então, para t t 0 , ( t ) permanecerá em tal círculo.
10. a ) De g ( t ) V (( t ))
r F ( g ( )) t 0, segue que^ g^ é estritamente decrescente em [0,^ [, ou seja, a distância do ponto ( t ) à origem é estritamente decrescente. Observe que, para t , duas situações poderão ocorrer: ou ( t ) tende para a origem ou ( t ) irá se aproximando mais e mais de uma circunferência. De acordo? b ) Como V ( x, y )
r F x y ( , ) é contínua e estritamente menor que zero no compacto r^2 x^2 y^2 R^2 , segue que M 0. Temos
g ( t ) V (( t )) ( t ) M em [0, T ].
Daí
g ( t ) g (0) Ú — V
t g 0
( t ) ( t ) dt dt Mt , 0 t T
P
y
xf u u vy
xy f u x y
2 2 e^
Q
x
yf u u x
xy f u x y
( ) ( )^.
2 2
Então,
rot r r^ r g Q x
P
y
k
Ê
ËÁ^
¯˜^
r r r F x i y j
P x y x
Q x y y
e Então
rot
r r^ r^ r F Q x
P
y
k x y y x
k
Ê
ËÁ^
¯˜^
Ê
ËÁ^
2 0 ( é de classe C^2 ).
rot
r r r F 0 ¤ F é irrotacional.
4. a )
r r v ( , x y ) 1 x^ j. 9
Ê^2
ËÁ^
b ) O escoamento é irrotacional pois rot
r r v (^0) na região .
r 1 42 43
r
1 42 43
r v x y y x y
i x x y
j P x y Q x y
( , ) ( , )
rot r r v x y
Q
x x y
P
y ( , ) ( , ) ( , x y ) k.
Ê
ËÁ^
Temos
y s
ˆ ¯˜
Q
x x y x^ y x y
( , ) (^ )
^
2 2 1 e
P
y x y x^ y x y
( , ) (^ )
^ ^ .
2 2 2 2 1
Então,
Q
x
x y P y
x y x y
( , ) ( , ) (^ )
2 2
Segue que para 1, teremos rot
r v ( , x y ) 0.
7. a ) Seja
r r r F Pi Qj , P e Q diferenciáveis.
Consideremos: r r^ r u cos i sen j e^
r r^ r v sen i cos j , onde e 0.
De ( x, y ) s u t v r r , segue
( x, y ) ( s cos t sen )
r i ( s sen t cos )
r j.
Temos:
r (^) r r i cos u sen v e^
r (^) r r j sen u cos v. r r r F x y ( , ) P x y i ( , ) Q x y ( , ) j P x y ( , ) [cos u v ] Q x y ( , ) [ u cos v ].
r r r r sen sen
Daí, r (^) r r F x y ( , ) [ P x y ( , ) cos Q x y ( , ) sen ] u [ Q x y ( , ) cos P x y ( , ) sen] v.
b ) Sejam P 1 ( s, t ) P ( x, y ) cos Q ( x, y ) sen , Q 1 ( s, t ) Q ( x, y ) cos P ( x, y ) sen , x s cos t sen , e y s sen t cos .
Temos^
x s
x t
y s
y t cos , sen ; sen e cos.
Segue que:
Q
s s t
P
t s t s
(^1) ( , ) 1 ( , ) ( Q x y ( , ) cos P x y ( , ) sen )
t
Ê P x y ( , ) cos Q x y ( , ) sen ËÁ^
cos
Q x
x s
Ê Ë
cos
^
Q y
y s
P vx
x s
P y
y s
sen sen ˆ¯
Como div r v 1 então constante. Logo o fluido não é incompressível (o fluido está se expandindo).
b ) div r r v y y j d dy
0 fi div ( ( ) ◊ ) 0 fi ( ( ) y ◊ y ) 0
fi ( ) y ◊ y k ( k constante). Daí, ( ) y k ,. y y 0
c ) Sejam ( y, t ) a densidade do fluido e r r v x y z ( , , ) yj a velocidade do fluido. Temos
div div
r r v yj y
y y y
[ ( )] ( ) .
Substituindo na equação da continuidade div
r v t
ÊË 0 ˆ¯ resulta
y y t
0 e, portanto,^
t y y
4. a ) Suponhamos que r v derive de um pontencial, isto é, existe : Æ com em. r v
Temos r r^ r^ r v x y z x
i y
j z
( , , ) k
As componentes de r v x y z
e são de classe C 1.
Logo,^
2 2 2 2 2 2 x y y x x z z x y z z y
, e .
rot r
r r r
14 42 443
r v
i j k
x y z
x y z
y z z y i
2 2
0
Ê
Ë
Á Á Á
ˆ
¯
˜ ˜ ˜
2 2
0
2 2
0
z x x z
j x y y x
k 1 442 443
r
144 2 443
r r
Ê
Ë
Á
Á
Á
Ê
Ë
Á
Á
Á
Se rot r r v 0 , então r v é irrotacional.
b ) Se r v é incompressível então div^
r v 0.
Mas div r v div () ^2 .
Logo, ^2 0.
5. c ) ( x, y ) arctg x y
, y 0.
x
y x y x
xy x y
2 2 2 2 2
e ( )
y
x x y y
xy x y
2 2 2 2 2
e ( )
^
2 2
2 2 2 2 2
^2 2
x y
xy xy ( x y )
6. a ) Seja ( x, y ) f x^ y u
( 1242 432 )onde f ( u ) é derivável até 2.ª ordem.
x
df du
u x ◊ 2 xf ( ). u
2
x^2 ^ x (^2 x f^ ^ ( ) u^^ )^ ^2 f^ ^ ( ) u^^ ^2 x^ x (^ f^ ( ) u )
2 f u 2 x d du f u du x
Daí
2 2
x
f ( ) u x f ( ). u
Analogamente,^
2 2
y
f ( ) u y f ( ). u
Temos que ^2 0. Logo, 2 f ( u ) 4 x^2 f ( u ) 2 f ( u ) 4 y^2 f ( u ) 0.
Daí, 4 ( x^2 y^2 ) u
124 43 f^ ( u )^ ^4 f^ ( u ) e, portanto,^ u f^ ( u )^ ^ f^ ( u ),^ u^ 0.
b ) De uf ( u ) f ( u ), u 0, e supondo f ( u ) 0, temos f^ u f u u
(^1) e daí
(ln f ( u )) (ln u ), u 0. Segue que ln f ( u ) ln u C, C constante. Temos,
então, (^) ln f ( ) u ln k , u
onde ln^ k^ ^ C. Daí,^ f^ u^
k u
( ) e, portanto, f ( u ) k ln u A
com k e A constantes, resolve o problema.
7. Devemos esperar div 0, ou seja, ^2 0.
9. Sejam r r^ r^ r u Pi Qj Rk e r^
r r r v P i 1 Q j 1 R k 1.
a ) Vamos supor que as componentes de r u e r v admitam derivadas parciais. Temos
rot ( ) ( ) ( ) ( )
r r
r r r
u v
i j k
x y z P P Q Q R R
1 1 1
r r r^ r r r i j k
x y z P Q R
i j k
x y z P Q R
1 1 1
rot r u rot r v.
b ) Vamos supor que as componentes de r u e r v admitam derivadas parciais. Temos
div ( ) div( ) ( ) ( ) r r r^ r^ r u v (^) [ P P 1 (^) i Q Q 1 (^) j R R 1 k ]
x
P P
y
Q Q
z
( 1 ) ( 1 ) ( R R 1 )
x
P
y
Q
z
R
P
x
Q
y
R
z
Ê
ËÁ^
¯˜^
Ê
ËÁ^
1 1 1
div r u ^ div^
r v. d ) Vamos supor que e as componentes de (^) u r admitam derivadas parciais. Temos
rot r^ rot
r r r u ( Pi Qj Rk )
r r r r r
i j k
x y z P Q R
R
y
Q
z
i P z
R
x
j
Ê ( ) ( ) ( ) ( )
ËÁ^
¯˜^
Ê
Ë
( Q ) ( )
x
P
y
k R y y
R Q
z z
Ê Q i ËÁ^
¯˜^
È
Î
Í
r r
P
z z
P R
x x
R j Q x x
Q P
y y
È P k ÎÍ^
È
Î
Í
r r
R
y
Q
z
i P z
R
x
j Q x
P
y
Ê k ËÁ^
¯˜^
Ê
Ë
Ê
ËÁ^
È
Î
Í
r r r
y R z Q i z P x R j x Q y
Ê P ËÁ^
ˆ ¯˜^
Ê Ë
ˆ ¯
Ê ËÁ^
ˆ ¯˜
È Î
Í
˘ ˚
˙
r r
r r r r r r i j k
x y z P Q R
i j k
x y z P Q R rot r r u u. Portanto rot^ ^ ^ rot
r r r u u u.
f ) Vamos supor as componente de r u de classe C 2 em . Temos
rot (rot ) rot r
r r r
u
i j k
x y z P Q R
rot^
R
y
Q
z
i P z
R
x
j Q x
P
y
Ê k ËÁ^
¯˜^
Ê
Ë
Ê
ËÁ^
È
Î
Í
r r r .
Temos, também,
rot
R
y
Q
z i
i j k
x y z R y
Q
z
Ê
ËÁ^
r
r r r
2 2 2
2 2
R^2
z y
Q
z j
R
y
Q
y z k ∂
Ê
ËÁ^
¯˜^
Ê
ËÁ^
r r .
De modo análogo,
rot
P
z
R
x j
P
z
R
z x i
P
x z
R
x
ÊË ˆ¯ k
Ê
ËÁ^
¯˜^
Ê
ËÁ^
r 2 r r 2
2 2 2 2
e
rot^
Q x
P y
k Q y x
P y
i Q x
P x y
Ê j ËÁ^
ˆ ¯˜^
Ê ËÁ
ˆ ¯˜
Ê ËÁ
ˆ ¯˜
r (^2 2) r r 2
2 2
2 .
Segue que
rot (rot ) ... r r u R x z
Q
x y
P
y
P
z
i
2 2 2 2
2 2
Ê
ËÁ^
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
P
x
Q
x y
R
x z
P
x
P
y
P
z
Ê i ËÁ^
r ...
G F
x
F
y
F G
z
G
y
F G
x
G
(^3) z
Ê
ËÁ^
¯˜^
Ê
ËÁ^
¯˜^
Ê
Ë
F
G
y
G
x
G G G
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
F
(^3) y 1 2 1 2 3
Ê
ËÁ^
¯˜^
Ê
ËÁ^
( F , F , F ) , ,
G
y
G
z
G
z
G
x
G
x
G
(^1 2 3) y
◊ Ê^3 2 1 3 2
ËÁ^
r r r r G ◊ ( F ) F ◊( G ).
Então, div (^) ( ) ( ) ( ).
r r r r r r F G G ◊ F F ◊ G
12) Seja
r r r F x y ( , ) P x y i ( , ) Q x y ( , ) j com P e Q de classe C 1.
Temos P 1 ( , ) P ( x, y ) e Q 1 ( , ) Q ( x, y ) com x cos e y sen .
a )^
P P
x
x P y
1 y
P P
x
x P y
(^1) y
P P
x
P
y P P x
P
y
1
1
sen
sen
cos
cos
Ï
Ì
ÔÔ
Ó
Ô
Ô
Multiplicando-se a primeira equação por sen , a segunda por cos e somando membro a membro, obtemos::
P
x
( , x y ) 1 sen P^1^^ ( , ) cos P^1 ( , ).
Procedendo de forma análoga, obtemos:
Q
y x y
Q Q
( , ) cos ( , ) ( , )
sen.
b )
r r r F x y ( , ) P x y i ( , ) Q x y j ( , )
div
r F x y
P
x x y
Q
y ( , ) ( , ) ( , x y )
1 1 1 1 1 ^1 r sen ( , ) cos ( , ) cos ( , ) ( , )
P P Q (^) sen Q .
sen cos
cos sen^
Então
div
r F x y ( , ) sen P^ ( , ) Q^ ( , ) cos P^ ( , ) Q ( , ).
È
Î
Í
È
Î
Í
13. a ) Seja ( x, y ) (^) f x y
( ), y^ 0 onde^ f ( u ),^ u^ ^ x y , é derivável até 2.ª ordem. Temos
x f u u x y f u x y f u u x y ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 f ( ); u
2 e 2 2
y f u u y
x y f u y
x y f u x y ( ) 2 ( ) ( ) f ( ). u
2 2 3
2 4
Ê 2 ËÁ^
ˆ ¯˜^ e
Daí, de u x y
e de
2 2
2 2 0
x y
, segue (1 u^2 ) f ( u ) 2 uf’ ( u ) 0.
b ) Supondo f ( u ) 0 temos f^ u f u
u u
que é equivalente a
(ln f ( u )) (ln (1 u^2 )). Daí, [ln (1 u^2 ) f ( u )] 0
e, portanto, ln(1 u^2 ) f ( u )) k, k constante. Segue que (^) f u A u A e k ( ) ,. 1 2 Então, a
função f ( u ) A arctg u B ( A e B constantes) resolve o problema.
Exercícios 1.
1. Sejam F: A n^ m , P um ponto de acumulação de A e L m
a ) lim ( ) ( ) , x P
F x m Æ
r r 0 0 é o vetor nulo de R 0 0
tal que, X A , 0 X P fi F ( X ) r 0 ^ ^ ¤^ ^ ^ 0,^ ^ ^ 0 tal que, X A , 0 X P fi F ( x ) 0
¤ Æ
lim ( ) X P
F x 0.
b ) lim ( ) X P
F x L Æ
¤ 0, 0 tal que, X A,
0 X P fi F ( X ) L .
