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C CAAPPÍÍTTUULLOO 0077 – – CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO
CAPÍTULO 07
CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
7.1) Calcular B no centro de uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente I.
Resolução:
Os lados AB , BC , CD e DA da espira produzem campos magnéticos no mesmo sentido no
ponto O (centro da espira). Portanto, o campo magnético total no ponto O ( H (^) T) será quatro vezes
maior que aquele produzido por qualquer um dos lados da espira.
H T = 4 H AB= 4 H BC = 4 H CD= 4 H DA (01)
Cálculo de H (^) AB(campo magnético produzido no ponto O pelo lado AB da espira):
Lei de Biot-Savart:
×
2
R
4 R
I
dL a H , onde:
queindica a direcãode I.
é oelementodiferencial decomprimento
éumversor de
R
decorrentedx aocentroda espira
éovetordirigidodo elementodiferencial
R
dL
a R
R
R
^
x^.
2 2
x y
R
2 2 x y
dx
x
x
R
; R x 2
x
dL a
a a R a
R a a
a
a
a a
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Substituindo (03) em (02) , temos:
−
× − +
2
a
2
(^2) a 2 a
a
a
a
x
2
3
2
z
AB 2
3
2
x x y
AB
x
dx 2
4
I
4 x
dx x
I
a
H
a a a
H
Substituição de variáveis na integral:
2 2
2
x
d 2
dx
x 45
x 45 tg 2
x
sec
sec
2 2 a a
a
a
a a
Substituindo (05) em (04) , temos:
[ ]
[ ( )]
AB z
AB z AB z
z
45 z AB 45
45
45
AB
z
45
45
z AB
45
45 3
3
2
AB
2 I
I
I
I
d 2
I
sec
d
I
sec 2
sec d 2
8
I
H a
H a H a
H a H a
H a H a
a
a a
a a
a a
a
a
θ θ
θ θ
° =− °
°
=− °
°
=− °
°
=− °
sen sen
cos sen
Substituindo (06) em (01) , temos:
T AB T z T z
2 2 I
4 2 I
H 4 H H a H a
π a π a
Cálculo de B (^) T:
z
o o a
B H B a
2 2 I
T T T
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A inspeção da figura anterior nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos
produzem componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, H (^) 1 possui somente
componente na direção de a (^) z, reduzindo a equação (04) a:
z 2
3 z^1
2
0 2
3
1
I
d
I
H a H a
2 2
2
2 2
2
a h
a
a h
a
=
π
φ
Substituindo (05) em (01) , temos:
z 2
3
P 1 2 1 P
I
H H H 2 H H a
2 2
2
a h
a
7.3) Uma espira quadrada de lado 2 a, centrada na origem, situada no plano z = 0 e lados
paralelos aos eixos x e y, conduz uma corrente I no sentido anti-horário vista do sentido
positivo do eixo z. Determinar o campo magnético H no ponto P(0; 0; a ).
Resolução:
Os lados AB e CD da espira geram campos magnéticos componentes no ponto P nas direções
de a (^) x e a (^) z. Portanto, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados AB e CD da
espira terão a seguinte forma: (^) CD x CD z P AB x AB z^ CD P
H (^) AB = H a +H a e H =H (− a )+H a.
Nota-se, então, que as componentes HAB a x e H (^) CD (− a (^) x) se anulam. Seguindo o mesmo
raciocínio, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados BC e DA da espira terão a
seguinte forma: (^) BC y BC z P
H (^) BC = H a +H a e (^) DA y DA z P
H (^) DA = H (− a )+H a. Nota-se, então,
que as componentes H (^) BC a y e H (^) DA (− a (^) y) se anulam. Logo, o campo gerado em P pelos lados
AB , BC , CD e DA será quatro vezes maior que aquela componente no sentido de a (^) zproduzida por
qualquer um dos lados da espira.
H (^) P = 4 H ABz = 4 H BCz = 4 H CDz = 4 H DA z (01)
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Cálculo de H (^) AB:
Lei de Biot-Savart:
×
2
R
4 R
I
dL a H , onde:
queindica a direcãode I.
é oelementodiferencial decomprimento
éumversor de
R
decorrente ao ponto P
éovetordirigidodo elementodiferencial
R
dL
a R
R
dL
R
^
y^.
2 2
x y z R
2 2 x y z
dy
y 2
y
R
y ; R y 2 ;
dL a
R a a a a
R a a a
a
a a
a a a
^
Substituindo (03) em (02) , temos:
z
y 2
3 2 2
ABz
y 2
3 2 2
x z AB
2
3 2 2
y x y z AB
(y 2
dy
I
dy
(y 2
I
4 (y 2
dy y ) I
H a
a a H
a a a a H
× − − +
a
a
a
a (^) a
a
a
a
a
a a
Substituição de variáveis na integral:
2 2
2
2
1
y 2
y
dy 2 d
y
y
y 2 tg
a
a
a
a
a
sen
sec
Substituindo (05) em (04) , temos:
z
2
1
z ABz
2
1
ABz
z
2
1
z ABz
2
1
3 3
2
ABz
I
d 8
I
sec
d
I
2 sec
sec d
I
H a H a
H a H a
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
=
=
=
=
=
=
=
=
cos sen a a
a a
a a 2
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5334 [ A]
I
y I 3
y 3
8 y dy I 3
I
4 y dy 3
4 y 3
4 y x dy I 3
4 x I
I 4 x 4 y dxdy I 4 x 4 y dxdy
2
y 2
3
2
y 2
2
2
y 2
2 2
2
y 2
1
x 1
2
3
2
y 2
1
x 1
2 2
2
y 2
1
x 1
z z
2 2
=− =^ −
= − =− =−
= − =− = − =−
a a
b) VmRP = VmRQ + VmQP, onde
a
b
ab
Vm H dL (01)
Trecho P→Q:
[ ]
[ ]
[A ]
8 V
V
8 x 3
2 x V y x y dx V
V y x y x x y dx
mQP mQP
1
x 1
3
mQP
Q
P y 2
2 2 mQP
Q
P
y x
2 2 x
2 2 mQP
= −
=−
( ) a ( ) a a
Trecho Q→R:
[ ]
[ ]
[A ]
V
V 2
y V x x y dy V y
V y x y x x y dy
mRQ mRQ
2
y 2
3
mRQ
R
Q x 1
2 2 mRQ
R
Q
y y
2 2 x
2 2 mRQ
= −
=
( ) a ( ) a a
Substituindo (02) e (03) em (01) , temos:
2667 [A ]
V
V (^) mRP =− − ⇒ mRP =− = ,
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7.5) A superfície cilíndrica ρ = a = 20 mm conduz a corrente [ ] m
100 A
K (^) cil = a z , enquanto
que a superfície ρ = b = 40 mm possui a corrente solenoidal [ ] m
80 A
K (^) sol= a φ. Calcule
a intensidade do campo magnético H em:
a) ρ = 10 mm ;
b) ρ = 30 mm ;
c) ρ = 50 mm.
Resolução:
Cálculo de H para a superfície cilíndrica ( H (^) cil) ⇒ Lei Circuital de Ampère:
Para ρ < 20 mm ⇒ H (^) cil = 0 (01)
Para ρ > 20 mm ⇒ (^) cil • =I (^) enl= cil⋅ 2 ⋅ 20
H dL K π
[ ] m
A
cil cil
cil cil cil cil
φ
H K a
H K H K
Cálculo de H para o solenóide ( H (^) sol) ⇒ Lei Circuital de Ampère:
Para ρ < 40 mm ⇒ (^) sol • =I (^) enl= sol⋅L
H dL K
[ ] m
A
L L
sol sol z
sol sol sol sol
H K a
H K H K
Para ρ > 40 mm ⇒ H (^) sol = 0 (04)
a) O campo magnético gerado em ρ = 10 mm ( H (^) a) será proveniente somente do solenóide.
Portanto, a equação (03) é suficiente para defini-lo.
[ ]
[ ] m
80 A
m
80 A
a a
a sol sol z a z
H
K
H
H H a H a
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[ ]
[ ]
I A
I
A
I
I
Logo,I I 12 I I 13 I
12 R 12 R I 12 I
R
R
2
1
1 1 1
1 2 2 1 2
1
b) Lei Circuital de Ampère: Ienl
H • dL =
Cálculo de H para ρ < a :
[ ] m
A
I
I
I 2 I
1
2
enl 1 2 2 2
a a π a
H dL H H H
Cálculo de H para a < ρ < 2 a :
[ ] m
4 3 A
I
I 4 I 4
I
I
I 2 I I
2
2 2
2
enl 1 2
H ( )
H
H
H
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
a
a
a
a a
a
a
a a
a
H dL πρ
Cálculo de H para 2 a < ρ < 3 a :
[ ] m
A
I
I (^) enl 2 I 1 I 2
H dL H H
7.7) Um cabo coaxial consiste de um fio central fino conduzindo uma corrente I envolvido
por um condutor externo de espessura despresível a uma distância a conduzindo uma
corrente na direção oposta. Metade do espaço entre os condutores é preenchido por um
material magnético de permeabilidade μ e a outra metade com ar. Determinar B , H e
M em todos os pontos do condutor.
Resolução:
Cálculo de B :
Lei Circuital de Ampère para ρ < a :
I (^) enl ( (^) ar mat) Ienl
H • dL = ⇒ H + H • dL = (01)
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Mas
B B Ba φ
H H
ar mat 2
N 1
N
ar mat 2
N 1
N
B B
H H
mat mat
ar o ar
B H
B H
B H
Substituindo (02) e (03) em (01) , temos:
dL dL a
B B
I ,onde d o
enl • =
( )
φ
π
φ π
π
φ
φ
B B B a
a
B B
= =
o
o ar mat o
2
0 o o
I
I
I d I d d
B B
B B
Cálculo de H :
No ar:
( )
φ πρ μ μ
μ
μ
H a
B
H
o
ar o
ar
I
No material magnético:
( )
φ πρ μ μ
μ
μ
H a
B
H
o
o mat mat
I
Cálculo de M :
No ar:
ar ar^0 o
ar =^ − H ⇒ M =
B
M
μ
No material magnético:
( )
( )
φ
φ φ
M a
H M a a
B
M
o
o mat
o
o
o
mat mat mat
I
I I
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Cálculo de H para z < - h :
[ 10 5 5 ] 0
H = a x ×(− a z)− a x ×(− a z)− a x×(− a z) ⇒ H =
b)
5 dxdz 5 o [Wb ]
z 0
y
1
x
o y
2
S
o S^22
1
S
o S^11
S
h
h
0
φ μ φ μ
φ φ μ μ
= =
a a
B dS H dS H dS
7.9) Um fio infinito foi dobrado e colocado segundo a figura abaixo. Empregando a Lei de
Biot-Savart, calcular o campo magnético resultante H num ponto genérico P situado
sobre o eixo y. Determinar também o valor de H para o valor de y do ponto P igual a:
a) Zero;
b) d ;
c) 2
d ;
d) 2 d.
Resolução:
O campo magnético resultante em P apresenta uma parcela que é gerada pelo segmento
semi-infinito localizado em y = 0 ( H (^) 1 ), uma parcela que é gerada pelo segmento semi-infinito
localizado em y = d ( H (^) 2 ) e uma parcela que é gerada pelo segmento condutor localizado em x = 0
( H 3 ).
∴ H = H 1 + H 2 + H 3 (01)
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Cálculo de H (^) 1 :
Lei de Biot-Savart:
×
2 1
1 R 1 1 4 R
I
π
dL a H , onde:
queindica a direcãode I.
é oelementodiferencial decomprimento
éumversorde
R
decorrente ao ponto P
éovetordirigidodo elementodiferencial
1
R 1 1
1 1
1
1
dL
a R
R
dL
R
^
1 x^.
2 2
x y
1
1 R 1
2 2 1 x y 1
dx
x y
x y
R
x y ; R x y ;
dL a
R a a a
R a a
Substituindo (03) em (02) , temos:
× +
0
x
z
2
3 2 2
1
2
3 2 2
x x y 1
(x y
ydx
I
4 (x y
dx x y ) I H a
a a a H
Substituição de variáveis na integral:
θ θ
θ
θ θ
dx y d
y 0 0
x 90 x ytg
2 sec
Substituindo (05) em (04) , temos:
[ ]
1 [^ (^ )]^ z (^1) z
z
0 z (^190)
0
90
1
z
0
90
z 1
0
90
3 3
2 2
1
4 y
I
4 y
I
4 y
I
cos d 4 y
I
sec
d
4 y
I
y sec
y sec d
I
H a H a
H a H a
H a H a
θ
θ
θ θ
=− °
=− °
=− ° =− °
sen
Cálculo de H (^) 2 :
A parcela H (^) 2 apresente a mesma direção e sentido de H 1 , porém varia inversamente com a
distância (y – d ).
para (y ≠ 0)
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Cálculo de B para a espira: Lei de Biot-Savart:
×
2
R
4 R
I
dL a H (02)
onde:
queindica a direcãode I.
é oelementodiferencial decomprimento
éumversorde
R
éovetordirigidode aoponto(P)
R
dL
a R
R
R dL
^
φ^.
ρ
ρ
dL φ a
R a a a
R a a
d
R
2 ; R 5 ;
z R
z
a
a a a
Substituindo (03) em (02) , temos:
ρ
φ (^) ρ 2 d 20 5
I
d 2 ) I (^) esp z
z
esp ∫ ⇒ = ∫ − +
× − +
H a a
a a a H
a^ a
a
2
A inspeção da figura nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos produzem
componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, H (^) esp possui somente componente na
direção de a (^) z, reduzindo a equação (04) a:
z esp z
2
0
esp 10
I
d 20
I
H a H a
a 5 a 5
=
π
φ
z
o esp (^) o esp esp 10
I
B H B a a 5
μ μ
Cálculo de B para o condutor:
φ π ρ
μ B a 2
oI cond =^ , onde a^ φ ⊥^ a ρ (07)
= × ⇒ = ×
x z
x z y y
x z
x z
a a a
a a a a a a a
a a a
a a
a a a
φ
φ ρ φ
ρ
P
dL I
H esp
R
a
y
z
x
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Substituindo (08) em (07) , temos:
( (^) x z )
o cond
o x z cond 8
I
I
B a a
a a B
a a
Substituindo (06) e (09) em (01) , temos:
( ) x z
o z x P
o P
x z
o z
o P esp cond
I
I 10 8
I
I
B a a B a a
B B B a a a
5 a
a
a a
7.11) a) Demonstrar, utilizando a lei de Biot Savart, que a expressão para o cálculo de um
campo magnético H em um ponto P qualquer devido a um elemento de corrente de
tamanho finito é dada por: ( α α ) φ
H a 4
I
= sen 1 +sen 2 , onde ρ é a menor
distância do ponto P ao elemento de corrente.
b) Encontre a indução magnética B no centro de um hexágono regular de lado a,
conduzindo uma corrente I.
Resolução:
a)
Lei de Biot-Savart:
×
2
R
4 R
I
dL a H ,
onde:
que indica a direcãode I.
é oelementodiferencial decomprimento
éumversor de
R
de correntedz ao pontoP
éovetordirigidodo elementodiferencial
R
dL
a R
R
R
^
z^.
2 2
z R
2 2 z
dz
z
z
R
z ; R z ;
dL a
R a a a
R a a
ρ
ρ
Substituindo (02) em (01) , temos:
φ
ρ
H a
a a a H
( z
dz
I
4 ( z
dz z ) I
2
3 2 2 2
3 2 2
z z
× −
C CAAPPÍÍTTUULLOO 0077 – – CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO
Substituindo (04) em (01) , temos:
φ φ π π
H a H a
3 I
3 I
0 0 a a
Cálculo de B (^) 0 :
φ
B μ H B a
oI^3 (^0) o 0 0 a
