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Resolução: Steven Róger Duarte
Capítulo 6
Flexão
Diagramas de força cortante e momento fletor
Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal são denominados vigas. Em geral, vigas são barras longas e retas com área de seção transversal constante e classificadas conforme o modo como são apoiadas.
Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas desenvolvem uma força de cisalhamento interna (força cortante) e momento fletor que, em geral, variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga. Para projetar uma viga corretamente, em primeiro lugar, é necessário determinar a força de cisalhamento e o momento máximos que agem na viga. Um modo de fazer isso é expressar V e M em função de uma posição arbitrária x ao longo do eixo da viga. Então, essas funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor.
Deformação por flexão de um elemento reto
O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a um momento fletor provoca o alongamento do material na parte inferior da barra e a compressão do material na porção superior da barra. Por consequência, entre essas duas regiões deve existir uma superfície, denominada superfície neutra, na qual não ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material.
A fórmula da flexão
σmáx = tensão normal no elemento, que ocorre em um ponto na área da seção transversal mais afastada
do eixo neutro.
M = momento interno resultante, determinado pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio e calculado em torno do eixo neutro da seção transversal
I = momento de inércia da área da seção transversal calculada em torno do eixo neutro
c = distância em torno do eixo neutro a um ponto perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado
do eixo neutro, onde σmáx age.
Vigas compostas
Vigas construídas com dois ou mais materiais diferentes são denominados vigas compostas. Citamos como exemplos as de madeira com tiras de aço nas partes superior e inferior ou as mais comuns, vigas de concreto reforçadas com hastes de aço. Os engenheiros projetam essas vigas de propósito, para desenvolver um meio mais eficiente de suportar cargas aplicadas.
Vigas de concreto armado
Todas as vigas sujeitas a flexão pura devem resistir a tensões de tração e compressão. Porém, o concreto é muito suscetível a fratura quando está sob tração, portanto, por si só, não seria adequado para resistir a um momento fletor. Para contornar essa deficiência, os engenheiros colocam hastes de reforço de aço no interior das vigas de concreto no local onde o concreto está sob tração.
PROBLEMAS
6.1. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais no eixo.
Resolução
0,8RB + 24 x 0,25 = 0 RA + RB – 24 = 0
RB = 7,5 kN RA = 31,5 kN
Seção 1 ( ) Seção 1 ( )
6.3. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletror para o eixo. Os mancais em A e D exercem somente reações verticais sobre o eixo. A carga é aplicada às polias em B , C e E.
Resolução
-0,35 x 400 – 0,85 x 550 + 1,225RD – 1,525 x 175 = 0 RA + RD – 400 – 550 – 175 = 0
RD = 713,775 N RA = 411,23 N
Seção AB ( ) Seção BC ( )
Seção CD ( ) Seção DE ( )
*6.4. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.
Resolução
- 10 x 1 – 10 x 2 – 10 x 3 – 10 x 4 + 5R 2 = 0 R 1 + R 2 – 40 = 0
R 2 = 20 kN R 1 = 20 kN
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
Seção 3 ( ) Seção 4 ( ) Seção 5
6.6. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. Expresse também a força cortante e o momento no eixo em função de x dentro da região 125 mm < x < 725 mm.
Resolução
- 800 x 0,125 – 1.500 x 0,725 + 0,8RB = 0 RA + RB – 800 – 1.500 = 0
RB = 1.484,38 N RA = 2.300 N
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
Seção 3 ( )
6.7. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo e determine a força cortante e o momento em todo o eixo em função de x. Os mancais em A e B exercem somente rações verticais sobre o eixo.
Resolução
- 4 x 0,9 + 1,5RB – 2,5 x 1,95 = 0 RA + RB – 6,5 = 0
RB = 5,65 kN RA = 0,85 kN
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
Seção 3 ( )
6.9. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. Dica : A carga de 100 KN deve ser substituída por cargas equivalentes no ponto C no eixo da viga.
Resolução
Bx = 100 kN
- 75 x 1 + 100 x 0,25 + 3By = 0 RA + By - 75 = 0 Bx – 100 = 0 By = 16,67 kN
RA = 58,33 kN
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
Seção 3 ( )
6.10. O guindaste de motores é usado para suportar o motor que pesa 6 kN. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor da lança ABC quando ela está na posição horizontal mostrada.
Resolução
Ax = - 12 kN
1,2 x 0,6RB – 2,4 x 6 = 0 = 0 Ay = - 10 kN
RB = 20 kN
Seção AB ( ) Seção BC ( )
*6.12. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta interligada por um pino em B.
Resolução
30 x 1 – 40 x 2,5 + 3,5Cy = 0 Ay + Cy – 70 = 0
Cy = 20 kN Ay = 50 kN
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
Seção 3 ( )
Inserir DMF e DEC
6.13. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.
Resolução
- M 0 – M 0 + M 0 + 3aRB = 0 Ay + RB = 0
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
Seção 3 ( )
*6.16. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.
Resolução
Seção 1 ( )
MA – (10 x 2,5) x 1,25 + (10 x 2,5) x 3,75 = 0
MA = - 62,5 kN.m
Seção 2 ( )
6.17. Um homem de massa 75 kg está sentado no meio de um barco com largura uniforme e peso de 50 N/m. Determine o momento fletor máximo exercido sobre o barco. Considere que a água exerce uma carga distribuída uniforme para cima na parte inferior do barco.
Resolução
5w – 750 – 50 x 5 = 0
w = 200 N/m
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
6.19. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.
Resolução
(30 x 1,5) x 0,75 – 45 + 3FB = 0 FA + FB – 45 = 0
FA = 41,25 kN
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
Seção 3 ( )
*6.20. Determine os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a força cortante e o momento em toda a viga em função de x.
Resolução
M – (30 x 2,4) x 1,2 – 50 x 2,4 – 40 x 3,6 - 200 = 0 - 30 x 2,4 + F – 50 - 40 = 0
M = 550,4 kN.m F = 162 kN
Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
