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ME210 - Probabilidade I - 2S 2017
Docente: Marina Vachkovskaia
Solu¸c˜oes para problemas selecionados do livro
Probabilidade: Um curso moderno com aplica¸c˜oes 8.ed. de Sheldon Ross
Pl´ınio Santini Dester (p103806@dac.unicamp.br)
19 de agosto de 2017
Em caso de d´uvidas, sugest˜oes ou corre¸c˜oes (inclusive erros de digita¸c˜ao), n˜ao hesite em mandar um e-mail.
2 Problemas
2.1. Uma caixa cont´em 3 bolas de gude: 1 vermelha, 1 verde e uma azul. Considere um experimento que consiste em retirar uma bola de gude da caixa, colocar outra em seu lugar e ent˜ao retirar uma segunda bola da caixa. Descreva o espa¸co amostral. Repita considerando que a segunda bola seja retirada sem que a primeira seja substitu´ıda
Solu¸c˜ao: Para o primeiro experimento o espa¸co amostral ´e
Ω 1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)},
onde 1, 2 e 3 representam as cores vermelha, verde e azul, respectivamente. Para o segundo experimento, o espa¸co amostral ´e
Ω 2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}.
2.2. Em um experimento, um dado ´e rolado continuamente at´e que um 6 apare¸ca, momento em que o experimento ´e interrompido. Qual ´e o espa¸co amostral do experimento? Chame de En o evento em que o dado ´e rolado n vezes para que o experimento seja finalizado. Que pontos do espa¸co amostral est˜ao contidos em En? O que ´e (
n=1 En)
c?
Solu¸c˜ao: O espa¸co amostral do experimento ´e
Ω = {(i 1 , i 2 , · · · , in− 1 , 6) | ik ∈ { 1 , 2 , · · · , 5 }, k ∈ { 1 , 2 , · · · , n − 1 }, n ∈ N}.
Seja n ∈ N, o conjunto
{(i 1 , i 2 , · · · , in− 1 , 6) | ik ∈ { 1 , 2 , · · · , 5 }, k ∈ { 1 , 2 , · · · , n − 1 }} = En.
Assim, En representa n˜ao tirar 6 nas n − 1 primeiras rolagens e tirar 6 na n-´esima rolagem. O evento (
n=1 En)
c (^) representa nunca rolar um 6.
2.3. Dois dados s˜ao lan¸cados. Seja E o evento em que a soma dos dados ´e ´ımpar, F o evento em que o n´umero 1 sai em pelo menos um dos dados, e G o evento em que a soma dos dados ´e igual a 5. Descreva os eventos E F , E ∪ F , F G, E F c^ e E F G.
Solu¸c˜ao:
E F = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}, E ∪ F = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}, F G = {(1, 4), (4, 1)}, E F c^ = {(2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 5)}, E F G = F G.
2.8. Suponha que A e B sejam eventos mutuamente exclusivos para os quais P (A) = 0,3 e P (B) = 0,5. Qual ´e a probabilidade de que: (a) A ou B ocorra? (b) A ocorra, mas B n˜ao ocorra? (c) A e B ocorram?
Solu¸c˜ao: (a) Como s˜ao eventos mutuamente exclusivos, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 0,8.
(b) P (A\B) = P (A) = 0,3.
(c) P (A B) = P (∅) = 0.
(e) Temos 13 op¸c˜oes de quadra e apenas uma maneira de escolher os naipes. Resta apenas 1 op¸c˜ao de carta para escolher entre as 12 que sobraram e seu naipe. Logo, a probabilidade da quadra ´e
13 · 12 · 4 ( 52 5
2.16. Pˆoquer com dados ´e jogado com o lan¸camento simultˆaneo de 5 dados. Mostre que:
(a) P [nenhum dado de mesmo valor] = 0,0926. (b) P [um par] = 0,4630. (c) P [dois pares] = 0,2315. (d) P [trinca] = 0,1543. (e) P [uma trinca e um par] = 0,0386. (f) P [quatro dados iguais]= 0,0193. (g) P [cinco dados iguais] = 0,0008.
Solu¸c˜ao: (a) Nenhum dado de mesmo valor s´o tem uma configura¸c˜ao poss´ıvel e 6 · 5 · 4 · 3 · 2 escolhas para os valores dos dados. Logo, P [nenhum dado de mesmo valor] = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 65
(b) O n´umero de configura¸c˜oes de um par de dados de mesmo valor entre 5 dados ´e
2
e as escolhas de valores para os dados s˜ao 6 · 5 · 4 · 3. Dessa forma,
P [um par] =
(c) O n´umero de configura¸c˜oes de dois pares de dados de mesmo valor entre 5 dados ´e (^) 2!^1
2 , 2 , 1
, onde a divis˜ao por 2! vem do fato que n˜ao adianta trocar de lugar os grupos de pares, e as escolhas de valores para os dados s˜ao 6 · 5 · 4. Dessa forma, P [dois pares] =
(d) O n´umero de configura¸c˜oes de 3 dados de mesmo valor entre 5 dados ´e
3
e as escolhas de valores para os dados s˜( ao 6 · 5 · 4. Dessa forma, P [trinca] = 5 3
(e) O n´umero de configura¸c˜oes de 3 dados de mesmo valor e 2 dados de mesmo valor ´e
2
e as escolhas de valores para os dados s˜ao 6 · 5. Dessa forma,
P [uma trinca e um par] =
(f) O n´umero de configura¸c˜oes de 4 dados de mesmo valor entre 5 dados ´e
4
e as escolhas de valores para os dados s˜( ao 6·5. Dessa forma, P [quatro dados iguais] = 5 4
(g) Cinco dados de mesmo valor s´o tem uma configura¸c˜ao poss´ıvel e 6 escolhas para o valor dos dados. Assim, P [cinco dados iguais] =
2.18. Duas cartas s˜ao selecionadas aleatoriamente de um baralho comum. Qual ´e a proba- bilidade de que elas formem um vinte e um? Isto ´e, qual ´e a probabilidade de que uma das cartas seja um ´as e a outra seja ou um dez, um valete, uma dama ou um rei?
Solu¸c˜ao: Temos
2
resultados poss´ıveis, dos quais apenas nos interessa tirar um dos 4 ´as do baralho e uma das 4·4 figuras ou dez. Logo, a probabilidade que buscamos ´e dada por
2
2.19. Dois dados sim´etricos tˆem dois de seus lados pintados de vermelho, dois de preto, um de amarelo e o outro de branco. Quando esse par de dados ´e rolado, qual ´e a probabilidade de que ambos os dados saiam com uma face de mesma cor para cima?
Solu¸c˜ao: Basta somar as probabilidade de cada evento desejado, ou seja,
3
3
6
6
2.21. Uma pequena organiza¸c˜ao comunit´aria ´e formada por 20 fam´ılias, das quais 4 tˆem uma crian¸ca, 8 tˆem duas crian¸cas, 5 tˆem trˆes crian¸cas, 2 tˆem quatro crian¸cas e 1 tem 5 crian¸cas. (a) Se uma dessas fam´ılias ´e escolhida aleatoriamente, qual ´e a probabilidade de que ela tenha i crian¸cas, i = 1, 2 , 3 , 4 , 5? (b) Se uma das crian¸cas ´e escolhida aleatoriamente, qual ´e a probabilidade de que a crian¸ca venha de uma fam´ılia com i crian¸cas, i = 1, 2 , 3 , 4 , 5?
Solu¸c˜ao:
a probabilidade de A selecionar uma bola vermelha. (A tira a primeira bola, depois B,e assim por diante. N˜ao h´a devolu¸c˜ao das bolas retiradas.)
Solu¸c˜ao: A probabilidade de A selecionar uma bola vermelha ´e dada por
P (V ) + P (2P, V ) + P (4P, V ) + P (6P, V ) =
onde nP, V significa tirar n bolas pretas antes de tirar uma vermelha.
2.28. Uma urna cont´em 5 bolas vermelhas, 6 bolas azuis e 8 bolas verdes. Se um conjunto de 3 bolas ´e selecionado aleatoriamente, qual ´e a probabilidade de que cada uma das bolas seja (a) da mesma cor? (b) de cores diferentes? Repita esse problema considerando que, sempre que uma bola seja selecionada, sua cor seja anotada e ela seja recolocada na urna antes da pr´oxima sele¸c˜ao. Esse experimento ´e conhecido como amostragem com devolu¸c˜ao.
Solu¸c˜ao:
(a) Sem reposi¸c˜ao:
Com reposi¸c˜ao:
(b) Sem reposi¸c˜ao: 3!
Com reposi¸c˜ao: 3!
2.29. Uma urna cont´em n bolas brancas e m bolas pretas, onde n e m s˜ao n´umeros positivos.
(a) Se duas bolas s˜ao retiradas da urna aleatoriamente, qual ´e a probabilidade de que elas sejam da mesma cor? (b) Se uma bola ´e retirada da urna aleatoriamente e ent˜ao recolocada antes que a segunda bola seja retirada, qual ´e a probabilidade de que as bolas sacadas sejam da mesma cor? (c) Mostre que a probabilidade calculada na letra (b) ´e sempre maior do que aquela calculada na letra (a)?
Solu¸c˜ao: (a) Podemos tirar duas bolas brancas ou duas pretas e a probabilidade disso acon- tecer ´e dada por
n (n − 1) + m (m − 1) (n + m)(n + m − 1)
(b) Analogamente,
n^2 + m^2 (n + m)^2
(c) Manipulando a express˜ao n
(^2) +m 2 (n+m)^2 ≥^
n (n−1)+m (m−1) (n+m)(n+m−1) chega-se em ( (^) n m
m n
(n + m − 1) ≥
( (^) n m
m n
(n + m) − (n + m)
m
n
da qual ´e f´acil chegar em 2 ≥ 0, o que mostra a validade da primeira inequa¸c˜ao.
2.30. Os clubes de xadrez de duas escolas s˜ao formados por 8 e 9 jogadores, respectivamente. Quatro membros de cada um dos clubes s˜ao selecionados aleatoriamente para participar de uma competi¸c˜ao entre as duas escolas. Os jogadores escolhidos de um time ent˜ao formam pares com aqueles do outro time, e cada um dos pares jogam uma partida de xadrez entre si. Suponha que Rebeca e sua irm˜a Elisa perten¸cam aos clubes de xadrez, mas joguem por escolas diferentes. Qual ´e a probabilidade de que (a) Rebeca e Elisa joguem uma partida? (b) Rebeca e Elisa sejam escolhidas para representar as suas escolas mas n˜ao joguem uma contra a outra? (c) Rebeca ou Elisa sejam escolhidas para representar suas escolas?
Solu¸c˜ao: (a) A probabilidade de Rebeca ser selecionada ´e 4/8, enquanto que a probabilidade de Elisa ser selecionada ´e 4/9. Se ambos eventos aconteceram, ent˜ao a probabi- lidade de uma jogar contra a outra ´e 1/4. Logo, a probabilidade de uma jogar contra a outra ´e 484914 = 181 ≈ 0,056.
(b) (^4849)
(c) (^48)
2.32. Um grupo de indiv´ıduos contendo m meninos e g garotas ´e alinhado de forma aleat´oria; isto ´e, sup˜oe-se que cada uma das (m + g)! permuta¸c˜oes seja igualmente prov´avel. Qual ´e a probabilidade de que a pessoa na i-´esima posi¸c˜ao, 1 ≤ i ≤ m + g, seja uma garota?
(c) Calculemos a probabilidade de tirar todas vermelhas ou todas azuis ou todas verdes, ou seja, (^) ( 12 7
7
7
7
(d) Note que os eventos exatamente ’tirar 3 bolas vermelhas’ e ’tirar exatamente 3 bolas azuis’ n˜ao s˜ao disjuntos. Logo, ´e necess´ario descontar a probabilidade da intersec¸c˜ao desses eventos, isto ´e, tirar exatamente 3 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Dessa forma, a probabilidade desejada ´e dada por ( 12 3
4
3
4
3
3
1
7
2.36. Duas cartas s˜ao escolhidas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas. Qual ´e a probabilidade de (a) ambas serem ases? (b) ambas terem o mesmo valor?
Solu¸c˜ao:
(a)
2
2
(b)
2
2
2.37. Um instrutor prop˜oe para a classe um conjunto de 10 problemas com a informa¸c˜ao de que o exame final ser´a formado por uma sele¸c˜ao aleat´oria de 5 deles. Se um estudante tiver descoberto como resolver 7 dos problemas, qual ´e a probabilidade de que ele ou ela venha a-responder corretamente: (a) todos os 5 problemas? (b) pelo menos 4 dos problemas?
Solu¸c˜ao:
(a)
5
5
(b)
5
4
5
2.38. Existem n meias em uma gaveta, 3 das quais s˜ao vermelhas. Qual ´e o valor de n se a probabilidade de que duas meias vermelhas sejam retiradas aleatoriamente da gaveta ´e igual a 1/2?
Solu¸c˜ao: Existem
2
conjuntos de duas meias vermelhas dos
(n 2
conjuntos poss´ıveis. Logo, (^) ( 3 2
(n 2
⇒ (n + 3)(n − 4) = 0.
Assim, n = −3 ou n = 4. Como n˜ao podemos ter um n´umero negativo de meias, ent˜ao a resposta ´e n = 4 meias no total.
2.41. Se um dado ´e rolado 4 vezes, qual ´e a probabilidade de que o 6 saia pelo menos uma vez?
Solu¸c˜ao: A probabilidade do 6 n˜ao sair nenhuma vez ´e dada por (5/6)^4. O com- plemento desse evento ´e a probabilidade do 6 sair pelo menos uma vez, ou seja, 1 − (5/6)^4 ≈ 0,518.
2.43. (a) Se N pessoas, incluindo A e B, s˜ao dispostas aleatoriamente em linha, qual ´e a probabilidade de que A e B estejam uma ao lado da outra? (b) E se as pessoas tivessem sido dispostas aleatoriamente em c´ırculo?
Solu¸c˜ao: Seja N ≥ 3. (a) As configura¸c˜oes nas quais A e B est˜ao uma ao lado da outra s˜ao 2 · (N − 1)! do total de configura¸c˜oes poss´ıveis N !. Logo, a probabilidade desejada ´e 2/N.
(b) Numa mesa circular n˜ao tem in´ıcio, ent˜ao as configura¸c˜oes poss´ıveis se reduzem a (N − 1)!. Fixando a posi¸c˜ao do A, temos que as configura¸c˜oes desejadas s˜ao o B sentar-sea esquerda ou `a direita de A, e para o restante das pessoas, temos (N − 2)! configura¸c˜oes poss´ıveis. Portanto, a probabilidade desejada ´e
2 · (N − 2)! (N − 1)!
N − 1
que ´e maior do que 2/N.
2.44. Cinco pessoas, designadas como A, B, C, D, E, s˜ao arranjadas em uma sequˆencia linear. Supondo que cada uma das ordena¸c˜oes poss´ıveis seja igualmente prov´avel, qual ´e a probabilidade de que:
rela¸c˜ao `a distribui¸c˜ao dos aniversariantes, contamos quantas possibilidades existem quando dividimos os mesmos em 4 grupos de 2 e 4 grupos de 3, ou seja,
2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3
possibilidades. O total de possibilidades de anivers´ario ´e dada por 12^20. Portanto, a probabilidade desejada ´e dada por
1 1220
2.49. Um grupo de 6 homens e 6 mulheres ´e dividido aleatoriamente em 2 grupos de 6 pessoas cada. Qual ´e a probabilidade de que ambos os grupos possuam o mesmo n´umero de homens?
Solu¸c˜ao: A ´unica forma de terem o mesmo n´umero de homens nos dois grupos ´e se tiverem 3 homens em cada grupo. O n´umero de possibilidade de fazer isso ´e escolher os 3 homens e escolher as 3 mulheres para o primeiro grupo, ou seja,
3
possibilidades. O total de divis˜oes poss´ıveis de 12 pessoas em 2 grupos ´e
6
. Logo, a probabilidade que buscamos ´e ( 6 3
6
2.52. Um arm´ario cont´em 10 pares de sapatos. Se 8 sapatos s˜ao selecionados aleatoriamente, qual ´e a probabilidade de (a) nenhum par completo ser formado? (b) ser formado exatamente 1 par completo?
Solu¸c˜ao: (a) Para nenhum par completo, escolhemos 8 dos 10 pares dispon´( ıveis, ou seja, 10 8
e para cada par escolhido temos 2 possibilidades de sapato. O total de combina¸c˜oes poss´ıveis de serem escolhidas ´e
8
. Logo, supondo probabilidades iguais para escolha de cada sapato, temos que a probabilidade de n˜ao tirar nenhum par completo ´e 28
8
8
(b) Para formar exatamente um par completo, escolhemos um dos 10 pares para ser o par completo e 6 dos 9 pares restantes para ser os incompletos, lembrando que para cada par incompleto temos 2 possibilidades. Assim, temos que a probabilidade de exatamente um par completo ´e
10 · 26
6
8
2 Exerc´ıcios Te´oricos
2.1. Prove que E F ⊂ E ⊂ E ∪ F.
Solu¸c˜ao:
Demonstra¸c˜ao. Seja ω ∈ E F. Por defini¸c˜ao de intersec¸c˜ao, ω ∈ E e ω ∈ F. Em particular, ω ∈ E. Logo, E F ⊂ E. Seja ω′^ ∈ E. Ent˜ao, ω′^ ∈ E ou ω′^ ∈ F. Por defini¸c˜ao de uni˜ao, ω′^ ∈ E ∪ F. Logo, E ⊂ E ∪ F.
2.2. Prove que se E ⊂ F , ent˜ao F c^ ⊂ Ec.
Solu¸c˜ao:
Demonstra¸c˜ao.
E ⊂ F ⇔ ∀ω ∈ Ω, (ω ∈ E ⇒ ω ∈ F ) ⇔ ∀ω ∈ Ω, (ω /∈ F ⇒ ω /∈ E) ⇔ F c^ ⊂ Ec.
2.3. Prove que F = F E ∪ F Ec^ e E ∪ F = E ∪ Ec^ F.
Solu¸c˜ao:
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, vamos mostrar que F ⊂ F E ∪ F Ec. Seja ω ∈ F. Se ω ∈ E, ent˜ao ω ∈ F E, por outro lado, se ω /∈ E, ent˜ao ω ∈ F Ec. Logo, ω ∈ F E
2.7. Determine a express˜ao mais simples para os seguintes eventos:
(a) (E ∪ F )(E ∪ F c); (b) (E ∪ F )(Ec^ ∪ F )(E ∪ F c); (c) (E ∪ F )(F ∪ G);
Solu¸c˜ao: (a) Pela lei distributiva, (E ∪ F )(E ∪ F c) = E ∪ F F c^ = E.
(b) Do item (a), temos que (E ∪ F )(Ec^ ∪ F )(E ∪ F c) = E (Ec^ ∪ F ) = E F.
(c) Pela lei distributiva, (E ∪ F )(F ∪ G) = F ∪ E G.
2.10. Demonstre que P (E ∪ F ∪ G) = P (E) + P (F ) + P (G) − P (Ec^ F G) − P (E F c^ G) − P (E F Gc) − 2 P (EF G).
Solu¸c˜ao:
Demonstra¸c˜ao. Aplicando a Proposi¸c˜ao 4.3 sucessivas vezes, obtemos que
P (E ∪ F ∪ G) = P ((E ∪ F ) ∪ G) = P (E ∪ F ) + P (G) − P ((E ∪ F ) G) = P (E) + P (F ) + P (G) − P (E F ) − P (E G ∪ F G) = P (E) + P (F ) + P (G) − P (E F ) − P (E G) − P (F G) + P (E F G),
que ´e um caso particular da Proposi¸c˜ao 4.4. Sabemos que P (E F ) = P (E F G) + P (E F Gc), pois E F G e E F Gc^ s˜ao eventos disjuntos, cuja uni˜ao resulta em E F. Podemos fazer o mesmo para P (E G) e P (F G). Substituindo essas probabilidades na express˜ao acima completa a demonstra¸c˜ao.
2.11. Se P (E) = 0,9 e P (F ) = 0,8, mostre que P (E F ) ≥ 0,7. De forma geral,demonstre a desigualdade de Bonferroni, isto ´e, P (E F ) ≥ P (E) + P (F ) − 1.
Solu¸c˜ao:
Demonstra¸c˜ao. Da Proposi¸c˜ao 4.3 e do Axioma 1, sabemos que
P (E) + P (F ) − P (E F ) = P (E ∪ F ) ≤ 1.
Logo, P (E F ) ≥ P (E) + P (F ) − 1.
Desafio!
- Uma mesa redonda tem n assentos dispon´ıveis. Suponha que em cada assento sente- se um homem ou uma mulher com igual probabilidade. Encontre a probabilidade de nenhuma mulher sentar-se ao lado de outra mulher. Mostre que essa probabilidade tende
a 0 quando n tendea infinito.
