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Capítulo 2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO — * CARREGAMENTO AXIAL 2.1 INTRODUÇÃO No Capítulo 1 analisamos as tensões que surgem pela aplicação de carregamentos em - vários membros e conexões, de uma múquina ou estrutura. Aprendemos à projeter membros e conexões de maneira para que eles não viessem a falhar sob especificadas condições de carregamento. Outro importante aspecto da análise e projeto de estru- turas se relaciona com as deformações causadas pela aplicação das cargas a uma estruzura. É importante evitar que as deformações se torneza tão grandes a ponto de impedir que a estrutura venha à cumprir os fins aos quais estava destinada. Através da análise das deformações pode-se também determinar as tensões. Na verdade, nem sempre é possível determinar as forças nas barras de uma estrutura pela simples aplicação dos princípios da Estática, isto porque ela se baseia. na hipótese de sistemas rígidos e indeformáveis. Considerando, aa prática, as estru- turas como deformáveis, é analisando suas deformações, é possível caleular forças que são esteticamente indeterminadas, isto é, indeterminadas dentro dos recursos da análise da Estática. Também, como está indicado na Sec. 1.3, a distribuição de tensões em um dado membro é estaticamente indeterminada, mesmo quando a força que atua no merabro é conhecida; neste caso, para determinar a distribuição real das tensões dentro de um membro, torna-se necessário analisar as deformações que nela ocorrem. Neste capítulo, vamos discutir as deformações de um membro estrutural, seja ele uma barra, viga ou placa submetida a um carregamento axial. Inicialmente, vamos definir deformação específica normal num membro, como a deformação de um membro por unidade de comprimento. Plotando a tensão versus a deformação especifica normal, enquanto cresce a carga aplicada a um membro, obteremos um diagrama tensão-dejormação para o material em estudo. Deste diagra- ma, seremos capazes de determinar algumas importantes propriedades do material, tais como o módulo de elasticidade, se omuterial é diútil ou frágil (Sexs. 2.2 a 2.5). * Cop.2 Tensão « deformação - carregamento axial se Do diagrama tensão-deformação, também seremos capazes de determinar se as deformações na amostra do material irão desaparecer depois de o carregamento ter sido removido (neste caso, o material é dito ter comportamento elástico), ou se resuitará numa deformação plástica ou permanente (Sec. 2.6). Na Sec. 2.7, iremos discutir o fenômeno da fadiga, o qual faz com que os componentes estruturais ou da máquina venham a falhar depois de um grande número de carregamentos repetidos, mesmo que as tensões permaneçam numa faixa elástica. A, primeira parte do capítulo finaliza com a Sec. 2.8, que é voltada para a determinação da deformação de vários tipos de membros sob várias condições de carregamento axial. Nas Secs. 2.9 e 2.10, iremos considerar problemas estaticamente indetermina- dos, isto é, problemas cujas reações de apoio e as forças internas não podem ser determinadas apenas pela Estática. As equações de equilíbrio provenientes do diagra- ma de corpo livre do membro considerado serão complementadas por relações envolvendo deformações e obtidas da geometria do problema. Nas Secs. 2.11 a 2.15, constantes caracteristicas adicionais do material serão introduzidas. Elas incluem o coeficiente de Poisson, que relaciona a deformação específica axial e a transversal, o móduio de elasticidade de volume, que caracteriza a variação do volume de um material sob pressão hidrostática e o módulo de elastici- dede tronsverscl, que relaciona as componentes de tensão de cisalhamento com a deformação específica de cisalhamento. No texto adiante, as tensões são consideradas uniformemente distribuídas em qualquer seção transversal dade, e que também não ultrapassem a faixa elástica. Na Sec. 2.17 iremos considerar as barras chatas, e nas Secs. 2.18 e 2.19 discutiremos as tensões e deformações em membros feitos de material dútil, cujo ponto de escoamento do material é excedido. Também veremos que deformações piásticas e tensões resi- ducis resultam de tais condições de carregamento. 22 DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB CARREGAMENTO AXIAL Vamos considerar uma barra BC, de comprimento L e seção transversal de área 4, que é suspensa do ponto B (Fig. 2.14). Se aplicarmos uma carga P na extremidade C, a barra se alonga (Fig. 2.15). Marcando-se os valores da intensidade da força P e os correspondentes valores de deformação ô (letra grega delta), nós certamente obtere- mos um diagrama carga-deformação (Fig. 2.2). Todavia, este diegrama contém infor- mações úteis para o estudo da barra considerada, mas não pode ser usado diretamente para prever deformações de outras barras de mesmo material e que tenhum ouiras. dimensões. Lil] Fig.21 Fig. 22 Diagrama carga-deiormação. Nozamos que, se uma deformação é causada na barra BC pela carga P, uma --5 carga 2P é necessária para causar a mesma deformação na barra B'C”, de mesmo comprimento L é com seção transversal de área igual a 24 (Fig. 2.3). Note que, em ambos os casos, o valor da tensão é a mesma: o» P/4, Por outro lado, a carga P aplicada a uma barra 8“C”, de mesme área da seção transversal 4, mas de compri- mento 2L, provoca uma deformação de 25 nesta barra (Fig. 2.4), isto é, o dobro da deformação produzida em BC. Em ambos os casos, à razão entre a deformação é o comprimento da barra é a mesma, igual a 8/L. Esta observação nos leva à introdução do conceito de deformação especifica. Nós definimos a deformação específica normal de uma báira sob carga axial como a deformação por unidade de comprimento desta barra. Expressamos a deformação específica normal por s (letra grega epsilon), assim talo Fx (2.1) Fig.23 Fig.24 Plotando-se a tensão o» P/A é a correspondente deformação específica ==6/L em um gráfico, obteremos uma curva que caracteriza as propriedades do material e que não depende das dimensões da amostra do material usado, Esta curva é denominada dicgrama tensão-deformação e será discutida em detalhes na Sec. 2.3. Uma vez que a barra BC considerada na discussão anterior tinha uma seção transversal uniforme de área 4, a tensão normal o pode ser assumida: como sendo constante de valor P/A, ao longo da barra. Então, é apropriado definir a deformação específica como uma relação entre a deformação total 3 e o comprimento total L da barra. No caso de uma barra cuja área da seção transversal é variável, a tensão normal o=P/A varia ao longo da barra, e é necessário então definir a deformação específica em um determinado ponto Q, considerando um pequeno elemento de comprimento inicial ax (Fig. 2.5). Chamando Aô a deformação do elemento sob ação de carre- geamento, nós definimos a deformação especifica nermai no ponto Q como co AS dê, Ena dem es o Resistência dos Materiais Cup. 2 Fig.27 — Máquiná de testes Universal, (Cortesia Fig 28 de Detroit Testing Machine Co.) O diagrama vensão-deformação varia muito de material para materisl, e, para uma mesmo material, podem ocorrer resultados diferentes em vários ensaios, depen» dendo da temperatura do corpo de prova on da velocidade de crescimento da carga. Entre os diagramas tensão-deformação de vários grupos de materiais é possível, no entanto, distinguir algumas características comuns; elas nos levam a dividir os materia em duas importantes categorias, que são os materiais dúteis e os materiais eis, Os materiais dúteis, que compreendem o ago estrutural e outros metais, se caracterizam por apresentarem escoamento a temperaturas normais. O corpo de prova é submetido a carregamento crescente, 6 seu comprimento aumenta, de início, lenta- mente, sempre proporcional ao carregamênto, Desse modo, a parte inicial do diagrama tensão-deformação é uma linha reta com grande coeficiente angular (Fig. 2.9). Entre- tanto, quando é atingido um valor critico de tensão q, o corpo de prova sofre uma * Cop 2 Tensão e deformação - carregamento axial 71 longa deformação, com pouco aumento de carga aplicada. Essa deformação é causade por deslizamento rolativo de camadas do material de superfícies oblíquas, o que mostra que esse fato se dá principalmente por tensões de cisalhamento. Na Fig, 2.9 os diagramas tensão-deformação de dois materiais dúteis nos mostram que o alonga- mento do material após 9 início do escoamento pode ser até 200 vezes maior do que o alongamento ocorrido antes do escoamento se iniciar, Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do corpo começa a diminuir, devido à perda de resistência local (Pig. 2.10). Esse fenômeno é conhecido como estricção. Após ter começado a estricção, um carregamento mais baixo é suficiente para manter o corpo de prova se deformando, até que sua ruptura se dê (Fig. 2.105). Podemos ver que à ruptura se dá segundo uma superfície em forma de cone, que forma um ângulo aproximado de 45º com à superfície inícial do corpo de prova. Isso mostra que a ruptura dos materiais dúcteis ocorre sob tensão de eisalha- mento, e confirma o fato de que, com carga axial, as maiores tensões de cisalhamento ocorrem em planos que formam 45º com a direção da carga (conforme Sec. 1.6). A tensão q; correspondente ao início do escoamento é chamada tensão de escoumento do material; a tensão 0, correspondente à máxima carga aplicada ao material é conhecida como tensão última, e a tensão Oy correspondente ao ponto de ruptura é chamada tensão de ruptura. E 02 085 * 0002 (2) Ago-com baixo teor de carbono fe) Liga ce alumírio Fig 29 — Diagrama tensão-deformação de dois materiais dúteis. z2 Resistência dos Materiais Cap. 3 Fig. 210 - Materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e pedra, são caracterizados por uma ruptura que ocorre sem nenhuma mudança sensível no roodo de deformação do material (Fig. 2.11). Então, para 08 materiais frágeis não existe diferença entre tensão última e tensão de ruphura. Além disso, a deformação até a ruptura é muito menor nos materiais frágeis do que nos mareriais dúteis. A Fig. 2.12 mostra que não acontece a estrinção em materiais frágeis, e que a ruptura se dá em uma superfície perpendi- culer ao carregamento, Pode-se concluir daí que a ruptura dos materiais Yágeis se deve principalmente a tensões normais! 2 Oy testes da tração reforidos nesta Seção são eferuados com 06 materiais à tomeperatura ambiente. Entretanto. um materinl que é dútil à temperatura ambiente pode apresentar características de marorial frágil a temperaturas muivo baixhs, enquanto um manterin! frágil pode apresentar-se como maverial dútil u altas temperaturas. Para temperaturas diferentes do ambiente, devemos, então, nos referir a que material em estado chitil om um material em estado frágil, ao invês de dizeraos materiais diteis ou frágeis. * Cap.2 Tensão o deformação - carregamento axiul 2 Fig 2H Co Figziz Os diagramas tensão-deformação da Fig. 2.9 mostram que o aço estrutural e o alumínio, ambos materiais dúteis, apresentam diferenças de comportamento no escoamento. Para o aço estrutural (Fig. 2.90), as tensões permanecem constantes para uma grande variação das deformações, após o início do escoamento. Depois o valor da tensão deve crescer para que o material continue a alongar, até atingir o valor Gy. Isto se dá devido a uma propriedade do material conhecida como recuperação. A tensão de escoamento do aço estrutural é obtida por observação, durante o teste de tração, dos valores da carga. Após um periodo de crescimento constante, observa-se que a carga cai subitamente para um valor ligeiramente menor, que se torna invariável durante a ocorrência do escoamento. Quando o teste é realizado cuidadosamente, é possível distinguir entre o valor superior de escocmento, correspondente à força que atua imediatamente antes do escoamento, e o valor inferior de escoamento, correspondente à força necessária para manter o escossaento. Como o valor superior é momentâneo, adota-se o valor inferior para a determinação da tensão de escoamento do material. No caso do aluminio (Fig. 2.9) e de muitos outros materiais dúcteis, o início do escoamento não é caracterizado pelo trecho horizontal do diagrama (trecho este conhecido como patamar de escoamento); ao invés disso, as tensões continuam aumen- tando - embora não mais de maneira linsar — até que a tensão última é alcançada. Começa então a estrieção que pode levar à ruptura. Para esses raateriais se define um. valor convencional para a tensão 0,. A tensão convencional de escoamento é obtida tomando-se no eixo das abscissas a deformação específica z = 0,2% (ou 5 = 0,009), e por esse ponto traçarido-se uma reta paralela ao trecho linear inicial do diagrama (Fig. 2.13) A tensão q, corresponde ao ponto de interseção dessa reta com o diagrama; é definida como tensão convencional a 0,2%. Ea Resistência dos Materiais Cop 2 4 Puptura & Fig.2.14 Tensões verdadeiras e deformações específicas para um material dúctil. 25 LE DE HOOKE; MÓDULO DE ELASTICIDADE As estruturas correntes são projetadas de modo a sofrerem apenas pequenas defor- mações, que não ultrapassem os valores do diagrama tensão-deformação corres- pondentes 40 trecho reto do diagrama. Na parte inicial do diagrama. a tensão o é diretamente proporcional à deformação especifica e e podemos escrever qreiÃss (24) Essa relação é conhecida como Lei de Hooke, c se deve ao matemático inglês Robert Hoolke (1685-1703). O coeficiente E é chamado módulo de elasticidade do material, ou módulo de Young (cientista inglés, 1773-1829). Como à deformação específica é uma grandeza adimensional, o módulo E é expresso na mesma unidade de o, pascal ou seus múiltáplos no Sistema Internacional, e psi ou Ksi no Sistema Inglês de unidades. Ao maior valor da tensão o para o qual a Lei de Hooke é válida se denomina limite de proporcionalidade do material. Quando o material é dútil e possuí o início do escoamento em um ponto bem definido do diagrama (Fig. 2.90), o limite de proporeionalidade coincide com a ponto de escoamento. Para outros materiais, o limite de proporcionalidade não se define tão facilmente, pois é dificil precisar em que ponto as tensões deixam de ser proporcionais às deforraações. Nesses casos, entretanto, o fato de usarmos a Lei de Hooke para valores de tensão ligeiramente acima do limite de proporcionslidade real não vai levar à erros significativos. Algumas propriedades fisicas dos materiais estruturais, como resistência, dutibilidade, resistência à corrosão ete., podem. ser modifitadas por tratamento tér- mico, presença de ligas metálicas ou pelo próprio processo usado na sua manufatura. Podemos notar, por exemplo, no diagrama tensão-deformação do ferro puro e de outros vrês tipos de aço (Fig. 2.15) que existem várias diferenças das tensões de escoamento, Cop.2 Tensão e deformação - carregemento axiol 7 tensões últimas e dos valores finais de deformação específica (dutibilidade) para esses metais. Todas eles, entretanto, têm o mesmo módulo de elasticidade; em outras palavras, sua “rigides” ou capacidade de resistir à deformações é a mesma, dentro da região linear do diagrama. Assim, se em uma estrutura se substitui um aço de alta resistência por outro de menor resistência, e todas as dimensões des peças são «aantidas, à estrutura ficará sobrecarregada, mas sua rigidez permanece a mesma. Fig. 215 2.6 COMPORTAMENTO ELÁSTICO E COMPORTAMENTO PLÁSTICO DOS MATERIAIS Um material tem comportamento elástico quando as deformações causadas por um certo carregamento desaparecem com a retirada do carregamento. Chama-se limite de elasticidade ão material ao maior valor de tensão para o qual o material ainda apresenta comportamento elástico. Se o material tem o início de escoamento bem definido (Fig. 2.94), então o limite de elasticidade e q limite de proporcionalidade coincidem com a tensão de escoamento. Assim, o material se comporta como elástico enquanto as tensões se mantêm abaixo do valor do escoamento. Se o material atingir o escoamento e se deformar, como descreve a Sec. 283, quando e carga é retirada as tensões e deformações decrescem de maneira linear, ao longo de uma tinha reta CD paralela à reta AB da curva de carregamento (Fig. 2.16). O fato de c não voltar ao ponto zero indica que o material sofreu uma deformação permanente ou plástica. Para à maior parte dos materiais, a deformação plástica atingida 78 Resistência dos Materiais Cop. 2 não depende apenas da márima tensão a que o material Sca sujeito, mos depende também do tempo decorrido até a retirada do carregamento. A parcela da deformação plástica que depende da tensão é chamada deformação lente: do material, e a parcela que depende do tempo de carregamento — e da temperatura — é chamada fluência, e Fig. 2.16 Quando o material não possui início de escoamento bem definido, não se consegue determinar o limite de elasticidade com precisão. Podemos então adotar para esse limite a tensão convencional de escoamento (Sec. 2.3), sem erros apreciáveis. > Pôdemos verificar na Fig. 2.13 que a linha reta usada para determinar o ponto da tensão de escoamento convencional representa a curva de descarregamento do mate- rial, depois que a tensão q, é atingida. O material não se comporta como perfeitamente alástico, e a deformação plástica resultante será tão pequena quanto a deformação específica adotada para determinação da tensão convencional. Se, após ter sido carregado e descarregado, o corpo de prova é carregado * novamente (Fig. 2.17), a nova curva de carregamento praticamente coincidirá com aquela obtida do descarregamento, até pouco antes de atingir o ponto C. Ocarre sí um desvio da nova curva para a direita, até encontrar o dingrama tensão-deformação original. A parte reta do novo diagrama de carregamento é mais longa que a do diagrama inicial. Assim, os limites de elasticidade e proporcionalidade tiveram seus valores aumentados, em virtude da recuperação de resistência que ocorreu durante o carregamento incial. De qualquer forma, a deformação especifica de ruptura perma- nece à mesma, e a dutibilidade do material, que agora é medide no ponto D, diminui. Fig. 217 . Cop.2 Tensão e deformação - carregamento axial 79 Na discussão acima, o corpo de prova foi carregado duas vezes no mesmo sentido, com carregamentos de tração. Vamos agora considerar o caso em que o segundo carregamento é aplicado em sentido contrário ao primeiro. Vamos considerar que o material é o aço doce, que tem tensão de escoamento de mesmo valor para a tração e compressão. Inicialmente, aplica-se carga de tração até que o ponto O do diagrama seja atingido (Fig. 2.18). Após o descarregamento (ponto D), aplica-se uma carga de compressão, levando o material a atingir o ponto H, onde a tensão é igual a 9, A porção DH da curva tensão-deformação é curvada e não está bem definido o ponto de escoamento. Isto é dito como efeito Bauschinger. Como a carga de compressão é mantida, o material escoa ao longo da linha HJ. Fig. 218 Se o carregamento é removido quando é atingido o ponto J, a tensão retorna a zero através da linha JK, e notamos que à declividade de JK é igual ao módulo de elasticidade E. A deformação resultante AK pode ser positiva, negativa ou nula, dependendo apenas do trecho percorrido ao longo das linhas BC e HJ. Se a carga de tração é novamente aplicada ao corpo de prove, a porção do diagrama tensão-defor- mação começando no ponto K (linha tracejada) irá se curvar para a direita até atingir « tensão de escoamento q. Se o carregamento inicial é suficiente para levar o material a máxima defor- mação plástica (ponto C". o descarregamento se dará segundo a linha C'D”. Então, aplica-se o carregamento contrário, a tensão torna-se compressiva e atinge o máximo valor em H”, onde tem início o escoamento do material e, mantendo-se ao longo da linha H'J”. Notamos que o máximo valor desta tensão de compressão é menor que t,. mas a variação total das tensões entre C” e Kº, continua igual a 29,. Se o ponto K ou K” coincide com a origem A do diagrama, a deformação permanente é nula, é o material aparentemente retornou às suas condições iniciais. Entretanto, mudanças internas no material irão ocorrer; se a sequência de carre- gamento e descarregamento é repetida algumas vezes, o material irá se romper sem s Resistência dos Moteriais Cop. 2 * Cop.2 Tensão e deformação - carregamento axial E Vimos na Sec. 2.2 que, no caso de barras com seção transversal variável (Fig. 2.5), a deformação específica s depende da posição do ponto Q), onde ela é definida e calculada como € = dô/dz. Retirando dessa expressão o valor dô e levando à Fórmula 2.5, podemos exprimir a deformação do elemento de comprimento dz como: . Pdx dê = c de = A deformação total da berra, à, é obtida por integração estendida ao compri- mento L. * Per Fig. 220 ê f AR” (2.9) q = Es (24) K . AFórmula 2.9 deve ser usada no lugar da Fórmula 2.7 quando a área da seção segue-se então que transversal varia como função de x e também quando a forma interna P depende de x, como é o caso da barra sujeita ao próprio peso. s.P =. so DZa do (25 e * dE EXEMPLO 2.1 Na Sec. 2.2 foi definida a deformação específica normal £ = /L, portanto Determine a deformação de barra de aço da figura sob a ação das cargas indicadas (E = 200 GPa). ô=eL (2.8) e, substituindo (2.5) em (2.6) temas: AGO? As2om? quis o - Pe 4 AZ ET 5 fe en EE og 00 am 400 om [ A Equação 2.7 só pode ser usada se a barra for homogênea (módulo de 8 o 2 elasticidade E constante), tiver seção transversal uniforme de área constante A é à bre; SR 1] carga for aplicada nas extremidades da barra. Se as forças forem aplicadas em outros É So ki sobra É pontos, ou se a barra consiste de várias partes com diferentes seções transversais ou : compostas de diferentes materiais, devemos dividi-la em segmentos que, indi- Tim viduelmente satisfaçam as condições de aplicação da Fórmula 2.7. Chamando de ineo > Le, A; é E;, respectivamente, à força, ao comprimento, à área e ao módulo de elasr o SS ' dade correspondentes ao elemento i, vamos expressar a deformação total da barra 200 como: 5 e 5 » [ad Soh S00kN (2.8) Fig. ex.221 Ea Resistência dos Materiais Cup. 2 Dividimos a barra nos três segmentos indicados na Fig. 2.21b é escrevemos: E; = Ly = 0,800m L, = 0,400m A = Ap = 600% 10-8m? Ag = 200 x 10-5mê Para determinar as forças internas ?,, 2, e Py, precisamos passar seções transversais pelas trés partes da peça, e desenhar o diagrama de corpo livre da parte da barra que-fica à direita de cada seção (Fig. 2.210). Estudando o equilíbrio de cada uma das partes, obtemos: P, = 400KN - 409 x 108N Pp » -100kN = - 100 x 108N Pg = 200kN - 200 x 108N Levamos os valores obtidos à Equação 2.8 e caleulamos: 1 | (400 x 105/0,300) * 200 = 10 600 x 10-6 + (-100 x 109(0.300) ' 200 x 108%0,400) 800 x 10-€ 200 x 10-6 ô = 2,75 x 10-:m = 2,75mm A barra BC da Fig. 2.20, que foi usada para deduzir a Fórmula 2.7, e a barra AD da Fig. 2.21, que foi estudada no Exemplo 2.1, possuíam ambas uma extremidade fixada em suportes indesiocáveis. Nos dois casos, então, a deformação 6 da barra foi igual ao deslocamento de sua extremidade. Quando es duas pontas de uma barra são livres, a deformação da barra é medida pelo desiocamento relativo de suas extremida- des. Torsando como exemplo a estrumura de Fig. 2.22, que consiste de três barras elásticas de comprimento L ligadas em A por um pino rígido, Quando a força P é aplicada em B, as três barras se deformam (Fig. 2.225). A deformação das barras 4C & AC! é medida pelo deslocamento do ponto À, 54, pois essas barras são fixas nos suportes Ce C”. Por outro lado, a barra AB tem extremidades livres e sua deformação é medida pela diferença de deslocamentos 3, é ôg dos pontos À e B, isto é, pelo deslocamento reiativo de 3 em relação a à. Chamando esse deslocamento relativo de 35/4, escrevemos us - dera = dp — SA = E 10) k Cap. Tensão e deformação - carregomento axial EZ sendo 4 e E, respectivamente, a área da seção transversal e o módulo de elasticidade dabarra dB. Fig. 2.22 PROBLEMA RESOLVIDO 2.1 A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes AB e CD. A baste AB é de akumínio (E = 70 GPa) com área da seção wansversal de 500 mun; a haste CD é de ago (E = 200 GPa) com área da seção vransversal de 600 mmê. Para a força de 30 EN determine: ) desloca- mento de B; b) deslocamento de D; c) deslocamento de E. ag Resistência cos Moteriais Cop. 3 Deformações dos parafusos CD e GEL Apertando as o sos CD e GH « porcas, estas pro- duzem ixação mos parafusos. Devido a simetria, ambos estão sujeitos a mesma força interna P, e sofrem a mesma deformação 5, Temos, > usb Pp (0,460) L, E; 15 a A,E, * “iax O DMOPEDO x 105 * + 82 x 1022, Barra EF. A barra está comprimida, Denotando por P, a intensidade da força na barra e por à a deformação da barra, escrevemos: dom Polo O Bo(0:300) «os me Ao O Tan (ODSSPAO x 105 À 7 978 x 100 P; Deslocamento relativo entreD e B. Apertando-se ambas as port o a cas deu: quarto de Tolta, estas produzem, nas extremidades D e H, um desiscdaaato de 14 (2,5 mm) relativo ao suporte B, Considerando a extremidade D, escrevemos: E ies * 103) « 8,25 x 104m Mas 8, a 8» - às, onde ôp 6 dy representam os deslocamentos de D e E, respectiva. mente. Se assumirmos que o suporte À tem uma posição fixa em e z quanto ss porcas D e E estão sendo apertadas, esses deslocamentos são iguais às deformações dos parafusos e da barra. Temos então, dns = do — 3 Subsiituindo (1). (2) = (3) era (4), obtemos: 825 x 104 7,82 x 109P, + 8,78 x 109 P, Diagrama de Corpo Livre: Suporte B AEP = q: Pp -2P, = 0 DP; mn 2P, Forças nos parafusos e na bares Substituindo por P, de (6) exa (5), vem: + Cop. 2 Tensão deformação - carregamento cxioi s 8,25 x 10% = 7,32 x 109, + 3,78 x 109 (2P;) Pp = 42kN “ Ph = B4KN o] Tensão na barra PB 84x 108 , = 7" Lobos % = TAMPa « PROBLEMAS 2.1 Uma haste de poliestireno, de comprimento 300 mm e diâmetro 25,4mm, é submetida a uma carga de tração de 3560 N. Sabendo-se que E = 3,1 GPa, determinar: (a) o alongamento da aaste; (b) a tensão normal na haste. 22 Um arame de aço de 60m de comprimento não deve alongar.se mais do que 48 mm, quando é aplicada uma tração de 6 kN. Sendo E = 200 GPa, determinar: (a) o menor diâmetro que pode ser especificado para o arame; (5) o correspondente valor da tensão normal. 2.3 Um arame de 80 m de comprimento e diâmetro de 5 mm é feito de um aço com E = 200 GPa e tensão última de 400 MPa Se um coeficiente de segurança de 3,2 é desejado, qual é: (a) a maior tração admissível no arame; (b) o correspondente alongamento do arame? 2 24 Um fio de nylon está sujeito a uma tração de 9,0N. Sabendo-se que E = 3,45 GPa e que a máxima tensão normal admissível é de 40 MPa, determinar: (a) o diâmetro necessário para o fio; (b) o correspondente acréscimo percentual do comprimento do fio. 2.5 Uma haste de controle feita de latão-amarelo deve alongar-se de 3,2 mm, quando sujeito a uma carga de 4000 N. Sabendo-se que E = 105 GPa e que a máxima tensão normal admissível é de 415 MPa, determinar: la) o menor diâmetro que pode ser especificado para a haste; (b) o correspondente comprimento necessário da haste. 25 Num arame de alumínio de 4 mm de diâmetro, é observado um alongamento de 25xam, quando a tração no arame é de 400 N. Sabendo-se que £ = 70 GPa e, que à tensão última para o aluminio é de 110 MPa, determinar: (a) o comprimento do arame; (d) o coeficiente de segurança. 8) [65] (5) 2.7 Uma barra de alumínio de 1,5m de comprimento não poderá alongar-se mais do que 1 mm e à tensão normal não exceder a 40 MPa, quando estiver sujeita a uma carga axial de $ EN. Sabendo-se que E = TO GPa, determinar o diâmetro necessário ds. barra. (8 80 Resistência dos Moteriais Cop? 28 Um fio de nylon está sujeito a uma tração de 10N. Sabendo-se E = 8,45 GPo, que a máxima tensão normal admissível é de AO MPa e que o compris gremio do fo não poderá aumentar mais do que 1%, determinar o diâmetro necanii o fig. 29 Duas barros cilíndricas maciças são ligadas em 3 o care; b gadas como mostrado. diparra AB é do ago (E = 200 GPa) e à barra BC é de letão (E » 05 GP) Dersenado. (a) a deformação totel Ga barra composta BO; (8) a deflexão do porta 5” i Fig, P2,9 2.10 Duasbarras cilíndricas maciças são ligadas em Be g carregadas como mostrado. Abarra AB é de ago (E — 200 GPa) e à barra BO é de latão (E = 105 GPs), Determinar: ta) a deformação total da barra composta ABC; (b) a deflexão do ponto B. Fig. PZ1O * Cap.2 Tensão e deformação - corregantento axial 9 211 Para a barra composta do Prob. 2.10, determinar: (a) a carga P, para que à deformação total da barra seja -0,2 mm: (b) & correspondente deflexão do ponto B. 2.12 Para a berra composta do Prob. 2.9, determinar: (a) 2 carga, para a qual a deformação total da barra resulta nula; () a correspondente deflexão do ponto E. 21% Duas barras cilíndricas maciças AC e CD, ambas de mesma liga de alumínio (E = 70 GPa), são soldadas juntas em C e submetidas ao carregamento indicado. Determinar: (x) a deformação total da barra composta ACD); (6) a deflexão do ponto C. S0mm de diâmetro 45 mm de diâmetro oh SOON GSkN / dies so E A D A B| CLESuN 00 mm 200mm 350 mm Fig. Pe 13 2.14 Uma amostra para ensaio de 5 mm de espessura deve ser cortada de uma placa de vinil (E - 3,10 GPs) e submetida a uma carga de tração de 1,5 kN, Determinar: (a) a deformação total da amostra; (5) a deformação da mesme, na porção central. A D Pa Isin A Pai5kN E ia Li Eseostessoaaoaça) Fig. para 215 Uma barra maciça de latão de 150 ma de comprimento e 10 mm de diâmetro se ajusta perfeitamente, dentro de um tubo de mesmo comprimento, com 15 am de diâmetro externo e 10 mm de diâmetro interno. Uma porção de 50 mm da barra está colada ao tubo e sobre esta é aplicada uma carga de 27 EN, como mostrado. Sabendo-se que E = 105 mm, determinar: (a) a deflexão do ponto 4; (b) o máximo valor da tensão normal nesse conjunto. 94 Resistência dos Moterício Cop. 2 Fig. P2.23 224 Os membros AB e BE de treliça mostrada são de barras de aço (E = 200 GPaj com 25 ram de diâmetro. Para o carregamento mostrado, determinar o alongamento da (0) barra AB; (b) barra BE. po kN Ê e — agm e en E Lsameletama Fig. Pe 24 225 Cada ume das quatro hastes de ligação verticais, conectadas às duas vigas horizontais, são de alumínio (E = '70 GPa) e tem uma seção transversal retangular de 10x 40 mm Para a carregamento mostrado, determinar a deflexão na: (a) ponto E; (b) ponto F; (c) ponto G. . « Cop.2 Tensão e deformação - carregamento axial 9 Fig. P2.25 2.26 Cadaume das hastes de ligação AB e CD, são de aço (E - 200 GPa) e tem seção transversal uniforme de 6,4x25,4mm. Determinar a maior carga que pode ser aplicada ao ponto E, sendo que a deflexão nesse ponto não pode exceder a 0,25 mm. A Liso ma 380 mm — Fig. P225 2.27 Um cabo homogêneo de comprimento L e seção transversal uniforme é preso por-uma de suas extremidades. (a) Expressando por p a densidade (massa por volume) do cabo e por E o módulo de elasticidade, determinar o alongamento do cabo, devido ao seu próprio peso; (5) Mostre que o mesmo alongamento poderá ser obtido se o cabo fosse horizontal e se uma força igual à metade do seu peso fosse aplicada na extremi- dade do cabo. 228 Determinar a deflexão do cume 4 de um parabolóide de revolução homogê- neo, de altura A, densidade p e módulo de elasticidade E, devido ao seu próprio peso. 98 Resistência dos Moteriais Cop. 2 j * Fig. pa.28 229 Determine a deflexão do cume A de um cone circular homogêneo, de altura h, densidade p e módulo de elasticidade E, devido ao seu próprio peso. Fig. P2.29 2.30 Uma carga vertical P é aplicada no centro À da seção superior de um tronco de um cone bomogéneo, de altura A, raio mínimo a e raio máximo b. (a) Expressando por E o módulo de elasticidade do material « desprezando o efeito de seu peso, determine & deflexão do ponto 4: (5) Mostre que o mesmo resultado pode ser obtido, se a carga: P fosse aplicada no centro A da seção superior de um cilindro homogêneo de altura À e seção transversal elíptica, com semi-cixo menor a e semi-eixo maior b. * Cop.2 Tensão e deformação - carregamento cxial EA 231 O volume de uma amosira tracionada é essencialmente constante, enquanto a deformação plástica ocorre. Se o diâmetro inicial da amostra é d., mostre que quando o diâmetro é d, a deformação exata é s, m 2 In (d,/d). 2.82 Expressando por c a “deformação técnica” em uma amostra tracionada, mostre que a determinação exata é 6, = ln (1 46). 29 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS Nos problemas estudados na seção precedente, pudemos sempre utilizar os diagramas de corpo livre é as equações de equilíbrio na determinação das forças internas produzidas nas várias partes da estrutura por carregamentos conhecidos. Ao obtermos esses valores, pudemos, então, usando as Equações 2.8 e 2.9, calcular à deformação à de qualquer barra. Exa muitos problemas, no entanto, as forças internas não podem ser determi- nadas apenas com os recarsos da estática. Na maior parte desses problemas, as próprias reações, que são forças externas, não podem ser determinadas simplesmente desenhando o diagrama de corpo livre da peça e estudando suas equações de equilíbrio. Essas equações de equilíbrio devem ser complementadas por outras relações envol- vendo deformações, que podem ser obtidas considerando as condições geométricas do problema. Tais problemas são ditos estaticamente indeterminados, pois à estática não é suficiente para determinar as reações e esforços internos. Os próximos exemplos mostram como conduzir à solução desses problemas. EXEMPLO 2.2 Uma barra de comprimento L e área da seção transversal Ay, com módulo de elastici- dade E4, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento L, mas de área de seção transversal 4, e módulo de elasticidade E, Qual é a deformação da barra e do tubo, quando uma força P é aplicada por meio de uma placa rígida? Chamando de P, é Ps, respectivamente, as forças axiais na barra e no tubo, desenhamos os diagramas de corpo livre dos três elementos (Fig. 2.230, e, à). O terceiro diagrama nos dá uma informação de utilidade: P+PeP em “Ocorre, no entanto, que uma equação não é suficiente para a determinação das duas incógnitas, as forças P, e P, (esforços internos). O problema é estaticamente indeterminado. Entretanto, a geometria do problema nos mostra que as deformações à, e &y: da barra e do tubo devem ser iguais. Da Equação 2.7 podemos escrever: 100 Resistência dos Meicrinis Cap. 2 Resolvendo simultaneamente (2.14) e (2.16) obtemos para as reações: Ra e Plyl e Rg = Pl Podemos agora calcular as tensões nas partes AC e BC dividindo P, = R4 é Py = Rg, respectivamente, pela área da seção transversal da barra. Método da superposição. Uma estrutura é estaticamente indeterminada toda vez que “estiver ligada a mais suportes do quê 6 necessário para manter o seu equilíbrio. O número de reações a calcular é meior que o número de possíveis equações de equilíbrio. É comum chamar um dos suportes da estrutura de superabundante e eliminá-lo para proceder à resolução do problema. Não é possível modificar as condi- ções iniciais do problema de modo arbitrário, então a reação proporcionada pela ligação superabundante deve ser mantida na resolução. Essa reação superabundante será tratada como uma força desconhecida, que, juntamente cam as demais forças aplicadas, dove levar à estrurura valores de deformações compatíveis com as ligações originais. A solução do problema é conduzida considerando-se separadamente as defor- mações causadas pelas cargas aplicadas e aquelas provenientes da ação da reação superabundante. Essas deformações, ao final da resolução, são somadas — ou super- postas — para a obtenção do resultado final?. EXEMPLO 2.4 Abarra de aço da figura 2.26 é presa a dois apoios fixos 4 e B. Determinar as reações desses apoios quando se aplica o carregamento indicado. A a 250 mm” NA 150mm mail 150 mm A = 400 mm mor 150 Fig.ex.2.26 2 Na Sec 2.12-discutece a utilização desto método para o casa de efeito combinado de vários carre- gsmentos. Cop.2 Tensão e deformeção - carregamento axial 10z Vamos considerar a reação em B como superabundante e retirar o apoio B deixando a barra livre nessa extremidade. A reação Ry será considerada como uma força desconhecida (Fig. 2.274), cujo valor será determinado pelas considerações de deformação à da barra igual É zero. A resolução do problema é levada a efeito, estudando-se separadamente a deformação dp devida à reação Rp (Fig. 2.270). Fig. ex2z7 A barra é dividida em quatro partes (Fig. 2.28), e a Equação 2.8 fornece a deformação dp. Seguindo o mesmo procedimento do Ex. 2.1, pode-se escrever P.=0 0 PrmP;o 60X 10N P,-900x 108N Ay = Ao = 400 x 10-5 Ag = Aq e 250 x 10-6m? L, = Ly » Ly = L, - 9,150m 2.29) e escreve-se: ARE T TT Besistêncio: dos Materinis Cop. 2 Cap. 2 Tensão e dejirmação - carregamento axial +03 Substituindo esses valores na Equação 2.8, tem-se Levando os valores dr e %p obtidos em (2.17) e (2.18) na Equação 2.19 escreve-se: ses Es» (0+ 800 x 102N ' 4 AB 400 x 10 m? 5 - LiZbx 10º (1,95 x 10)Ry = RE tis E =0 +00 x LN 900 x 102N '9.150m 250 x 106m? * 950 x 10-5n? | E =. 125 x 10º Dessa última expressão calcula-se o valor de £, p team Rg a 577 x 108N = S7TEN P. cerminaçã i ii ara a det ção de dp devido a Re, divide-se à barra em duas partes () A reação R, no apoio superior é chtida do diagrama de corpo livre da barra (Fig. 2.30). Tem-se então: Pre Po= Rg EF,» 0: Rs - 300kN - 600KN + Rj = Q dim 400 x 108m? 4, = 260 x 10-6m? Rs » 900kN — Rg » 900kN - 577kN = 323kN Ly = L; = 0,300m ii Jrom Ai soomm c 1 | | Leno , 300 mm 8 Mi a Ro Fig. 0x2.30 Fig. ox2.29 Uma vez determinadas as reações, os valores de tensões é deformações específicas são calenlados facilmente. Convém lembrar que a deformação total da Darra é zero, mas que as várias partes componentes da barra sofrem deformações sob O efeito dos carregamentos é das restrições dos apoios, Substituindo esses valores na Equação 2.8 obtém-se: do o Pla Polo (195 x 10)Rs dr = LE*4ES Cr (218) EXEMPLO 2.5 Como a deformaçã 2 à deformação total da barra deve ser zero, Calenlar as reações em A e B, na barra do Ex. 2.4, supondo que existe uma distância de 4,5 mm entre a barra e o apoio B, quando o carregamento é apiicado. Adotar ô-ip+ôemo (2.19) E = 200 GPa (Rig. 2.30). 
