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£ nl EO VV Y vYv yYy Resistência dos Materiais Quinta edição Mais de 600 problemas resolvidos = Explanações concisas de todos os conceitos = Inclui sistemas de forças estaticamente determinadas e indeterminadas, torção, vigas em balanço, vigas estaticamente determinadas e indeterminadas [A AJUDA PERFEITA PARA SEUSESTUDOS! | William Nash e Merle C. Potter William A. Nash, Ph.D. Merle C. Potter, Ph.D. Ex-Professor de Engenharia Civil da Professor Emérito de Engenharia Mecânica da University of Massachuselts Michigan State University Resistência dos Materiais Quinta edição Tradução Walter Libardi Doutor em Engenharia Civil pela Universidade de São Paulo Pós-Doutor pela Northw University/USA Professor associado do De] haria de Mai Revisão técnica se Benaque Rubert Jos lo Center For Numerical Meth 1 da UFSCAR Doutor em Programa Sanduiche pela Universitá Politéeni Professor adjunto e coordenador do curso de enharia Mec: Versão impressa desta edição: 2014 Obra originalmente publicada sob o título Schawni's Outline of Strength of Materials, Sth Edition ISBN 0071635084 / 978007 1635080 Original edition copyright 22011, The McGraw-Hill Companies, Inc., New York, NY 10020. All rights reserved. Portuguese language translation copyright (O 2014, Bookman Companhia Editora Ltda., a Grupo A Educação company. All rights reserved. Gerente editorial: Arysinha Jacques Affonso Colaboraram nesta edição: Coordenadora editorial: Denise Weber Nowaczyk Capa: VS Digital (arte sobre capa original) Preparação de originais: Cristhian Marhens Herrera Editoração: Techhooks Reservados todos os direitos de publicação, em lingua portuguesa, à BOOKMAN EDITORA LTDA.,, uma empresa do GRUPO A EDUCAÇÃO S. A. Av, Jerônimo de Ornelas, 670 — Santana 90040-340 — Porto Alegre - R$ Fone: (51) 3027-7000. Fax: (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste vol formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecãi e outros), sem permissão expressa da Editora. + no todo ou em parte, sob quaisquer . gravação, fotocópia. distribuição na Web Unidade São Paulo Av. Embaixador Macedo Soares, 10.735 — Pavi Vila Anastácio — 05095-035 — São Paulo — SP Fone: (11) 3665-1100 Fax: (11) 3667-1333 ão 5 — Cond. Espace Center SAC 0800 703-3444 — www. grupos.com.br IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Prefácio Esta quinta edição do livro Resistência dos Materiais da Coleção Schaum foi substancialmente modificada pelo segundo autor para melhor ajustar-se aos cursos introdutórios de Resistência dos Materiais (Mecânica dos Sólidos) e à apresentação do conteúdo em muitos livros-texto introdutórios sobre o assunto. Além disso, foram feitas as seguintes alterações: 1. As soluções de Problemas e Problemas Complementares são apresentadas usando apci unidades SI. 2. Os programas de computador foram omitidos. O uso do MATLAB ou outros programas está disponível para os estudantes caso sejam de interesse problemas mais complicados. ema métrico de 3. Os materiais e problemas mais avançados, que não são abordados em um curso introdutório, foram omitidos por simpli idade de apresentação. Este livro é voltado para o uso em um curso introdutório. 4. Um capítulo curto sobre Fadiga foi adicionado. É um capítulo modificado, com base em uma seção sobre fadi- ga escrita pelo meu amigo e anterior colega, Charlie Muvdi, em “Engenharia Mecânica de Materiais”, por B Muvdi e J, W, MeNabb, 5. Uma seção sobre Carregamento Combinado foi adicior 6. O capítulo sobre Centroides e Momentos de tica que antecede Mecânica dos Sólidos. cia foi omitido, ele é considerado parte de um curso de A Resistência dos Materiais, também chamada de Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos, fornece a base para o projeto dos compom ntes de máquinas é estru as de suporte de carga. Em Estática, as forças e os momentos agem em vários pontos em um componente estrutural ou nos pontos de contato com outras estruturas que foram determinadas. As forças, ten es que existem em um componente não foram considera- as. Em Mecânica dos Sólidos, consideramos as seguintes pei “Qual esta estrutura falhar”, 'Qual é o máximo torque que este eixo pode transmitir?”, “Qual material deve ser selecionado para este compo- nente7”, “Para qual carga esta coluna flam! 7”, Essas perguntas não foram de interesse em um curso de Estática. Mas, antes que sejam respondidas, devemos calcular as forças e os momentos que agem nos componentes de uma estrutura ou máquina. Assim, a Estática sempre antecede um curso de Resistência dos Materiais. Muitas vezes, a Estática é combinada com a Resistência dos Materiais em um curso, uma vez que elas são intimamente ligadas Eu gostaria de agradecer pelo espólio do falecido William Nash. por me permitir criar esta quinta edição de um livro que, obviamente, necessitou muito do seu cuidadoso trabalho. Meus agradecimentos também são dirigidos ao Dr. Charlie Muvdi, que forneceu bons conselhos sobre o co berly Eaton, da McGraw-Hill, tomando as muitas decisões e: eúdo desta revisão. Foi um prazer trabalhar com jas em tal empreitad: Merle €. Potter, E. Lansing, MI Michigan State University «TI suminio CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 8 CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 11 APÊNDICE ÍNDICE Tensões nas Vigas 71 Noções básicas 72 Tensões normais nas vigas 7.3 Tensões de cisalhamento nas vigas 7.4 Carregamento combinado Deflexão de Vigas 8.1 Noções básicas 82 Equação diferencial da linha elástica 83 — Deflexão por integração 84 Dellexões usando funções singulares 85 Dellexões usando superposição Vigas Elásticas Estaticamente Indeterminadas 9.1 Noções básicas Colunas 10,1 Noçõe: 10.2 Carga crítica de uma coluna esbelta 10,3 Colunas carregadas excentricamente 10.4 Fórmulas de projeto para colunas com coeficiente de esbeltez intermediário Fadiga Tabelas de Vários Capítulos para Referência Rápida 101 101 101 a 106 126 126 127 127 128 128 146 146 162 162 162 166 167 178 187 191 Tração e Compressão 1.1 EFEITOS INTERNOS DAS FORÇAS Neste livro, abordaremos os chamados efeitos internos das forças que agem em um corpo. Os corpos em si já não serão considerados perfeitamente rígidos, como se considerava na estática; assim, O cálculo das deformações de vários corpos sob diversas cargas será uma das nossas principais preocupações no estudo da resistência dos mate- riais Barra axialmente carregada de metal de ei g- Inicialmente, o caso mais simples a se considerar é o de uma barra prismátic: O reto é seção tr versal constante solicitado, nas suas extremidades, de um par de forças opostas colineares e coincidentes com o eixo longitudinal da barra e agindo através do centroide de cada seção transversal. Para o equilíbrio estático, as intensidades das forças devem ser iguais. Se essas forças são dirigidas para fora da barra, diz-se que a barra é ira- cionada; no caso contrário, diz-se que a barra é comprimida, Esses d ustrados na Fig. 1-1. Sob a ação desse par de forças aplicadas, esforços internos são originados no interior da barra os quais podem ser estudados imaginando-se que a barra seja cortada por um plano ao longo de uma seção transversal qualquer perpendicular ao seu eixo longitudinal. Tal plano é chamado de a-a na Fig 1-2). Se, para a análise, a parte da barra a ser removida for a da direita do plano, como na Fig. 1-4), então, ela deve ser substituída por uma ação que essa parte exercia sobre a parte da esquerda. Com essa técnica de utilizar um plano de corte, os esforços internos nesse corte agora transformam-se em esforços externos em relação à parte do corpo remanescente. Por equilíbrio da parte da esquerda, esses esforços devem ser uma força horizontal de intensidade P. Contudo, essa força P que atua perpendicularmente à seção transversal a-a é, geralmente, a resultante das forças distribuídas que atuam nessa seção transversal na direção normal a ela. Agora, é necessário considerar alguma hipótese quanto à forma de variação dessas forças distribuídas, e, uma vez que a força aplicada P age no centroide da seção transve mente, supõe-se que elas são uniformes em toda a s casos estã «TT rr pa To | — Barra tracionada ED = Barra comprimida (bj Figura 1-1 Barras carregadas axialmente. Figura 1-2 Esforço interno. Capiruio1 * TraçãoeComnessão ——— ER» Materiais dúcteis e frágeis Os materiais metálicos utilizados em engenharia são, geralmente, classificados como dicteis ou frágeis, Um mate- rial dúctil é aquele que apresenta grandes deformações antes de atingir o ponto de ruptura (p. ex., o aço estrutural ou alumínio), enquanto um material frágil é aquele que se deforma relativamente pouco antes de atingir esse mes- mo ponto. Uma deformação de ruptura de 0,05 mm/mm é frequentemente utilizada como limite entre essas duas classes de materiais. Ferro fundido e concreto são exemplos de materiais frágeis. Lei de Hooke Para materiais que apresentam uma curva tensão-deformação com a forma mostrada nas Figs. 1-2), (6), (c) ou dl), é evidente que a relação entre tensão e deformação, para pequenos valores de deformação, é linear. Essa rela- ção linear entre os alongamentos e as forças axiais que os provocam é chamada de lei de Hooke. Para descrever este trecho inicial do diagrama do material, pode-se escrever o = Fe (1.3) onde E representa a inclinação da linha reta OP de cada uma das curvas nas Figs. 1-Ma), (b) e (c). A constante E, isto é, a relação entre a tensão e a deformação, é 0 módulo de elasticidade do material sob tra- ção, também chamado de módulo de Young. Valores de E para ais de engenharia são encontrados em manuais. No fim deste capítulo, a Tabela 1-3 apresenta uma lista dos materiais mais usuais em engenharia. Uma vez que a deformação e é um número adimensional (relação de dois comprimentos), é evidente que E tem a mesma unidade que a tensão, N/m-. Para vários materiais, o módulo de clasticidade sob compressão é o mesmo que sob tração. Deve-se observar que o comportamento dos materiais tratados neste livro são somente o daqueles (a menos que indicado o contrário) que apresentam uma região linear na curva tensão-deformação, ou seja. daqueles que satisfazem a lei de Hooke. »s Problemas 1.1 até 1.8 abordam a lei de Hooke. 1.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 1-3(a) pode ser usado para caracterizar vá O diagrama tensão-deformação mostrado na Fi material. São elas: Limite de proporcionalidade O valor da tensão identificado pelo ponto P é chamado de limite de proporcionalidade, ou seja, é o valor da máxi- ma tensão que pode ser imposta ao material durante um teste de tração simples tal que a tensão é uma função linear da deformação. Para um material cujo diagrama é o representado pela curva tensão-deformação mostrada na Fig. 1-3), não existe limite de proporcionalidade. Limite elástico O valor da tensão identificado por um ponto que quase coincide com o ponto P é chamado de limite elástico, ou seja, é o valor da máxima tensão que pode ser imposta ao material durante um teste de tração simples tal que não exista deformação permanente ou residual quando a carga for completamente removida. Para muitos materiais, os valores numéricos do limite elástico e de proporcionalidade são quase idênticos, « os termos são, muitas vezes, usades como sinônimos. Naqueles casos em que a diferença entre es dois valores é evidente, o limite elástico é quase sempre maior do que o limite de proporcionalidade. Regiões elástica e plástica A região da curva tensão-deformação compreendida entre a origem e o limite de proporcionalidade é chamada de região elástica. A região da curva tensão-deformação compreendida entre o limite de proporcionalidade é o ponto que correrponde à ruptura é chamada de região plastic ED O Resistencia cos Marenas Limite de escoamento O valor da tensão identificado pelo ponto F na Fig. 1-Ha) é chamado de limite de escoamento do material. Acima desse ponto, ocorre aumento de deformações sem que se aumente o valor da tensão. Depois que o carregamento progrediu até o limite de escoamento, diz-se que o material passa a escoar. Alguns materiais apresentam dois pon- tos sobre a curva tensão-deformação para os quais há um aumento de deformação sem que ocorra um aumento de tensão, Esses pontos são chamados de limites de escoamento superior é inferior. Limite de resistência ou resistência à tração O valor da tensão identificado pelo ponto U na Fig. 1-3(a), o máximo valor da tensão na curva, é chamado de limi- te de resistência ou de resistência à tração do material. Resistência de ruptura O valor da tensão identificado pelo ponto 8 na Fig. 1-3a) é chamado de resistência à rupiura do material, Módulo de resiliência O trabalho realizado por unidade de volume do material, quando há uma força de tração simples que aumenta gra- dualmente a partir de zero até atingir o limite de proporcionalidade, é chamado de módulo de resiliência. Seu valor pade ser calculado tomando-se à área sab a curva tensão-deformação da origem até o limite de proporcionalidade, indicada pela área hachurada na Fig. 1-3(4). A unidade dessa grandeza é N-m/m” no sistema SI. Portanto, a resi- liência de um material é a sua capacidade de absorver energia na região elástica. Módulo de tenacidade O trabalho realizado por unidade de volume do material, quando bá uma força de tração simples que aumenta gra- dualmente a partir de zero até atingir o limite de ruptura, é chamado de módulo de tenacidade. Seu valor pode ser calculado tomando-se a área total sob a curva tensão-deformação da origem até a ruptura. À tenacidade de um material é a sua capacidade de absorver energia na região plástica de um material Redução percentual de área A diminuição da área da seção transversal em relação à área inicial no instante da ruptura dividida pela área inicial e multiplicada por 100 é chamada de redução percentual de área. Observa-se que, quando forças de tração atuam sobre uma barra, a área da seção transversal diminui, mas cálculos para a tensão normal são geralmente feitos to- mando-se como base a área inicial. Este é o caso da curva mostrada na Fig. |-Ma). Quanto mais as deformações aumentam, mais importante é considerar os valores instantâneos da área da seção transversal (que estão diminuin- do), e, se isso é feito, obtém-se uma curva tensão-deformação veriadeira, Essa curva apresenta 0 comportamento mostrado pela linha tracejada na Fig. 1-3). Alongamento percentual O aumento no comprimento de uma barra depois da ruptura dividido pelo comprimento inicial e multiplicado por 100 é o alongamento percentual. Tanto a redução percentual de área quanto o alongamento percentual são utiliza- dos para caracterizar a ductilidade de um material Tensão admissível As características de resistência mencionadas anteriormente podem ser usadas para fixar uma tensão admissível do material, Frequentemente, essa tensão é determinada simplesmente dividindo-se a tensão de escoamento ou o limi te de resistência por um número maior que a unidade, chamado de coeficiente de segurança. À escolha do coefi- ciente de segurança é feita pelo julgamento e pela experiência do projetista. Coeficientes de segurança, muitas ve- zes, são fixados por normas de cálculo. TT Resistencia vos Maresias 1 Elo. -vio +0,)] (1.6) 1 1 gls, — vo, +09] sc glo,-Vo, +00] E Os Problemas 1.10 até 1.14 tratarão do caso mais geral. 1.3 SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS Se os valores de todas de equilíbrio da est: serão desse tipo. A barra mostrada na Fig. 1-4(a) é submetida a uma força conhecida P. As reações são R, R$ e R, O sistema é estaticamente determinado porque existem disponíveis três equações de equilíbrio da estática (LF, = 0. EF, =0, EM =0) para o sistema e elas são suficientes para determinar as três incógnitas. as forças externas que atuam em um corpo podem ser determinados somente pelas equações ica, então, 0 sistema de forças é estoticamente determinado. Vários problemas tratados aqui R, Rs kh. he (uy (5) Figura 1-4 Sistemas estaticamente determinados. A treliça ABCD mostrada na -A(k) é submetida a um carregamento de forças conhecidas P e P, As rea- ções são R,. R, € R,. Novamente, desde que existam disponíveis três equações de equilíbrio da estática, todas as três reações incógnitas podem ser determinadas, e, consequentemente, o sistema de forças externas é estaticamente determinado. Os dois casos da Fig. 1-4 referem-se somente a reações externas, e os sistemas de forças podem ser definidos como estalicamente determinados externamente. Em vários casos, as forças que atuam sobre o corpo não podem scr determinadas apenas pelas equações da estática, porque o número de forças incógnitas é maior do que o número de equações de equilíbrio. Nesses casos, o sistema de forças é chamado de estaticamente indeterminado. A barra mostrada na Fig. 1-5(a) é submetida a um carregamento de uma força conhecida P As reações são R Ry Rc R, O sistema de forças é estaticamente indeterminado, porque existem quatro reações incógnitas, mas somente três equações de equilíbrio da estática. Esse sistema de forças é chamado de um grau de indeterminação. Pp Rs (a) (6) | E R Figura 1-5 Sistemas estaticamente indeterminados. A barra mostrada na Fig. 1-5(b) é estaticamente de dois graus de indeterminação, porque existem cinco rea- qões incógnitas, R, Rs R, R$€ M,, mas somente três equações de equilíbrio da estática, Consequentemente, os valores de todas as reações não podem ser determinados usando somente as equações da estática. CaptruLo 1 * Tração E Conssessão ————— q O processo de cálculo que será considerado aqui é chamado de nétodo dos deslocamentos, pois consideram-se os deslocamentos no sistema, Resumidamente, o procedimento a ser seguido na análise de um sistema indetermi nado é, inicialmente, escrever todas as equações de equilíbrio da estática que pertencem ao sistema e, em seg completar essas equações com as equações adicionais com base nos deslocamentos da estrutura. Devem ser escri tas equações suficientes envolvendo deslocamentos, de tal modo que o número total de equações da estática e dos deslocamentos é igual ao número de forças incógnitas envolvidas, Os Problemas 1,15 até o 1,19 tratam desse mé- todo. 1.4 CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS Até agora, toda a discussão se baseou na hipótese de que o material apresenta duas características. São elas: * Material homogêneo: é aquele que tem as mesmas propriedades elásticas (E, v) em todos os pontos do corpo. Material isotrópico: é aquele que tem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções em quaquer pon- todo corpo. Nem todos os materiais são isotrópicos. Se um determinado material não possui qualquer tipo de simetria elástica, ele é chamado de anisorrópico. Nesse caso, em vez de ter duas constantes elásticas independentes (E, v), como um material isotrópico, ele é caracterizado por ter 21 constantes elásticas. Se um determinado material tem uês planos perpendiculares entre si de simetria elástica, ele é chamado de ertotrópico. O número de constantes independentes, nesse caso, é nove. Excelentes exemplos de materiais anisotrópicos são os materiais reforçados. com fibras, chamados de materiais compósitos. A Fig. 1-6 mostra exemplos de materiais compósitos. fa 0) Figura 1-6 (a) Barra de epóxi reforçada por fibras em uma direção; (b) placa de epóxi reforçada por fibras em duas direções. Análises plástica e elástica dos materiais Tensões e deformações na região plástica de um material são frequentemente permitidas para algumas estrutu- ras. Algumas normas de construção permitem que alguns elementos estruturais sofram deformação plástica, como também determinados componentes de acronaves e estruturas de mísseis são deliberadamente projetados para atuar na região plástica para fins de economia de peso. Além disso, muitos processos de conformação dos metais atuam na região plástica do material. Para pequenas deformações plásticas de aços estruturais de baixo + médio carbono, a curva tensão-deformação pode ser representada por duas linhas retas, como mostra a Fig. 1-7; uma das retas com inclinação E, representando a região elástica, e a outra com inclinação zero, represen- tando a região plástica. O gráfico mostrado na Fig. 1-7 representa um material com comportamento perfeira- mente elastoplástico. Ele não considera que ocorram grandes deformações que sejam suficientes para atingir a região de encruamento, como pode ser visto na parte final da curva tensão-deformação da Fig. 1-34). Veja o Problema 1.20. CapiruLo 1 * TaaçãoE Conesessão > ED» Quando se expressa uma grandeza em unidades do SI, certos prefixos decimais podem ser usados para repre- sentar multiplicação por potência. A Tabela 1-2 mostra esses prefixos e seus respectivos fatores de multiplicação e símbolos, Assim, melhor do que escrever 30 000 Pa ou 30 x 10 Pa, pode-se escrever simplesmente 30 kPa. Tabela 1-2 Prefixas para unidades do SI Fator de multiplicação Prefixo Simbolo 19º teia T 10º siga G 10º mega M 1” kilo k 19º cemis e 10 mili m 10º micro u 10? nano n 1" pico p * Não aconselhado, exceto em em, em”, cm" ou cm”. As unidades de diversas grandezas estão interligadas através das leis físicas obedecidas pelas grandezas. Disso resuha que, não importando o sistema utilizado, todas as unidades podem ser expressas como combinações algé- bricas de um conjunto selecionado de unidades fundamentais, Existem sete unidades fundamentais no sistema S m.kg,s, K, mol, A (Ampére) e cd (candela). A última é raramente utilizada em engenharia mecânica. Observe que N (newton) não está listada como uma unidade fundamental, Ela está relacionada a outras unidades pela segunda lei de Newton, am Se nós avaliarmos F em newtons, m em kg e a em m/s”, vemos que N = kg-m/s”. Logo, o newton é expresso em termos das unidades fundamentais. O peso é a força gravitacional; pela segunda lei de Newton, W=mg (1.8) Uma vez que a massa permanece constante, o peso W varia de acordo com à aceleração da gravidade g (a partir de aproximadamente 9,77 me na montanha mais alta até 9,83 m/s” na vala mais profunda do oceano, apenas cerca de 0,3% de variação de 9,80 mis”). Será usado neste livro o valor padrão ao nível do mar, 9,81 mis” (32,2 ftlsec menos que seja indicado o contrário. Uma discussão a respeito de algarismos significativos pode ser oportuna. As respostas devem ser apresentadas com três ou quatro d nificativos, nunca mais. A maioria dos problemas de engenharia contém informações tais como o raio de um eixo e a densidade dos materiais, bem como as constantes de outros materiais. Raramente tais informações são fornecidas com mais de quatro dígitos, por isso, não é apropriado apresentar uma resposta «com mais dígitos do que as informações fornecidas. No entanto, quando um número começa com “1”, esse dígito não é contado como um digito significativo. Então, [024 representam três dígitos significativos, assim como O,O0OTE00. Por fim, não vamos incluir as unidades na maioria dos problemas para os quais mostramos as etapas das solu- qões, Se as grandezas nas equações forem entradas com unidades em metros (m), segundos (s), pascal (Pa), quilo- gramas (kg) e newtons (NJ, as unidades das respostas serão previsíveis. Não há necessidade, na maioria das vezes, de trabalhar com dois problemas: um com números e o outro com as unidades, Por exemplo, uma propriedade do material de 200 SPa, quando utilizada em uma equação, Seria introduzida como 200 x 10” Pa; um momento de inércia de 2000 mm” seria introduzido como 2000 x 102 m', e uma tensão de 35 MPa seria introduzida como 35 x 10º Pa. «ET Resistência nos Maresias Problemas Resolvidos 1.1 Na Fig. 1-8, determine uma expressão para o alongamento total de uma barra prismática de comprimento L área de seção transversal A e módulo de elasticidade E se uma força de tração P age nas extremidades da barra. Figura 1-8 SOLUÇÃO: A tensão normal na direção da força P é simplesmente a carga dividida pela área da seção transversal, isto é, &=P/A, Além disso, a deformação lincar específica e é dada pela clongação total 4 dividida pelo comprimento inicial, isto é, e = A/L. Por definição, o módulo de clasticidade E é a relação de oie, isto é, PIA PL - PL CALDAS o A=aÉ E Observe que A tem unidade de comprimento, em metros. 1.2 Uma barra cuja área de seção transversal é 500 mm está submetida ao carregamento mostrado na Fig. 1H). Determine o alongamento total da barra. Para o aço, considere E = 200 GPa, c Db A B p= SEN 4SEN SON E e sokn a to) (b H c € D E e = ci a = ce [03] AC Figura 1-9 SOLUÇÃO: Observa-se, na Fig. 1-9) que a barra está em equilíbrio, logo, cada uma de suas partes também estará em equilíbrio. O trecho entre as seções A e & tem uma força resultante de 50 kN agindo sobre toda a seção transversal, e um diagrama de corpo livre desse comprimento de 0,6 m está representado na Fig. 1-9(b). A força na extremidade direita desse trecho deve ser de 50 kN pata garantir o equilíbrio com a força aplicada em A, O alongamento do trecho AB é, do Problema 1.1, AL CSDODONHO om) ==. = MAE TARTE ma OO 107 NT OMS m A força que atua no trecho entre as seções B e € é obtida considerando a soma algébrica das forças que atuam à esquerda de uma seção situada entre B e €, isto é uma força resultante de 35 EN atuando para à esquerda, logo esse trecho está submetido à força de tração. O diagrama de corpo livre do trecho BC é mostrado na Fig. 1-9tc) e o alom mento dele é PL, (35000)(1) 22"AÉ (500 x ID*H200x 107) Da mesma forma, a força que atua no trecho entre as seções Ce D deve ser de 45 kN, para garantir o equilíbrio com a força aplicada em D. O alongamento de CD é BL, (450003(1,25) (500 x 109)(200 010") 4, = 0,00056 m TE Resistencia cos Mareminis 15 16 SOLUÇÃO: A tensão normal (tração) que atua em uma determinada seção transversal é provocada pelo peso da pane da barra situada abaixo dessa seção. O alongamento do elemento de espessura dy mostrado é (ver Problema 1,1) pay dy AE da onde À éa área da seção transversal da barra e y € o seu peso específico (pesofunidade de volume). Integrando, o alon- gamento total da barra é onde Wé o peso total da barra. Observe que o alongamento total da barra produzido pelo seu peso próprio é igual àquele produzido por uma carga de metade do seu peso aplicada na extremidade. Em 1989, Jason, um submersível de pesquisa com recursos de monitoramento remoto de TV pesando 35200 N, foi lançado ao mar a uma profundidade de 646 m para enviar à superfície fotografias do casco de um navio romano afundado na costa da Htália, O submersível foi lançado na extremidade de um cabo de aço de seção vazada com uma área de 452 x 10 “ m” é E = 200 GPa, Determine o alongamento do cabo de aço, Devido no pequeno volume de todo o sistema, à flutuabilidade pode ser desprezada. (Nota: Jason foi o primeiro sistema que fotografou o Titanic afundado, em 1986.) SOLUÇÃO: O alongamento total do caho é a soma dos alongamentos devido (a) ao pesa do Jason é (b) ao peso do cabo de aço. Do Problema 1.1, temos para (a) e do Problema 1.4, temos para (b) onde W é o peso do cabo. W pode ser encontrado a partir do volume do cabo, isto é, (452 1096646) = 0,292 mº que deve ser mulúplicado pelo peso do aço por unidade de volume. Na Tabela 1 . no final do capítulo, esse valor é FT kNfm!. Assim, o pesa do cabo é W=(0,292)(77000) = 22484 N logo, o alongamento devido ao peso do cabo é (22484 (646) 2452. x 10*9(200 x 10º) 4 = 0,080 m O alongamento total é a soma dos alongamentos AZAÇ+A, 52 + 0,080 32m ou Duas barras prismáticas, rigidamente ligadas entre si, suportam uma carga vertical de 45 kN, como mostra, a Fig. 1-12,A barra superior é de aço e tem um comprimento de 10 mc área da seção transversal igual à 60 em”. A barra inferior é de latão e tem um comprimento de 6 m e área da seção transversal igual a 50 cm” Para o aço, E = 200 GPa; para o latão, E = 100 GPa. Determine a máxima tensão em cada barra. 1.7 Capiruto 1 * TançãoE Comemessio ————— dE» 4SkN Figura 1:12 SOLUÇÃO: A tensão máxima na barra de latão ocorre logo abaixo a junção na seção B-B. N é provocada pelo efeito combinado da carga de 45000 N com o peso próprio da barra de latã Tabela 1-3.) O peso da barra de latão é W,= 6 x (50 x 10/)x 84000 = 2520 N, À tensão nessa seção é 45000 + 2520 SO x 104 sa seção, a tensão normal . (Usar peso específico da =9.5x 10º Nim? ou 95MPa A máxima tensão na barra de aço ocorre na seção A-A, no ponto de suspensão, porque nessa seção atua uma tensão que é a soma das tensões pravacadas pelo peso das duas barras e da carga aplicada, O pesa da harra de aço é W, = 1x (60% 102) F7000 = 4620 N A tensão na seção A-A é 5000 + 2520 + 46 6010 =8,69 x 10º Nim ou 8,69 MPa Em 1989, um novo cabo de fibra óptica capaz de suportar 40,000 chamadas telefônicas simultaneamente foi lançado no Oceano Pacífico, desde a Califórnia até o Japão, cobrindo uma distância de 13300 km. O cabo foi desenrolado do bordo de um navio com uma temperatura média de 22ºC e lançado ao fundo do mar com uma temperatura média de 5ºC, O coeficiente de dilatação linear do cabo é de 75 x 10 “/ºC, Determine o comprimento do cabo que deve ser transportado no navio para atravessar os 13300 km. SOLUÇÃO: O comprimento do cabo que deve ser transportado a bordo do navio consiste de 13300 km mais um compri- mento desconhecido AL. Esse comprimento permitirá uma contração, garantindo um comprimento final de 13300 km quando estiver no fundo do oceano. Da definição do coeficiente de dilatação térmica [Eg. (1.4)], temos AL = GlATy =(75 10“) [13300 km + ALI? = 580 o Resolvendo-se a equação (1), tem-se: AL= 16,96 km A variação percentual do comprimento é, então. 16,96 13300 + 16,96 x100= AL - SE x100= 13% Nota-se que o termo AL na eg. (1) é pequeno comparado com o comprimento total do cabo, O comprimento do cabo na temperatura do navio é de aproximadamente 13317 km. 
