Resistência dos Materiais para Engenharia Civil: Introdução à Análise Estrutural - Prof. A, Exercícios de Resistência dos materiais

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

PARA ENGENHARIA CIVIL

PROFESSOR CELSO JOSÉ LEÃO E SILVA

2015.

ÍNDICE

• Capítulo 1 – Introdução - 1.1. Domínio de Estudo de Análise Estrutural - 1.2. Força - 1.3. Momento - 1.4. Condições de Equilíbrio - 1.5. Graus de Liberdade - 1.6. Apoios - 1.7. Estaticidade e Estabilidade
• Capítulo 2 – Esforços - 2.1. Esforços Simples
• Capítulo 3 – Vigas Biapoiadas - 3.1. Vigas Biapoiadas Simples - 3.2. Vigas Engastadas e Livres - 3.3. Vigas Biapoiadas com Balanços - 3.4. Vigas Gerber
• Capítulo 4 – Estudo dos Quadros Isostáticos
• Capítulo 5 – Propriedades das Superfícies - 5.1. Momento de Inércia I - 5.2. Teorema dos eixos paralelos para uma área - 5.3. Lei de Hooke
• Lista de Exercícios – 1ª Unidade
• Capítulo 6 – Deformação em Elementos Retos - 6.1. Deformações por Flexão - 6.2. Deformações por Variação Térmica
• Capítulo 7 – Deformação por Flexão em Vigas Compostas
  • 7.1. Método da Seção Transformada
  • 7.2. Método da Seção Transformada para Vigas de Concreto Armado
• Capítulo 8 – Tensões Normais – Tração e Compressão
  • 8.1. Deformação de Componentes sob Carregamento Axial
• Capítulo 9 – Tensões de Cisalhamento
• Capítulo 10 – Tensões de Torção.
  • 10.1. Momento torsor
• Lista de Exercícios – 2ª Unidade
• Bibliografia
• Apêndice I – Gabarito - Lista de Exercícios – 1ª Unidade
• Apêndice II – Gabarito - Lista de Exercícios – 2ª Unidade

1.3.Momento

Chama-se momento de uma força F em relação a um ponto O ao produto vetorial do vetor OM (sendo M um ponto qualquer situado sobre a linha de ação da força F) pela força F, conforme indica a figura abaixo:

Sua direção é perpendicular ao plano P que contém a reta-suporte da força F e o ponto 0; seu sentido é dado, a partir do sentido de rotação da força F em torno do ponto O pela regra da mão direita

Fazendo a mão direita girar no sentido desta rotação, obtém-se o sentido do vetor-momento pela posição ocupada pelo polegar durante esta rotação.

1.4.Condições de Equilíbrio

Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo. Como a tendência de translação é dada pela resultante R das forças e a tendência de rotação, em tomo de qualquer ponto, é dada pelo momento resultante M´ destas forças em relação a este ponto, basta que estes dois vetores R e M´ sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio.

A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, submetido a um sistema de forças, C que estas forças satisfaçam às equações vetoriais, em que R é a resultante das forças e M´, seu momento resultante em relação a qualquer ponto do espaço:

As 2 equações vetoriais de equilíbrio podem ser substituídas, cada uma delas, por três equações escalares de equilíbrio, obtendo-se o grupo das seis Equações , que são as seis equações universais da Estática, regendo o equilíbrio de um sistema de forças no espaço

1.5.Graus de Liberdade

Como, no espaço, uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogonais e, uma rotação, como a resultante de três rotações, cada uma em torno de um desses eixos, dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade (3 translações e 3 rotações, segundo 3 eixos triortogonais).

É evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fim de ser possível seu equilíbrio. Esta restrição é dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, através do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que eles impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reações de apoio se oporão às cargas aplicadas a estrutura, formando este conjunto de cargas e reações um sistema de forças em equilíbrio, e regidas, portanto, pelos grupos de equações deduzidos no item anterior, para os diversos tipos de sistemas de forças que podem ocorrer na prática.

c) Apoio do 3⁰ gênero:

Todos os movimentos possíveis da estrutura estão impedidos e dizemos então que o apoio engasta a estrutura. Em um engaste aparecem na direção de cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação), as reações de apoio H, V e M indicadas.

1.7.Estaticidade e Estabilidade

A função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Três casos podem então ocorrer: a) Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas = número de equações), chegando-se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema. Diremos, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável.

b) Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, chegando- se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios não forem capazes de impedir; qualquer que seja a deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína.

Diremos, então, que a estrutura é hipostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio instável. As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções.

c) Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, haverá menor número de equações que de incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações universais da Estática não serão, então, suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações. Diz-se, então, que a estrutura é hiperestática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. (aliás, pode-se dizer, um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável).

Capítulo 2 ESFORÇOS

2.1. Esforços Simples

Um sistema de forças, atuando sobre um corpo, encontra seu equilíbrio através das reações de apoio que provocam. Vejamos, agora, quais os efeitos estáticos que estas cargas e reações provocam em cada uma das seções do corpo.

Seccionemos o corpo por um plano P, que o intercepta segundo uma seção S, dividindo-o nas duas partes D e E indicadas na figura abaixo:

A resultante R que atua na parte da esquerda foi obtida pelas forças da direita, e vice-versa; o momento resultante M que atua na parte da esquerda foi obtido pelas forças da direita, e vice-versa.

Diremos que um momento torsor T positivo quando traciona a seção em questão, sendo negativo em caso contrário.

d) M (Momento Fletor) Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência do momento M, conforme a regra da mão direita, é a de provocar uma rotação da seção em torno de um eixo situado no seu próprio plano. M provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte. A peça ficará então fletida, sendo, por isto, denominado de momento fletor. Para o momento fletor, desejamos sempre conhecer que fibras estão tracionadas e que fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto amado, por exemplo, sabemos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente à tração).

Capítulo 3 ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS

3.1. Vigas Biapoiadas Simples

Seja a viga biapoiada simples submetida ao carregamento indicado:

Os esforços simples numa determina seção S são dados por:

Derivando as expressões acima em relação à abscissa s que define a seção, obtemos :

Demonstramos, então, que a derivada do momento fletor atuante numa

seção S de uma viga reta, submetida a um carregamento a ela perpendicular, em

relação à abscissa que define esta seção é igual ao esforço cortante nela atuante

e que a derivada deste em relação a esta abscissa é igual ao valor da taxa de

carga aplicada na seção S com o sinal trocado. As igualdade (II.1) e (II.2) são as

equações fundamentais da Estática, pois nos permitem obter os esforços

solicitantes nas diversas seções da viga em função do carregamento q(x)

atuante.

A partir de q(x) obteremos, então, as funções MS e QS que nos dão os

valores dos momentos fletores e esforços cortantes atuantes em qualquer seção

da viga. Representando graficamente estas funções MS e QS

perpendicularmente ao eixo da viga, teremos seus assim chamados diagramas de

3.2. Vigas Engastadas e Livres

No engaste, aparecerão evidentemente uma reação vertical e uma reação-

momento, que equilibrarão o carregamento atuante. Isto posto, passemos à

obtenção dos diagramas solicitantes.

Exemplo 3.3. Obter os diagramas solicitantes para a viga abaixo:

3.3. Vigas Biapoiadas com balanços

Para traçar o diagrama de momentos fletores numa viga biapoiada com balanços, tratamos os balanços como vigas engastadas e livres, ligamos os momentos atuantes nos apoios por uma linha reta e, a partir dela, penduramos o diagrama de viga biapoiada devido As cargas atuantes no trecho entre os apoios.

Exemplo 3.4. Obter os diagramas solicitantes para a estrutura

Observações: a) O diagrama de momentos fletores tem tangente horizontal em A (pois QA=0), o mesmo não acontecendo em D, devido à presença da carga concentrada (QD = 2 t). b) Nos apoios, o diagrama de momentos fletores apresenta pontos angulosos no sentido das reações de apoio e o diagrama de esforços cortantes apresenta descontinuidades iguais a estas reações de apoio. c) O momento fletor mínimo tracionando as fibras inferiores da viga não ocorre no meio do ao, mas, sim, na seção de cortante nulo, que é aquela a 3,5 m de A.

3.4. Vigas Gerber

Consta uma viga Gerber, de uma associação de vigas com estabilidade própria com outras apoiadas sobre as primeiras, que dão a estabilidade ao conjunto. Para resolvê-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade própria e, após, as dotadas de estabilidade própria, para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas, acrescidas, para estas Últimas, das forças transmitidas pelas rótulas. Observações: a) Em se tratando de vigas Gerber isostáticas, as vigas que as constituem são vigas biapoiadas, vigas biapoiadas com balanços ou vigas engastadas livres. As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva.

do concreto (a este respeito, não teceremos maiores considerações por ora, pois este tema é objeto de estudo nas cadeiras de Pontes).

As vigas Gerber têm lugar de grande Importância na Engenharia Estrutural, e a tendência desta importância é aumentar, tendo em vista o desenvolvimento das técnicas de pré-fabricação e montagem de estruturas.

Exemplo 3.5. Obter os diagramas solicitantes para a viga abaixo:

Capítulo 4 ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS

Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, aos quais chamamos de quadros simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma que associamos vigas simples para constituir vigas Gerber, formam os chamados quadros compostos, que não serão estudados neste curso.

Exemplo 4.1. Seja o quadro biapoiado ilustrado abaixo para o qual se deseja obter as reações de apoio HA , VA e VB.

Capítulo 5 PROPRIEDADES DAS SUPERFÍCIES PLANAS

Ao analisarmos a distribuição de forças ou tensões em elementos estruturais, como vigas e seções transversais, é comum encontramos um tipo de integral que relaciona o quadrado da posição com o elemento de área. Essa integral é chamada Momento de Inércia ou Momento de Segunda Ordem, tal que o momento de inércia tem usos na análise estrutural, mecânica dos fluidos entre outros. Para exemplificar, vamos considerar uma viga sob ação de momento M e tensão, tal que as forças aplicadas estão comprimindo a viga, conforme mostrado na figura.

5.1. Momento de Inércia I (Momento de 2ª Ordem)

O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de

referência é definido através da integral de área dos produtos entre os

infinitésimos da área que compõem a superfície e suas respectivas distâncias ao

eixo de referência elevadas ao quadrado.

O momento de inércia é uma característica importantíssima no

dimensionamento dos elementos de construção, pois fornece através de valores

numéricos, uma noção de resistência da peça. Quanto maior for o momento de

inércia da seção transversal de uma peça, maior será a resistência da peça.

Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iy, isto é,

A forma de cada uma dessas equações estipula que o momento de inércia em torno de um eixo é igual ao momento de inércia em torno de um eixo paralelo que passa pelo centroide mais o produto entre a área e o quadrado da distância perpendicular entre os eixos.

Secção Momento de Inércia

Secção Momento de Inércia

Tabela 1 – Momentos de Inércia de áreas planas comuns

5.3. Lei de Hooke

O diagrama tensão-deformação para a maioria dos materiais de engenharia exibe uma relação linear entre tensão e deformação dentro da região elástica. Por consequência, um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação. Esse fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676, para molas, e é conhecido como lei de Hooke e pode ser expresso matematicamente como:

Onde:

σ é a tensão em N/mm^2 (ou MPa)

é o módulo de elasticidade do material em MPa

Ɛ é a deformação da peça em mm/mm

Lista de Exercícios – 1ª Unidade:

1. Esboce os diagramas de esforço cortante e de momento fletor das vigas submetidas aos carregamentos indicados abaixo e calcule o momento fletor máximo e o ponto na viga onde ele ocorre.

a)

b)

c)

d)