Baixe Reprodução SP Matematica 1 unidade 2 capitulo 4 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Naval, somente na Docsity!
Capítulo
Neste capítulo
Comece pelo que já sabe
1. (^) A noção intuitiva de função 2. (^) A definição de função 3. Função e gráfico 4. Função e proporcionalidade
Introdução às funções
Uma operadora de telefonia celular fez uma promoção que oferece três opções de plano de pagamento aos seus clientes.
1. Cite uma característica dos planos mensais A e B que não aparece no plano de recarga C. 2. Qual seria o plano mais econômico para uma utilização de 20 minutos por mês? 3. Determine o custo de 30 minutos de ligações por mês em cada plano oferecido pela operadora. Compare os valores encontrados. 4. Qual seria o plano mais econômico para utilizar 60 minutos de ligações por mês? 5. Pensando nas respostas anteriores, podemos afirmar que o custo de cada plano depende do tempo utilizado? Justifique sua resposta. 6. Que fatores devem ser considerados para a escolha do plano com o melhor custo-benefício? Comente com os colegas.
- A noção intuitiva de função
A noção de função está presente em muitas situações do cotidiano. Trata-
-se de um conceito matemático que possibilita analisar como duas grandezas
envolvidas em determinado fato ou fenômeno se relacionam.
As situações a seguir apresentam algumas noções relacionadas à ideia de
função.
Situação 1. A Companhia Espírito Santense de Saneamento (Cesan) cobra
as seguintes tarifas para o fornecimento de água residencial padrão.
Tarifas de água por faixas de consumo Faixa de consumo em m^3 Tarifa em RS|| por m^3 Até 15 1, De 16 a 30 3, Acima de 30 3,
Dados obtidos em: http://www.cesan.com.br. Acesso em: 22 nov. 2008.
De acordo com a tabela, a tarifa a ser paga depende da faixa de consu-
mo de água, ou seja, a tarifa está em função da faixa de consumo.
Situação 2. O comprimento C de um círculo depen-
de de seu raio r. Diz-se que C é uma função de r.
A fórmula matemática que permite calcular o valor de C
é dado por C 5 2? ? r. Essa é a lei de correspondên-
cia que faz cada valor positivo de r corresponder a um
único valor de C.
Situação 3. A temperatura T registrada em ºC pelo Instituto Nacional de
Meteorologia (Inmet) durante um dia de primavera é uma função do tempo t
dado em horas.
Embora não haja uma fórmula matemática simples que relacione as duas
grandezas, essa situação descreve uma lei segundo a qual para cada período
de tempo t há uma única temperatura T registrada.
Nessa função, a temperatura depende do tempo e, por isso, é chamada de
variável dependente. Já o tempo , como não depende de nada, é chamado de
variável independente.
Tabelas, fórmulas e gráficos são as formas mais comuns utilizadas para re-
presentar uma função, como foi mostrado em cada uma das situações aqui
apresentadas.
r
História das funções ` A palavra função parece ter sido introduzida por Leibniz em 1694, inicialmente para expressar qualquer quantidade associada a uma curva. Por volta de 1718, Johann Bernoulli considerou uma função como uma expressão qualquer formada de uma variável e algumas constantes; depois Euler considerou uma função como uma equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e constantes. O conceito de Euler se manteve inalterado até que Joseph Fourier (1768-1830) foi levado a considerar, em suas pesquisas, as chamadas séries trigonométricas. Essas séries envolvem uma forma de relação mais geral entre as variáveis que as que já haviam sido estudadas interiormente. Na tentativa de dar uma definição de função ampla o suficiente a ponto de englobar essa forma de relação, Lejeune Dirichlet (1805-1859) chegou à seguinte formulação: Uma variável é um símbolo que representa qualquer dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x , corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y , então se diz que y é uma função (unívoca) de x. A variável x , à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável independente e a variável y , cujos valores dependem dos valores de x , é chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y constituem o c ampo de valores da função. E vEs, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas, SP. Ed. Unicamp, 2002.
História da Matemática
Temperatura em Brasília no dia 24 de novembro de 2008
23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 0
Temperatura (ºC)
00 h 00 12 h 00 00 h 00 Horário
Dados obtidos em: http://meteoweb.inmet.gov.br. Acesso em: 22 nov. 2008.
5. Um retângulo tem largura x , comprimento y e área de 24 cm^2 , como mostrado abaixo.
Determine o que se pede em cada item. a) A lei de correspondência que expressa o valor do comprimento y em função da largura x. b) O comprimento y , se a largura desse retângulo for 4,8 cm. c) As dimensões desse retângulo, se o comprimen- to for 6 vezes a largura.
6. Em 2008, o salário-família, um benefício concedi- do pela Previdência Social aos trabalhadores com renda mensal inferior a RS||^ 472,43, era de RS||^ 24,23, para famílias com filho de até 14 anos incompletos, ou com filho inválido. Represente por uma fórmula matemática a lei de correspondência que associa a variável salário-família à variável número de filhos por trabalhador. 7. A figura ao lado repre- senta um quadrado de área igual a 100 cm^2. a) Expresse a área da re- gião laranja da figura em função de x. b) Determine a área da região verde da figura, considerando a medi- da de x igual a 7 cm. 1. Na tabela a seguir, o preço do combustível está em função do volume do abastecimento. Volume (em litros) Preço (em RS||^ ) (^5) 12, (^10) 25, (^15) 37, (^20) 50, (^25) 62, (^30) 75, a) Escrever a fórmula que associa o preço do combustível ( P ) e o volume ( V ). b) Determinar o valor pago por 7 litros de com- bustível. c) Determinar o volume de combustível que cor- responde ao preço de RS||^ 60,00.
Resolução a) O preço referente a 1 litro de combustível é 12,50_____ 5 5 2,5. Portanto, a fórmula que relaciona o preço do combustível com o volume é P 5 2,5 V. b) Basta substituir V por 7 na fórmula P 5 2,5 V. Portanto P 5 2,5 7 ä P 5 17,5. O valor pago por 7 litros de combustível é RS||^ 17,50. c) Para determinar o volume de combustível cor- respondente ao preço de RS|| 60,00 é preciso substituir P 5 60 na fórmula P 5 2,5 V.
Portanto, 60 5 2,5 V ä V 5 ___^60 2,5 ä V 5 24.
O preço de RS|| 60,00 corresponde a 24 litros de combustível.
Exercício resolvido
Exercícios propostos
2. Um avião se desloca em linha reta de acordo com os instantes mostrados na tabela.
t (h) 1 2 3 4 5 d (km) 800 1 600 2 400 3 200 4 000 a) Escreva uma fórmula que relacione d e t. b) Determine a distância que o avião terá percorri- do após 8 h de viagem, se mantiver o movimento descrito pela fórmula obtida no item a.
3. Um técnico que presta serviços de manutenção de computadores em residências cobra uma taxa fixa de RS||^ 35,00 pela visita e RS||^ 10,00 por hora trabalhada. a) Qual é o valor de um serviço iniciado às 15 h 45 min e concluído às 17 h 45 min? b) Quantas horas esse técnico trabalhou, sabendo- -se que ele recebeu RS||^ 75,00 pelo serviço? c) Escreva a lei de correspondência que relaciona o valor pago pelo serviço prestado e as horas de trabalho desse técnico. d) Qual é a variável dependente da lei obtida no item c? E a variável independente? 4. Dados os conjuntos A e B , verifique se cada situa- ção a seguir representa uma função de A em B. a) Dois elementos de A estão associados a um mes- mo elemento de B. b) Todos os elementos de A estão associados a ele- mentos distintos de B , exceto um, que está asso- ciado a dois elementos de B. c) Um elemento de A não está associado a nenhum elemento de B. d) Um elemento de A está associado a mais de um elemento de B.
y
y
x A 5 24 cm^2 x
x
10
10
4 Introdução às funções
Embora x e y possam representar quaisquer variáveis, a partir daqui o uso
dessas letras ficará restrito aos casos de funções cujas variáveis possam assu-
mir valores numéricos reais, ou seja, funções cujo domínio é dado pelo con-
junto dos números reais. Essas são as funções reais de variáveis reais.
Considere a função ƒ( x ) 5 3 x 1 5. Essa função admite domínio D 5 R,
pois, para qualquer x R, o número 3 x 1 5 é um número real.
Para que uma função seja bem definida, são necessários três ingredientes:
o domínio, o contradomínio e a regra, ou seja, a lei de correspondência que
permite associar, de maneira bem determinada, cada elemento do domínio a
um único elemento do contradomínio.
Funções definidas por fórmulas matemáticas
A maior parte das funções estudadas neste capítulo é determinada por fór-
mulas matemáticas denominadas lei de correspondência da função. Veja a
seguir algumas dessas funções.
Exemplo 1. Considere um círculo de raio r.
A área do círculo é uma função do raio e pode ser expressa pela lei de cor-
respondência A ( r ) 5 r^2. Nesse caso, a variável independente é o raio r , e
a variável dependente é a área A do círculo.
Para um círculo de raio r 5 3 cm, substituindo o valor de r na lei de cor-
respondência, obtém-se o valor de A ( r ) correspondente.
A ( r ) 5 r^2
A (3) 5 32 ä A (3) 5 9
Logo, a área de um círculo de raio igual a 3 cm é 9 cm^2.
Exemplo 2. Considere a função ƒ: R é R dada pela lei de correspondência
ƒ( x ) 5 x 1 3. A partir da fórmula matemática que descreve a função, pode-se
obter alguns valores de ƒ( x ) para determinados valores de x.
A imagem de x 5 0 é ƒ(0) 5 0 1 3 5 3, isto é, ƒ(0) 5 3. Ou, ainda, o va-
lor de ƒ no ponto 0 é 3.
A imagem de x 5 1 é ƒ(1) 5 1 1 3 5 4, isto é, ƒ(1) 5 4.
A imagem de x 5 2 é ƒ(2) 5 2 1 3 5 5, isto é, ƒ(2) 5 5.
Observação
Não se deve confundir ƒ com ƒ( x ): ƒ é a função e ƒ( x ) é o valor que a fun-
ção assume em cada x pertencente ao domínio.
Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Dada uma função ƒ de A em B , o conjunto A é denominado domínio da
função ƒ, e o conjunto B , contradomínio dessa função.
O domínio é denotado por D (ƒ) ou simplesmente D e o contradomínio,
por CD (ƒ) ou CD.
Para cada x D , o valor correspondente y CD assumido pela função ƒ
é a imagem ƒ( x ) da função (lê-se “ƒ de x ”). Assim, y 5 ƒ( x ). O conjunto for-
mado por todas as imagens de D é denominado conjunto imagem de ƒ. A
notação utilizada para o conjunto imagem é Im (ƒ) ou Im.
ƒ: A é B ƒ: x ƒ( x )
x
A
D( ƒ )
Im (ƒ)
ƒ
CD(f)
B
y 5 ƒ( x )
Calculadora Potenciação ` As calculadoras científicas apresentam algumas funções que permitem o cálculo de potenciação. As representações, em geral, aparecem como mostrado abaixo.
Observação Em algumas calculadoras é ne- cessário teclar para o resul- tado surgir no visor; em outras, não. Verifique como funciona a sua calculadora.
eleva um número x ou x^2 ao quadrado. 2
x^3 ou x^3 eleva um númeroao cubo. eleva um número x a um expoente y. fornece o inverso de um número x.
ou
ou
x^y
1/x
xy
x^1
:
:
:
:
4
Exercícios propostos
Introdução às funções
12. A tabela a seguir apresenta a nota de cinco alunos em uma prova de geografia. Nome Gustavo Paulo César Rodrigo José Nota^6 9 7 5,5^6 Considerando uma função ƒ que associa o nome de cada aluno à respectiva nota, faça o que pede cada item. a) Explicite em seu caderno o domínio e o contra- domínio da função ƒ. b) Qual é a lei de correspondência dessa função? c) Calcule o valor de x dado abaixo.
O que significa o valor de x? d) Há alguns elementos do domínio que têm a mes- ma imagem. Escreva em seu caderno quais são esses elementos.
13. Verifique quais diagramas abaixo representam fun- ções, identificando o domínio, o contradomínio e a imagem. a)
b)
c)
d)
e)
14. Escreva em seu caderno a lei de correspondência da função ƒ pedida em cada item. a) Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu dobro. b) Lei da função ƒ que relaciona um número real x com sua metade. c) Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu quadrado. d) Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu dobro adicionado de sua metade. e) Uma função ƒ que associa cada número real a seu inverso. 15. São dadas as funções g : A é R, com A 5 { 2 1, 0, 1, 2} e g ( x ) 5 x^3 1 2 x^2. Determine o contradomínio e a imagem de g. 16. Dada a função g : D é R, em que g ( x ) 5 4 x 2 5 e D 5 { 2 3, 2 1, 0, 4}, escreva em seu caderno o con- junto imagem de g. 17. Dada a funçãoƒ: R é R, definida por ƒ( x ) 5 ______ x 2 x 2 5 determine os valores abaixo. a) ƒ(0) c) ƒ (^) ( __ 21 ) e) ƒ( 2 2) 1 ƒ (^) ( __ 21 )
b) ƒ( 2 2) d) ƒ(1) 2 ƒ( 2 1)
18. Na função real definida pela leiƒ( x ) 5 x^2 1 kx 1 5, tem-se ƒ(4) 5 9. Determine o valor de k. 19. Quais elementos do domínio da função dada por ƒ( x ) 5 8 x^2 2 4 tem como imagem 2 2? 20. Dada a funçãoƒ: N é R definida por ƒ( x ) 5 dXXXXXXX 8 2 2 x , identifique o conjunto que representa o domínio dessa função. a) A 5 R 2 {4} c) C 5 {0, 1, 2, 3, 4} b) B 5 { x R x 4} d) D 5 { x R x 4} 21. Seja a função g : N é R, definida por: g ( x ) 5 _____ 1 24 x 1 _______ 2 x x 2 6. Qual é o domínio de g? 22. Seja a funçãoƒ: R é R, definida por: ƒ( x ) 5 x ______ 3^ 22 9 x 1 dXXXXXX 2 x 2 1. Identifique em seu caderno quais das afirmações abaixo estão corretas. a) O número 3 pertence ao domínio de ƒ. b) O número 1,5 pertence ao domínio de ƒ. c) O número 1 não pertence ao domínio de ƒ. d) D (ƒ) 5 { x R | x 1,5 e x 3}. 23. Dada a funçãoƒ( x ) 5 x^2 2 2 x 1 1, determine em seu caderno ƒ( k 1 1). 24. Sendoƒ( x 1 1) 5 x^3 2 2 x^2 2 8, calcule ƒ(4). 25. Considere a função g ( x ) 5 x^2 1 ( m 2 1) x 2 4. Saben- do que g (2) 5 10, determine em seu caderno o va- lor de m.
— 0 1 2
— 4 7 6 0 1 2
— — 0 3
0
2
—
3
—
4
— — 0 3
1 6
9
8
— 2
4 3 2 1
0 5 2 1
x 5 ƒ_________________________________________(Gustavo) 1 ƒ(Paulo) 1 ƒ(César) 1 ƒ(Rodrigo) 1 ƒ(José) 5
Para localizar os pontos no plano cartesiano utiliza-se a intersecção de re-
tas paralelas aos eixos Ox e Oy.
Analise os pontos no plano cartesiano abaixo.
A origem O corresponde ao par orde-
nado (0, 0).
O par ordenado (2, 4) corresponde ao
ponto A. Observe que a primeira co-
ordenada é obtida no eixo Ox e a se-
gunda coordenada, no eixo Oy.
O ponto C corresponde ao par orde-
nado ( 2 4, 2 3); 2 4 é chamado de abs-
cissa e 2 3 de ordenada do ponto C.
Os pontos E e F estão sobre o eixo das
abscissas e, portanto, têm ordenadas
iguais a zero: E ( 2 2, 0) e F ( 1 __
, 0 (^) ).
Os pontos D (0, 2 5) e B (0, 3) têm abscissas iguais a zero, pois estão loca-
lizados sobre o eixo das ordenadas.
O plano cartesiano é o contato imediato entre a geometria e a álgebra.
Nele há uma correspondência entre pontos do plano e pares ordenados
de números reais, de modo que todo ponto no plano tem seu correspon-
dente par ordenado, assim como um par ordenado tem um ponto cor-
respondente no plano. Dessa forma, problemas geométricos podem ser
interpretados algebricamente e problemas algébricos podem ser interpre-
tados geometricamente.
Plano cartesiano ` O sistema de coordenadas é chamado de sistema cartesiano em referência ao matemático e filósofo francês René Descartes (1596-1650). Considerado o pai da filosofia moderna, Descartes desenvolveu em sua obra La Géométrie relações entre a álgebra e a geometria, dando origem à geometria analítica.
Um pouco de história
Par ordenado No par ordenado ( _x_ , _y_ ), _x_ é a primeira coordenada e _y_ é a segunda coordenada, sendo _x_ e _y_ números reais. O ponto A é representado por A ( m , n ); m é denominado abscissa e n é a ordenada do ponto A. `A ordem em que os elementos de um par ordenado aparecem deve ser considerada. Por exemplo, o par ordenado (2, 3) é diferente do par (3, 2).
Para recordar
y
A
2 o^ quadrante 1 o^ quadrante
3 o^ quadrante 4 o^ quadrante
m x
(m,n)
Eixo das ordenadas
Eixo das abscissas
n
0
- Função e gráfico
Plano cartesiano
O sistema cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares
entre si e que se cruzam no ponto zero. Esse ponto é denominado origem
do sistema cartesiano e é frequentemente denotado por O. Cada reta
representa um eixo e são nomeados por Ox e Oy. Sobrepondo um siste-
ma cartesiano e um plano, obtém-se um plano cartesiano , cuja primei-
ra vantagem é associar a cada ponto do plano um par de números reais.
Assim, um ponto A do plano corresponde a um par ordenado ( m , n ) com
m e n reais.
O eixo horizontal Ox é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical Oy ,
de eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões cha-
madas quadrantes.
y A B
E F
C D
25 24 23 22 21 1 2 3 4 5 x
5 4 3 2 1
21 22 23 24 25
O __^1 2
É gráfico de função de x em y Não é gráfico de função de x em y Não é gráfico de função de x em y
Qualquer reta perpendicular ao eixo Ox intercepta o gráfico em um único ponto; portanto, o gráfico representa uma função de x em y.
Existem retas perpendiculares a Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y.
Existem retas perpendiculares a Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y.
Reconhecimento do gráfico de uma função
Nem sempre um conjunto de pares ordenados representa o gráfico de
uma função. Para saber se de fato representa o gráfico, é preciso verificar se
para cada elemento do domínio, que no plano cartesiano é representado pe-
los valores do eixo Ox , existe apenas um único correspondente no contra-
domínio, representado pelos valores do eixo Oy. Geometricamente significa
que qualquer reta perpendicular ao eixo Ox deve interceptar o gráfico em
um único ponto.
Análise de gráfico
Os gráficos não são um mero recurso visual; eles permitem ao leitor anali-
sar e propor relações entre as variáveis de maneira dinâmica.
Exemplo
Considerando-se esse gráfico, são válidas as informações a seguir.
O ponto máximo da produção no 1o^ semestre de 2008 foi no mês de junho.
O ponto mínimo da produção no 1o^ semestre de 2008 foi no mês de janeiro.
De janeiro a abril houve um crescimento na produção, assim como tam-
bém houve crescimento de maio a junho.
Houve um decrescimento na produção de abril a maio.
A taxa de crescimento da produção de janeiro a fevereiro foi menor quan-
do comparada com o período de fevereiro a abril.
A variável quantidade de veículos bicombustíveis está em função da variável
tempo (em mês).
Fonte: Anfavea – Associação Nacional de Fabricantes de Veículos Automotores.
Folha de S.Paulo , 9 out. 2008.
y
x 1 x
y
x x 1
y
x
x 1
Para refletir
` A personagem da charge é um operador da bolsa de valores internado em um hospital. Ele vê a situação financeira daquele momento, retratada nos gráficos mostrados nos monitores da máquina ligada ao seu corpo. a) Que situação financeira os gráficos da bolsa representam? b) E o gráfico do monitor no leito do hospital, o que representa? c) Por que você acha que o monitor no leito do hospital apresentou esse gráfico?
Produção de veículos bicombustíveis (álcool e gasolina) no 1 o^ semestre de 2008 200 000
190 000
180 000
170 000
160 000
(^150 000) janeiro fevereiro março abril maio junho
Quantidade de veículos
Mês
4 Introdução às funções
Exercícios resolvidos
30. Construa em papel quadriculado um plano cartesia- no e represente os pontos: M (5, 4), N (3, 2 4), P (6, 0), Q ( 2 4, 3), R ( 2 3, 2 6), S (7, 2 3), T (0, 2 2), U (2, 1), V (0, 7). 31. O gráfico a seguir indica a variação da inflação no Brasil, medida com o Índice de Preços ao Consumi- dor Amplo (IPCA) em função do tempo.
a) O gráfico representa uma função? Justifique sua resposta. b) Indique em que ano houve o maior e menor IPCA registrado, considerando o período representa- do no gráfico. c) Represente em seu caderno alguns pares orde- nados que pertencem ao gráfico dessa função.
27. Determinar o valor de m para que o ponto P ( m 2 3, 2) pertença ao eixo das ordenadas. Resolução O ponto P deve estar sobre o eixo Oy , ou seja, a abscissa desse ponto deve ser igual a zero. Assim: m 2 3 5 0 ä m 5 3. 28. Verificar se o par ordenado (2, 1) pertence ao gráfico da função definida com domínio e imagem no con- junto dos números reais, tal que ƒ( x ) 5 2 2x 1 3. Resolução O par ordenado (2, 1) tem abscissa 2 e ordenada 1, ou seja, x 5 2 e y 5 1. Para que ele pertença ao grá- fico da função definida pela lei de correspondência ƒ( x ) 5 22 x 1 3 é preciso verificar se ƒ(2) 5 1. Como ƒ(2) 5 2 2 ∙ (2) 1 3 5 2 1, o par ordenado (2, 1) não pertence ao gráfico da função.
y
0 x
P ( m 2 3, 2) 5 (0,2)
Exercícios propostos
y
x
3 2 1
(^21) 22 23
(^23 22 21 0 1 2 3 )
29. Determinar o domínio e a imagem da função re- presentada pelo gráfico.
Portanto, D (ƒ) 5 { x R 22 x 1} e Im (ƒ) 5 { x (^) R 23 x 3}.
y
23 22 21 0 1 2 3 4 x
3 2 1
(^21) 22 23
32. O ponto P ( k 2 9, 2 k 2 8) pertence ao eixo das abscissas. a) Qual é o valor de k? b) Quais são as coordenadas do ponto P? 33. O gráfico abaixo representa uma função.
a) Determine o domínio e a imagem dessa função. b) Verifique se os pontos determinados pelos pa- res ordenados (1, 1), ( 2 1, 2) e (0, 0) pertencem ao gráfico da função. c) Determine qual é o valor mínimo que essa fun- ção assume.
Dados obtidos em: http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 12 jun. 2008.
Histórico da inflação (IPCA % a.a.) no Brasil IPCA %
Ano
14 12 10 8 6 4 2 0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
8,
5,
7,
12,
9, 7, 5,
3,
4,
y
22 21 0 1 2 3 4 x
4 3 2 1
(^21) 22 23
Resolução O domínio e a imagem da função são obtidos projetando o gráfico respectivamente nos eixos Ox e Oy.
4 Introdução às funções
Duas grandezas, x e y , são inversamente proporcionais quando satisfazem duas condições. (^) Os valores de x aumentam quando os de y diminuem, e vice-versa. O produto x? y é constante, ou seja, x? y 5 k , com k. 0.
Definição
x 1? y 1 5 x 2? y 2 5 x 3? y 3 5 x 4? y 4 5 k
x e y são inversamente proporcionais
xy 5 k à y 5 k __ x
x 4^ y^1 x 3 y 2 x 2 y 3 x 1 y 4
Proporcionalidade inversa
A seguir são apresentadas duas outras situações que apresentam a relação
entre duas grandezas.
Na situação que relaciona os lados de um retângulo, uma grandeza depen-
de da outra. Além disso, o produto dessas grandezas é constante, isto é, as
grandezas x e y estão em uma relação de proporcionalidade inversa. Essa re-
lação de proporcionalidade inversa pode ser expressa por y 5 1 __ x. Já na situa-
ção que relaciona a massa e o tempo, as grandezas estão em uma relação de
dependência, porém não de proporcionalidade.
Relação entre os lados de um retângulo Relação entre massa e tempo A tabela indica alguns valores possíveis para os lados x e y de retângulos cuja área seja igual a 1 m^2.
x (m) __ 81 __ 41 __^23 1 dXX 5 3
y (m) 8 4 __^32 ___^1 dXX 5 __^1 3 Analisando o retângulo, dois fatos podem ser verificados.
- Se a medida x aumenta, a medida y diminui.
- O produto x ∙ y é igual a uma constante k , por exemplo, __^1 8?^8
__^1 4?^4
(^2) __ 3?^
(^3) __ 2 5 1?^1 dXX 5? ___^1 dXX 5 5 3?^
__^1 3 5 1
A massa de determinado elemento radioativo que se desintegra diminui com o passar do tempo. A tabela abaixo mostra a desintegração desse elemento com massa inicial de 100 g após 48 anos.
Massa (g)^100 50 25 12,5^ 6,25^ 3,12^ 1, Tempo (anos) 0 8 16 24 32 40 48
Nessa situação, a grandeza massa m diminui enquanto a grandeza tempo t aumenta. Porém, o produto entre as grandezas não é igual a uma constante k , por exemplo, 100? 0 50? 8 25? 16 12,5? 24 6,25? 32 3,12? 40 1,56? 48 isto é, não é possível expressar os valores da tabela por uma relação m 5 k __ t
O esquema a seguir representa uma proporcionalidade inversa entre x e y.
Uma relação de proporcionalidade inversa pode ser interpretada como
uma função ƒ, desde que sejam redefinidos os objetos conforme a seguir.
O conjunto dos possíveis valores de uma grandeza será o domínio D.
O conjunto dos possíveis valores da outra grandeza será a imagem Im.
A relação de proporcionalidade será a lei de correspondência da funçãoƒ,
ou seja, ƒ( x ) 5 __ k x.
Por exemplo, a relação de proporcionalidade inversa entre os lados de
retângulos cuja área mede 1 m^2 representa uma função ƒ, uma vez que
ƒ: R^1 é R^1 ; ƒ( x ) 5 k? 1 __ x.
x
y
Constante de proporcionalidade ` A constante k de uma proporcionalidade direta ou de uma proporcionalidade indireta é denominada constante de proporcionalidade.
Saiba mais
37. Durante um dia chuvoso foram registrados o au- mento do nível da água de um rio e o tempo de chuva em horas. Aumento do nível de água (cm)
Tempo de chuva (h) 26 2 39 3 52 4 65 5 91 7 117 9
a) Verifique se as grandezas aumento no nível de água e tempo de chuva estão em uma relação de proporcionalidade direta. b) Represente por uma fórmula matemática a re- lação entre os dados da tabela. c) Determine o aumento no nível do rio após 13 horas de chuvas.
38. Três pessoas constroem um muro em cinco dias. Quantas pessoas são necessárias para construir o mesmo muro em sete dias e meio? 39. Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minu- tos. Em uma hora e meia, quantos litros de água ela fornecerá?
Exercícios resolvidos
34. Determinada máquina produz 100 peças em 40 minutos. Quantas peças essa máquina produ- zirá se trabalhar por duas horas no mesmo ritmo de produção? Resolução Existe uma proporcionalidade direta entre as gran- dezas quantidade de peças e tempo. De fato, se o tempo de trabalho da máquina aumenta, a quanti- dade de peças produzidas também aumenta. Considere as duas grandezas: t : tempo de funcionamento da máquina; n : quantidade de peças produzidas.
De n __ t 5 100 ____ 40 5 2,5, é possível escrever a relação
n 5 2,5 t. Como 2 horas 5 120 minutos, basta substituir t 5 120 na relação n 5 2,5 t. Assim, n 5 2,5 t ä n 5 2,5? 120 5 300. Portanto, a máquina produzirá 300 peças em 2 horas de funcionamento.
35. Dois pintores gastam 15 horas para pintar uma parede. Quanto tempo 5 pintores levariam para fazer o mesmo serviço?
Exercícios propostos
Resolução Se aumenta o número de pintores, o tempo do serviço diminui, portanto as grandezas tempo e número de pintores são inversamente propor- cionais. Adota-se: t : tempo para pintar a parede; n : número de pintores. Se n e t são inversamente proporcionais, então: n? t 5 2? 15 5 30. Assim, t 5 ___^30 n
Para encontrar o tempo que 5 pintores gastariam para fazer o mesmo serviço, basta substituir n 5 5 em t 5
30 ___
n ä^ t^^5
___^30
Os 5 pintores levariam 6 horas para pintar a parede.
36. Determinar os valores de x e y para que as sequências (2, 4, x ) e (6, y , 18) sejam diretamente proporcionais. Resolução Para isso é preciso determinar a constante de pro- porcionalidade, k 5 6 __ 2 5 3, portanto k 5 3. Então: __^ y 4 5
18 ___
x^5 3. Resolvendo as equações:^
y __ 4 5 3 ä ä y 5 12 e ___^18 x 5 3 ä x 5 6. Logo, x 5 6 e y 5 12.
40. A distância entre duas cidades é de 720 km. O tempo de viagem de um automóvel que vai de uma cidade a outra depende da velocidade mé- dia mantida durante o percurso.
Velocidade média (km/h) Tempo^ (h) 80 9 60 12 50 14, 30 24
a) Verifique se velocidade média e tempo estão em uma relação de proporcionalidade. b) Represente por uma fórmula matemática a re- lação entre os dados da tabela. c) Determine que velocidade média o automóvel deve manter para terminar o percurso em 10 h.
41. Sabe-se que x e y são grandezas diretamente proporcionais e que y 5 15 quando x 5 3. a) Escreva uma fórmula matemática que relacio- ne y com x. b) Determine o valor de y quando x 5 7. c) É possível afirmar que x e y estão em uma re- lação de proporcionalidade?
Disponível em: <http//:www.portalbrasil.net>. Acesso em: 12 jun. 2008.
Função e gráfico
53. Observe o gráfico da função e responda às questões.
a) A relação entre o saldo da balança e o ano é de proporcionalidade? Justifique. b) O gráfico representa uma função? Explique.
56. Observe a tabela de preços de uma loja de vendas no atacado.
Quantidade de peças Preço por unidade (RS|| ) Até 50 2, Acima de 50 1, Acima de 100 1, Acima de 1 000 0,
a) As grandezas quantidade de peças e preço por unidade estão em uma relação de proporciona- lidade? b) Escreva em seu caderno a lei de correspondên- cia que relaciona as grandezas quantidade de peças e preço , em reais, por unidade.
a) Qual é o domínio de g? b) Qual é a imagem de g?
Função e proporcionalidade
54. Durante um experimento, um pesquisador concluiu que determinada colônia de bactérias cresce se- gundo a função n ( t ) 5 2 t^^1 4 , em que n representa o número de bactérias e t o tempo em horas. a) Qual o número inicial de bactérias nessa colô- nia? (Considere t 5 0.) b) Qual o número de bactérias após 2 horas? E após 6 horas? c) As grandezas número de bactérias e tempo estão em uma relação de proporcionalidade? Justifique sua resposta. 55. O saldo da balança comercial de um país é a dife- rença entre o valor das exportações e o valor das importações. Observe o gráfico a seguir e respon- da às questões em seu caderno.
Saldo da balança comercial brasileira (1993-2007)
50, 40, 30, 20, 10, 0, —10, —20,
93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
12,9 (^) 10,
—3,2 (^) —5, —8,4^ —6,
—1,3 —0,
2,
13,
24,
33,
44,
46, 40,
Período
USS| (milhões)
Desafios de lógica
57. Em uma competição de ciclismo, Israel dá uma volta completa na pista em 32 segundos e Edu- ardo, em 30 segundos. Quantas voltas Israel estará completando quando Eduardo comple- tar a volta de número 80? 58. Um estacionamento para carros cobra 1 real pela primeira hora e 75 centavos a cada hora ou fração de hora seguinte. Ivone estacionou seu carro às 13 horas e 10 minutos e saiu às 17 horas e 30 minutos. Quanto ela pagou pelo estacionamento de seu carro? 59. Segundo a receita da vovó Ana, para fazer 12 boli- nhos são necessários, exatamente, 400 gramas de farinha, 100 gramas de açúcar, 50 gramas de manteiga e meio litro de leite. Seguindo essas proporções da receita, com 500 gramas de açú- car, 300 gramas de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilogramas de farinha é possível fazer, no máximo, quantos bolinhos? 60. Todos os habitantes do planeta XY possuem 3 pernas e cada carro possui 5 rodas. Em um conjunto de 97 pernas e rodas, analise as se- guintes afirmações. a) é possível que existam dezenove carros nesse conjunto. b) existem no máximo dezesseis carros nesse conjunto. c) esse conjunto pode ser composto de quatorze carros e nove habitantes. d) esse conjunto possui no máximo dezessete carros. e) nesse conjunto existem menos habitantes do que carros.
y 4 3 2 1
(^21) 22 23
24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6^ x
g
L
L
A
4 Introdução às funções
Integre o aprendizado Integre o aprendizado
61. O número de diagonais d de um polígono convexo é dado em função do número n de lados por: d ( n ) n _______^2 ^3 n 2 a) Quantas diagonais tem um polígono convexo de 90 lados? b) Qual é o número de lados de um polígono convexo que tem 170 diagonais? c) Qual é o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados? 62. Dois líquidos foram aquecidos a partir de 0 °C. O aumento de temperatura em função do tempo foi representado no gráfico abaixo.
a) Qual líquido aquece mais rapidamente? b) Após dois minutos do início de aquecimento, quais eram as temperaturas dos líquidos? c) Qual era a temperatura do líquido 1, quando o líquido 2 estava a 60 °C?
63. Inácio quer encher uma piscina com capacidade para 54 000 litros. Para realizar essa tarefa, ele utilizará uma torneira com uma vazão (quantidade de água que sai da torneira) de 900 litros por hora. Copie e complete a tabela. Em seguida, responda às questões.
Horas Vazão da torneira (litros) 1 \\\\\\\\\\\\\\\\\\
5 \\\\\\\\\\\\\\\\\\
10 \\\\\\\\\\\\\\\\\\
15 \\\\\\\\\\\\\\\\\\
20 \\\\\\\\\\\\\\\\\\
25 \\\\\\\\\\\\\\\\\\
30 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\
a) Quantas horas são necessárias para encher me- tade da piscina? b) Em quantos dias a piscina estará cheia, se man- tida essa vazão?
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,
Líquido 2
Líquido 1
Curva de aquecimento
120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Tempo (min)
Temperatura (°C)
64. Pesquisa e tomada de decisão. Observe o boleto bancário que deverá ser pago em 10 de setembro de 2012 a uma empresa de venda de material de construção. BANCO ZZZ Pagável em qualquer agência bancária até a data de vencimento.
Vencimento 10/09/ Cedente Pisos e Tintas — Material de Construção Ltda.
() Valor do documento RS||^ 236, Instruções No caso de pagamento em atraso, cobrar multa de RS|| 15,50 mais RS|| 0,50 por dia de atraso.
() Descontos RS|| 0, () Multa () Valor cobrado
Considere V ( x ) o valor total a ser pago pelo boleto após o dia de vencimento, em que x é o número de dias de atraso no pagamento. a) Quanto será pago pelo boleto, se este for quita- do até a data de vencimento? b) Qual é a expressão que define V ( x ), após o ven- cimento? c) Qual é a variável independente nessa função? d) Quanto será pago no 5o^ dia após o vencimento? e) O boleto bancário é uma forma de pagamento muito utilizada no dia a dia. Cada grupo de 4 ou 5 alunos deve trazer um boleto bancário para a sala de aula e formular questões que possam ser respondidas a partir dos dados obtidos nes- se boleto. Depois, deve resolver a atividade de outro grupo.
65. Do alto de uma torre, um objeto parte do repouso em queda livre segundo a lei h ( t ) 5? t^2 , em que h é a altura em metros e t o tempo em segundos. Sabendo que a altura da torre é de 45 metros, de- termine qual o tempo de duração da queda livre desse objeto. 66. A área de um quadrado depende da medida de seu lado. a) Copie a tabela abaixo em seu caderno e complete-a.
Lado (cm) Área (cm 2 ) 1 1 2 4 3 \\\\\\\\\
\\\\\\\\\\ 16 4,5 \\\\\\\\\
\\\\\\\\\\ 36 8,2 \\\\\\\\\\
b) Escreva uma fórmula que expresse a área do quadrado em função da medida do lado.
Matemática e soCIEDADE
[Muitas famílias brasileiras passaram a integrar a
classe média] [...], segundo uma pesquisa divulga-
da na semana passada pela Fundação Getúlio Var-
gas (FGV), do Rio. De acordo com esse estudo, nos
últimos seis anos cerca de 20 milhões de brasileiros
deslocaram-se da base para o miolo da pirâmide so-
cial. Até há pouco tempo classificados como pobres
ou muito pobres, eles melhoraram de vida e [...] co-
meçam a usufruir vários confortos típicos de classe
média. Sua ascensão social revela uma excelente no-
vidade: pela primeira vez na História, a classe média
passa a ser maioria no Brasil. São hoje 52% da popu-
lação (eram 44% em 2002) – ou 100 milhões de bra-
sileiros, segundo a FGV. [...]
Em sua pesquisa, a FGV definiu como classe média as
famílias com renda mensal entre RS|| 1 065 e RS|| 4 591.
Esse universo de 100 milhões de brasileiros é for-
mado sobretudo pelos ex-pobres que acabam de pôr
o pé na classe média. Alguns estudiosos chamam esse
segmento de classe média baixa, outros falam em clas-
se C. Para muitos, é difícil classificá-los. O certo é que
A nova classe média do Brasil
Como vivem esses 100 milhões de brasileiros e o que eles representam para o futuro do país
melhoraram de vida. Anos atrás, não tinham conta em
banco, consumiam apenas o essencial e seu princi-
pal objetivo na vida era chegar ao fim do mês com as
contas pagas. Hoje, estão comprando o primeiro carro
zero, construindo um cômodo a mais na casa, se ves-
tem melhor. [...]
Entre os brasileiros que ascenderam à nova classe
média, mais da metade estudou menos de três anos.
Isso significa que eles não terminaram a 4 a^ série do en-
sino fundamental. [...] Embora tenham conquistado
uma renda maior, essa faixa corre o risco de perder es-
paço no mercado pela crescente exigência por qualifi-
cação profissional. [...]
Segundo o Ministério do Trabalho, os trabalhadores
que mais perdem espaço no mercado são os que não
completaram a 4a^ série. Entre 2005 e 2006, o saldo en-
tre admitidos e desligados com essa escolaridade foi ne-
gativo: menos 120 mil vagas. Com o avanço da tecno-
logia, a tendência é que se alargue a distância entre a
demanda por mão de obra qualificada e a oferta de tra-
balhadores sem estudo.
David Friedlander, Ivan Martins e Peter Moon, com Martha Mendonça e Ricardo Mendonça. Revista Época , n. 542, 11 out. 2008.
A supremacia da classe C Segundo a FGV, a pobreza despencou desde 2002. Com isso o miolo da pirâmide engordou e agora é maioria absoluta
Elite (classes A e B ) renda familiar acima de RS||^4
Pobres (classe E ) renda abaixo de RS|| 768
Classe média (classe C ) de RS||^1 065 até RS||^4
Remediados (classe D ) de RS||^768 até RS||^1
Em 2002 Hoje
13 %
44 %
12,5%
30,5%
15,5%
52 %
14 %
18,5%
Sobre o texto
1. Cite alguns confortos que caracterizam a inserção de uma pessoa na classe média. 2. Segundo o texto, grande parte das pessoas que ingressaram na classe média continuará tendo uma melhoria nas condições de vida? Justifique sua resposta. 3. Você considera adequado o critério utilizado na pesquisa? Justifique. Que outros critérios poderiam ter sido utilizados? Os resultados da pesquisa seriam diferentes com outros critérios?
Roteiro de estudos
Proporcionalidade direta:duas grandezas, x e y , são diretamente proporcionais quando satisfazem duas condições: a) O valor de x aumenta e o correspondente valor de y também aumenta ou vice-versa. b) A relação __ yx 5 k , com k constante e positivo.
Proporcionalidade inversa:duas grandezas, x e y , são inversamente proporcionais quando satisfazem duas condições: a) Os valores de x aumentam quando os de y dimi- nuem, e vice–versa. b) O produto x? y 5 k , com k constante e positivo.
Desafio 4 (OBM) Entre 1986 e 1989, época em que vo- cês ainda não tinham nascido, a moeda do país era o cruzado (CzS||^ ). Com a imensa inflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, finalmente, o real. A conversão entre o cruzado e o real é:
1 real 5 2 750 000 000 cruzados
Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse de receber seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se uma pilha de 100 notas novas tem 1,5 cm de altura, o salário em cruza- dos de João faria uma pilha de altura: a) 26,4 km b) 264 km c) 26 400 km d) 264 000 km e) 2 640 000 km
Plano cartesiano:é um sistema formado por um pla- no contendo duas retas reais perpendiculares entre si, que se cruzam no ponto O , denominado origem do sistema de coordenadas. Representações das funções:as funções podem ser representadas graficamente por meio de tabelas, dia- gramas ou esquemas, ou no plano cartesiano. Gráfico de uma função:é o conjunto de pares orde- nados ( x , y ), que tenham x pertencente ao domínio da função e y 5 ƒ( x ).
Desafio 3 Um retângulo cujos lados medem a e b , com a , b R, tem perímetro 40.
a) Determine a lei de correspondência que dá o valor de a em função de b. b) Determine o domínio, o contradomínio e a imagem dessa função. c) Represente o gráfico dessa função. d) Determine os valores de a e b para que o retângulo seja um quadrado.
a
b
Funçãoƒ: Dados dois conjuntos A e B , não vazios, a função ƒ é uma regra de correspondência ou lei de correspondência que associa cada elemento x A a um único elemento y B. Domínio e contradomínio:Dada uma função ƒ de A em B , o conjunto A é denominado domínio da função ƒ e o conjunto B , contradomínio dessa função. O do- mínio é denotado por D (ƒ) ou D e o contradomínio, por CD (ƒ) ou CD. Imagem de uma função:A imagem ƒ( x ) da função é o valor correspondente y D assumido pela função ƒ para cada x D.
Desafio 1 Há uma relação utilizada por profissionais da saúde que se chama “relação cintura-quadril”. É consi- derada uma das melhores maneiras de avaliar o risco de ataque cardíaco associado à obesidade. O índice é consi- derado normal quando:
homem cintura (cm) quadril (cm)^5 0,
mulher cintura (cm) quadril (cm)^5 0, Quanto mais baixo o índice, melhor. Defina duas funções — uma para homem e outra para mulher — que relacionem as medidas da cintura e do quadril com o índice. Desafio 2 A função ƒ é dada pela tabela a seguir. x 1 2 3 4 ƒ ( x ) 4 3 1 2
Função
Função e gráfico
Função e proporcionalidade
Retome os conteúdos com os exercícios propostos do 30 ao 33 e com o exercício complementar 53. Resolva os exercícios 5, 7, 8, 13, 19 e 20 de Vesti- bular e Enem.
Calcule o valor de ƒ(ƒ(...(ƒ(ƒ (3)))...)). 640 vezes
Retome os conteúdos com os exercícios propostos do 12 ao 25 e com os exercícios complementares 43, 46, 48, 49, 51 e 52. Resolva os exercícios 3 e 15 de Vestibular e Enem.
Retome os conteúdos com os exercícios propostos do 37 ao 41 e com os exercícios complementares do 54 ao 56. Resolva o exercício 2 de Vestibular e Enem.
