Provas de Cálculo Vectorial e Geometria Analítica UFPB - 2006.2, Provas de Engenharia Mecânica

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Provas de C´alculo Vetorial e Geometria

Anal´ıtica

Per´ıodo 2006.

S´ergio de Albuquerque Souza

19 de junho de 2007

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA

IBA

CCEN - Departamento de Matem´atica

http://www.mat.ufpb.br/vetorial

1

a

Prova C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica

Prof.: Data: 15/Mar/2007 Turno: Manh˜a

Curso: Nome:

Turma(s): Per´ıodo: 06.2 Matr´ıcula:

Obs.: Considere a constante K como sendo o ´ultimo n´umero da sua matr´ıcula ⇑⇑⇑

a Quest˜ao (2,0) Em um paralelogramo ABCD qualquer, sejam M e N

os pontos m´edios dos lados AB e AD, respectivamente. Mostre que

CM −

N C =

CA

a Quest˜ao (2,0) Sabendo que ||

u || =

v || = (2K + 2) e que 30

o

´e medida do ˆangulo entre os vetores

u e

v , determine o produto interno

entre os vetores (

u +

v ) e (

u −

v ).

a Quest˜ao (3,0) Dados os pontos A = (1, K, 1), B = (3, K − 1 , 1) e

C = (1, K − 2 , 3).

a) Mostre que A, B e C s˜ao v´ertices de um triˆangulo.

b) Esse triˆangulo ´e equil´atero?

c) Determine a ´area desse triˆangulo.

a Quest˜ao (3,0) Considere os vetores

a = 3

i +

k,

b = (9 − K)

i − 2

j −

k

e

c = 2

i +

k.

a) {

a ,

b ,

c } ´e uma base para o R

3 ? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.

Se verdadeiro, esta base ´e ortogonal?

b) Escreva o vetor

i como combina¸c˜ao linear dos vetores

a ,

b e

c

Boa Sorte

C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Prof.:

1

a Prova - 06.2 Data: 15/Mar/2007 Turma(s): - Manh˜a

Nome:

Matr´ıcula:

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA

IBA

CCEN - Departamento de Matem´atica

http://www.mat.ufpb.br/vetorial

2

a

Prova C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica

Prof.: Data: 19/Abr/2007 Turno: Manh˜a

Curso: Nome:

Turma(s): Per´ıodo: 06.2 Matr´ıcula:

Observa¸c˜ao: Em toda as quest˜oes desta prova, substitua a constante K por.

a Quest˜ao (3,0) Dados os pontos A = (1, K, 1), B = (3, K + 1, 2) e

C = (2, K − 2 , 3), determinar todas as equa¸c˜oes:

a) da reta r definida pelos pontos A e B;

b) do plano π que cont´em a reta r e o ponto C.

a Quest˜ao (3,0) Considere a reta n cujas as equa¸c˜oes param´etricas s˜ao

n :

x = − 1 + t

y = 2 + t

z = 2 − K + t

a) determinar as equa¸c˜oes do plano γ que cont´em o ponto A = (1, K, 1)

e ´e perpendicular `a reta n ;

b) o ponto C pertence ao plano γ?

a Quest˜ao (4,0) Determinar a posi¸c˜ao relativa, distˆancia, ˆangulo e in-

terse¸c˜ao, caso existam, entre:

a) a reta m :

x + 1

y − 1

z + K

e a reta n, definida na quest˜ao

anterior;

b) a reta n e o plano ξ :

x = 2 − p + q

y = 1 − p + q

z = 3 + p + q

Boa Sorte

C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Prof.:

2

a Prova - 06.2 Data: 19/Abr/2007 Turma(s): - Manh˜a

Nome:

Matr´ıcula:

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA

IBA

CCEN - Departamento de Matem´atica

http://www.mat.ufpb.br/vetorial

2

a

Prova C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica

Prof.: Data: 19/Abr/2007 Turno: Tarde

Curso: Nome:

Turma(s): Per´ıodo: 06.2 Matr´ıcula:

Observa¸c˜ao: Em toda as quest˜oes desta prova, substitua a constante K por.

a Quest˜ao (3,0) Dados os pontos C = (1, 1 , K), D = (3, 2 , K + 1) e

E = (2, 3 , K − 2), determinar todas as equa¸c˜oes:

a) da reta m definida pelos pontos D e E;

b) do plano ξ que cont´em a reta m e o ponto C.

a Quest˜ao (3,0) Seja φ o plano cujas as equa¸c˜oes param´etricas s˜ao

φ :

x = 2 − p + q

y = 3 + p + q

z = 1 − p + q

a) determinar as equa¸c˜oes da reta n que cont´em o ponto C = (1, 1 , K) e

´e perpendicular ao plano φ ;

b) o ponto C pertence ao plano φ?

a Quest˜ao (4,0) Determinar a posi¸c˜ao relativa, distˆancia, ˆangulo e in-

terse¸c˜ao, caso existam, entre:

a) a reta r : x + 1 =

y + K

z − 1

e a reta s :

x = − 1 + t

y = 2 − K + t

z = 2 + t

b) a reta r e o plano φ definido na quest˜ao anterior.

Boa Sorte

C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Prof.:

2

a Prova - 06.2 Data: 19/Abr/2007 Turma(s): - Tarde

Nome:

Matr´ıcula:

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA

IBA

CCEN - Departamento de Matem´atica

http://www.mat.ufpb.br/vetorial

3

a

Prova C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica

Prof.: Data: 24/Mai/2007 Turno: Tarde

Curso: Nome:

Turma(s): Per´ıodo: 06.2 Matr´ıcula:

a

Quest˜ao (3,0) Dada a cˆonica de equa¸c˜ao

9 x

2

+ 25y

2

+ 18x + 50y = 191

Identifique, esboce e encontre todos os seus elementos, conforme

o caso (v´ertices, focos, distˆancia focal, eixo maior, eixo menor,

diretriz, assintotas, ...).

a

Quest˜ao (3,0) Determine a equa¸c˜ao e esboce o gr´afico da

hiperbole onde um dos v´ertices e um dos focos s˜ao o v´ertice e o

foco da par´abola 4y = x

2

e o eixo imagin´ario desta hiperbole ´e a

reta diretriz da par´abola dada.

a

Quest˜ao (4,0) Identifique e esboce o gr´afico das qu´adricas

abaixo:

a)

x

2

y

2

= z;

b)

x

2

− y

2

z

2

a

Quest˜ao (Extra) Determine as equa¸c˜oes dos planos paralelos

ao plano π : 4x + 3z − 17 = 0 e que sejam tangentes `a superf´ıcie

S : x

2

+ y

2

+ z

2

Boa Sorte

C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Prof.:

3

a Prova - 06.2 Data: 24/Mai/2007 Turma(s): - Tarde

Nome:

Matr´ıcula:

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA

IBA

CCEN - Departamento de Matem´atica

http://www.mat.ufpb.br/vetorial

Final C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica

Prof.: Data: 05/Jun/2007 Turno: Manh˜a

Curso: Nome:

Turma(s): Per´ıodo: 06.2 Matr´ıcula:

a Quest˜ao (1,25) Sejam

a e

b vetores tais que

a.

b = 12, ||

b || = 3

e (

a ,

b ) = π/4. Calcule ||

a || e ||

a −

b ||.

a Quest˜ao (2,25) Considere os vetores

a = 2

i −

j,

b =

j + 2

k e

−→ c =

i + 2

j −

k.

a) {

a ,

b ,

c } ´e uma base para o R

3 ? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA

b) Escreva o vetor

v = 4

i + 2

j como combina¸c˜ao linear dos vetores

a ,

b

e

c

a Quest˜ao (2,25) Determine as equa¸c˜oes do plano π que passa pelos pon-

tos A = (− 1 , 1 , −1), B = (3, − 3 , 1) e C = (1, 2 , −1) e calcule a distˆancia

do plano π `a origem O = (0, 0 , 0).

a Quest˜ao (1,25) Determine as equa¸c˜oes param´etricas da reta r

que passa pelo ponto B = (3, − 3 , 1) e ´e perpendicular ao plano

γ :

x = 1 + 3 p

y = 1 + 2 p + q

z = 3 + 3 q

a Quest˜ao (1,50) Identifique e esboce o gr´afico da cˆonica de equa¸c˜ao

4 x

2

• 9y

2 − 8 x − 54 y + 49 = 0, determinando todos os seus elementos.

a Quest˜ao (1,50) Identifique e esboce a superf´ıcie x

2

• y

2 − z

2 = 1,

exibindo e identificando cada interse¸c˜ao encontrada da superf´ıcie com os

planos.

Boa Sorte

C´alculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Prof.:

Final - 06.2 Data: 05/Jun/2007 Turma(s): - Manh˜a

Nome:

Matr´ıcula: