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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA
I.PROJETO DE SISTEMAS CONTÍNUOS AMOSTRADOS
É muito comum controlar processos contínuos, através de controladores discretos (por exemplo, microcomputadores). Para se fazer a análise de estabilidade, ou de resposta, tem-se duas alternativas.
Projeto por Emulação : é possível fazer o projeto de um controlador contínuo devido à experiência do projetista adquirida em processos contínuos, e depois encontrar seu equivalente discreto. Assim, pode-se fazer o projeto do controlador contínuo, C(s), procurando atender às especificações e em seguida discretizar o controlador obtendo o equivalente discreto, C(z). Neste caso, deve ser adicionado o modelo contínuo do Segurador de Ordem Zero no projeto do compensador.
Projeto em tempo discreto : discretizar o sistema contínuo, considerando o segurador de ordem zero, e analisar todo o sistema como se fosse discreto.
Neste capítulo será visto o projeto em tempo discreto, utilizando o método do lugar das raízes no plano Z.
II.PROJETO EM TEMPO DISCRETO
Consiste em discretizar a planta analógica, obtendo o seu modelo equivalente digital. Em seguida é feito o projeto no tempo discreto para obter um compensador digital.
Para este projeto pode ser utilizado o método Lugar das Raízes, ou um dos métodos em freqüência (Bode, Nyquist ou Nichols)
Nesta parte da matéria será visto o projeto utilizando o lugar das raízes no plano Z.
III.PROJETO NO LUGAR DAS RAÍZES NO PLANO Z
III.1. INTRODUÇÃO
O projeto do lugar das raízes no plano Z é uma técnica onde se busca colocar os pólos em malha fechada em determinado local, para atender às especificações do projeto. Algumas vezes, pode-se obter o resultado desejado alterando-se apenas o ganho, em outras vezes será necessário acrescentar pólos e/ou zeros.
Os compensadores permitem variar o ganho do sistema, e incluir pólos e zeros. E com isso, as raízes da planta em malha fechada são posicionadas em diferentes lugares.
O projeto no plano Z é feito em cima do traçado do lugar das raízes da função de transferência em malha aberta.
O traçado do lugar das raízes no plano Z é feito da mesma forma que no plano S. Apenas a interpretação com relação à estabilidade e resposta na saída é diferente. No plano S o sistema será estável enquanto os pólos em malha fechada estiverem no semi- plano esquerdo.
No plano Z , o sistema será estável enquanto os pólos em malha fechada estiverem dentro de um círculo de raio 1.
Dado o sistema discretizado em malha fechada:
A função de transferência é dada por
O método do lugar das raízes ajuda a traçar graficamente as raízes do polinômio característico: 1 + K C(z) D(z) G(z) = 0. As raízes do polinômio característico (que equivalem aos pólos em malha fechada) definem o comportamento transitório, resposta em freqüência e estabilidade.
Exemplo III.2 : Determine o ganho máximo que ainda pode manter o sistema estável. Período de amostragem T=1s.
O lugar das raízes é mostrado na figura abaixo: Para se desenhar o lugar das raízes pode ser usado o critério de ângulo que diz que para um ponto pertencer ao lugar das raízes, o somatório dos ângulos dos vetores formados por linhas ligando os pólos a este ponto, menos o somatório dos vetores formados por linhas ligando os zeros a este ponto, deve ser 180o^ ou (N+1)180º.
Para se determinar o ganho máximo que ainda mantém o sistema estável, pode ser utilizado critério de módulo.
O critério de módulo possibilita calcular o ganho k em um determinado ponto do lugar das raízes. Do ponto em questão são desenhados vetores para os pólos e zeros. Mede-se o valor em módulo destes vetores. O valor de k será o produtório dos vetores dos pólos em relação a este ponto dividido pelo produtório dos vetores dos zeros em relação a este ponto.
G(z) = z. 6, (z-1) (z-0,368)
G(z) K
Plano S Plano z
G(z)
D(z)
C(z) = K C(z)G(z) U(z) 1 + K C(z)G(z)D(z)
KC(z)
É possível implementar um compensador avanço de fase (zo> zp) ou um atraso de fase (zo< zp). Como primeira tentativa vamos propor um compensador atraso de fase, com zo = -0,5 e zp = 0,5. Gc = Kc (z+0,5)/(z-0,5).
O lugar das raízes é mostrado na figura abaixo:
Pela figura acima é possível verificar que o sistema será sempre instável, pois o lugar das raízes se encontra fora do círculo unitário.
Como Segunda tentativa vamos propor um compensador avanço de fase, com zo=0,5 e zp=-0,5. Gc = kc (z – 0,5)/(z+0,5).
É possível verificar que o sistema será estável para Kc entre 0 e 1,665. Deste exemplo pode-se concluir que o zero atrai o lugar das raízes para dentro do circulo unitário.
III.4.Exercícios : 1)Para o sistema do exemplo anterior, calcule Kp, Kv e Ka.
- Projete um compensador para se ter =0,3.
- Projete um compensador para o sistema do exemplo 1.2, para obter ts=0.5 e qsi=0.7.
Gc = Kc z – zo z - zp
III.5. COMPENSADORES
É possível alterar as características de um sistema incluindo compensadores. Estes compensadores podem ser do tipo PID, avanço de fase ou atraso de fase.
IV.Exemplo de PROJETO NO PLANO Z - 10/12/
Vamos fazer o projeto no plano Z tendo como requisitos tempo de assentamento (estabilização), máximo sobressinal (overshoot) e coeficiente de amortecimento.
Para exemplificar, vamos escolher uma planta G(z) da forma:
O sistema em malha fechada com o compensador D(z) terá a forma:
Na figura seguinte isto é mostrado graficamente.
Escolhe-se o ponto P onde devem ficar um dos pólos dominantes. Este ponto é escolhido em função do , sobressinal e n especificados. Um ramo do lugar das raízes deve passar por este ponto. O critério de ângulo diz que para um ponto pertencer ao
Compensador avanço de fase zo > zp
Gc = kc z – zz z – zp
Exemplo:
Gc(z) = 3.15 (z – 0,9048) (z – 0,7) Kc > 1, se for necessário manter o ganho DC igual a 1.
Compensador atraso de fase zo < zp
Gc = kc z – zz z – zp
Exemplo:
Gc(z) = 0,5 (z – 0,9) (z – 0,95)
Kc < 1, se for necessário manter o ganho DC igual a 1
K 1
(z+c)
Kc (z+a) (z+b)
K 1
(z+c)
A título de comparação, as curvas de , d e n no plano S são mostradas a seguir:
A partir das especificações, obtém-se n= 3 rad/s. Da relação de d obtém-se d = 2,598 rad/s. Para localizar esta reta no plano Z, calculamos dT=0,5196 rad = 29,78o. Esta é a inclinação da reta, partindo da origem.
O módulo é calculado como |z|=e-nT^ = 0,741. O ponto P desejado está localizado em z=0,74129,78º=0,643 + j0,368. Isto é mostrado na figura abaixo:
Discretizando a função: G(z) ={ (1-e-st)/(s*(s+2))}, obtém-se: G(z) = 0,1648/(z - 0,6703). Para o ponto P pertencer ao lugar das raízes o somatório dos ângulos dos zeros menos os pólos deve ser 180o. A singularidades conhecida fornece: polo-planta=94,24o.
Para 180º faltam 85,76º. Assim a relação de ângulos entre o polo e o zero do compensandor deve ser de 85,76º.
Colocando o polo de forma arbitrária em z=0,87, obtém-se um ângulo de polo_compensador =121,67o.
Então para o ponto pertencer ao Lugar das raízes: p - z = 180, isto é: 92,24o^ + 121,67o^ - zero_compensador = 180o, então o zero_planta=33,91o, que são mostrados na figura abaixo.
Como a localização do ponto P (0,643 + j0,368) é conhecida, podemos calcular a localização do zero do compensador. Pela figura abaixo, podemos calcular:
Tg(35,91)=0,368/x, isto é x=0,5082. A localização do pólo será: pólo=0,643 - 0,5082= 0,
A função de transferência total é:
Para calcular o ganho do compensador, vamos aplicar o critério de módulo para que os pólos em malha fechada fiquem no ponto P. Sendo Kp o ganho do ponto P: |Kc| = v1.v2/(0,1648.v3) A função de transferência do compensador é:
OUTRA FORMA DE SE CALCULAR
A equação característica é dada por: 1 + D(z) G(z) = Que pode se escrita como: D(z) G(z) = -
FT= Kc (z - 0,1348) 0, z - 0,87 (z - 0,670)
C(z)= 1,5 (z - 0,1348) (z - 0,87)
Resolvendo esta equação, chega-se ao valor do zero do compensador: z1=0,134, e do ganho Kc=1,54.
V.FÓRMULAS
Mp - máximo overshoot
= constante de tempo ts - tempo de estabilização
n = freqüência natural não amortecida d = freqüência natural amortecida Dado um pólo no plano s:
S= - n j n (1 - ^2 )
Ele é mapeado no plano z:
z=esT^ = e -^ nT^ nT(1 - ^2 ) z= r dT= r r= e -^ nT = nT(1 - ^2 )
EXERCÍCIO: Sendo dados r e deduza as equações para: = f(r, ) n= f(r, ) = f(r, ) Respostas:
= 1 n
ts = 4 n
= - ln r ( ln^2 r + ^2 )
n = 1 ( ln^2 r + ^2 ) T
= - T = 1
ln r n
VI. OUTRO EXEMPLO DE PROJETO NO PLANO Z
Para este projeto vamos definir que o pólo e o zero do compensador devem ficar bem próximos, para que eles não alterem de forma significativa o lugar das raízes. Isto evitará que tenhamos que redesenhar o lugar da raízes após a inclusão do compensador.
Pelo critério de ângulo se o pólo e o zero estiverem bem próximos, os ângulos formados por eles irão se anular e isto fará que o lugar das raízes não sofra alterações significativas.
Partimos da especificação do coeficiente de amortecimento e do valor do erro em regime (ou da constante de erro).
Resumo do projeto:
Calcular o valor do erro em regime. Para isto deve-se calcular a constante de erro (kv ou Kp) do sistema original.
Verificar se este valor atende à especificação do problema. Se não atender incluir um ganho (ke) multiplicando a equação em malha aberta, de tal forma que o ganho DC atenda o valor da constante de erro.
Traçar o lugar das raízes e verificar qual é o valor do ganho (K) que atende o valor do coeficiente de amortecimento (),
Escrever a equação em malha aberta, levando em conta o compensador e o ganho Ke. Obs: neste caso os ganhos da planta estão em Kg
Para atender a condição do coeficiente de amortecimento (K ) deve-se calcular: K = Ke.Kc.Kg. Então Kc= K/ Ke.Kg.
O ganho DC do compensador deve ser unitário, para não alterar a constante de erro, isto é: Kc=(1 – zp)/(1 – zz)
Ke. Kc ( z – zz) Kg G(z) (z – zp)
Ke deve atender o valor da constante de erro
O produto dos ganhos Ke.Kc.Kg deve atender a condição de especificada
O ganho DC do compensador deve ser unitário, isto é: Kc=(1 – zp)/(1 – zz)
Kg – ganho da planta
Ke. 2,67 = 30 Ke = 11, Cálculo de Kc Da equação em malha aberta
Ke.Kc = 0,67, e da análise anterior o valor de Ke já está definido como ke=11,24. Como o pólo e o zero do compensador estão muito próximos, eles não alteram de forma significativa o Lugar das Raízes. OBS: em qualquer ponto do plano Z, os vetores deste ponto em relação ao pólo e zero são iguais e por isto se anulam.
Então quem define o ponto no Lugar das Raízes é o produto do ganho Ke.Kc, que deve ser 0,67 para garantir o cruzamento do Lugar das Raízes com a linha de =0,2.
Então a partir da relação ke.kc=0,67, com ke=11,24, obtém-se o valor Kc= 5, 10 –^2.
Cálculo do compensador - atraso de fase
Arbitrando o valor do zero (zz = 0,9), obtem-se: zp = 0, A função de transferência final do filtro é:
Desta forma função final compensada, e atendendo o que foi proposto, é:
Deve-se refazer o Lugar das Raízes levando em conta o compensador, verificando-se se houve alteração significativa em relação ao Lugar das Raízes sem compensação.
ke. kc z – zz. z + 1 z – zp (z + 0,5)(z – 0,5)
Gc() = lim Kc z – zz = 1 z 1 z – zp
Gc = 5,9610-^2 (z – 0,90) ( z – 0,99431)
Gt = 11,24. 5,96 10-^2. (z – 0,90 ). (z + 1) (z – 0,99431) (z + 0,5)(z – 0,5)
Lim ke. kc z – zz z + 1 = 30 z 1 z – zp (z + 0,5)(z – 0,5)
Valor = 2,
Valor = 1
Se o Lugar das Raízes com compensador não se alterou, o problema está resolvido.
Na figura abaixo é mostrado o lugar das raízes do sistema compensado.
Como exercício verifique se este compensador alterou ou não de forma significativa o Lugar das Raízes.
c) O erro em regime será: e=1/(1+kp) = 1/31 = 3,2 10-
VII.COMPARAÇÃO COMPENSADORES NO PLANO S E NO PLANO Z
VII.1) Compensador ATRASO DE FASE ( LAG)
Este compensador equivale a um filtro passa-baixa. Como exemplo vamos supor a equação de um compensador atraso de fase como sendo:
Para encontrar a localização dos pólos no plano Z fazemos z=esT. Para este exemplo temos pólo = -1 e zero=-10, no plano S.
No plano Z teremos: pólo= e-1T^ e zero= e-10T
VII.2) Compensador AVANÇO DE FASE ( LEAD)
Este compensador equivale a um filtro passa-alta. Como exemplo vamos supor a equação de um compensador avanço de fase como sendo:
Gc = 1 ( s + 10) 10 (s + 1)
1 10 10 1
Plano S Curva de módulo Plano Z
e-10T^ e-1T
Gc = 10 ( s + 1) (s + 10)
