Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i − 2 j + 5k e v = − 5 i + 6j − 3 k.
O vetor − AB→ ´e tal que A = (2x + 1, 3 y − 2) e B = (x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem ´e v = (− 4 , 12), determine os valores de x e y.
Dados os vetores no plano u = 2i − 5 j e v = i + j, pede-se

(a) o vetor soma u + v; (b) ‖u + v‖; (c) o vetor diferen¸ca u − v; (d) o vetor 3u − 2 v; (e) o produto interno < u, v >; (f ) o ˆangulo formado pelos vetores u e v.

Determine o valor de m se a norma do vetor v = (2m + 2, m − 1 , 2 m − 7) ´e ‖v‖ = 13.
Dados u = (1, 4 , 5), v = (3, 3 , −2) e w = (− 5 , 7 , 1), pede-se:

(a) < u, v >, (b) < w, u >, (c) < 3 u, 2 w > (d) < 3 u − 4 v, 5 w >, (e) < u, v > w.

Escreva o vetor unit´ario na dire¸c˜ao de:

(a) (3, 4), (b) (− 8 , 6), (c) (1, 2 , 3), (d) (− 3 , 12 , −4).

Determine o ponto C tal que − AC→ = 2− AB→ sendo A = (0, −2) e B = (1, 0).
Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor v = (3, 0 , −3), sabendo-se que sua origem est´a no ponto P = (2, 3 , −5).

Quais s˜ao as coordenadas do ponto P ′ , sim´etrico do ponto P = (1, 0 , 3) em rela¸c˜ao ao ponto M = (1, 2 , −1)?
Se u 6 = −→ 0 , ´e correto cancelar u de ambos os lados da equa¸c˜ao u · v = u · w e concluir que v = w? Justifique.
Que condi¸c˜oes devem satisfazer os vetores u e v para que o vetor u + v divida o ˆangulo θ > 0 formado por eles em dois ˆangulos iguais?
Que condi¸c˜oes devem satisfazer os vetores u e v para que sejam v´alidas as seguintes rela¸c˜oes:

(a) ‖u + v‖ = ‖u − v‖; (b) ‖u + v‖ > ‖u − v‖; (c) ‖u + v‖ < ‖u − v‖.

Dados os vetores u = (2, − 3 , 6) e v = (− 1 , 2 , −2), calcule as coordenadas do vetor w bissetriz do ˆangulo formado pelos vetores u e v, sabendo-se que ‖w‖ = 3

Determinar os ˆangulos internos de um triˆangulo ABC, sendo A = (3, − 3 , 3), B = (2, − 1 , 2) e C(1, 0 , 2).
Sabendo que ‖u‖ =

2 , ‖v‖ =

3 e que u e v formam ˆangulo de^34 π, determinar:

(a) |(2u − v) · (u − 2 v)|; (b) ‖u − 2 v‖.

Para cada um dos pares de vetores u e v, encontrar a proje¸c˜ao ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v 1 com v 2 , sendo v 1 ‖ u e v 2 ⊥ u.

(a) u = (1, 2 , −2) e v = (3, − 2 , 1). (b) u = (1, 1 , 1) e v = (3, 1 , −1). (c) u = (2, 0 , 0) e v = (3, 5 , 4). (d) u = (3, 1 , −3) e v = (2, − 3 , 1).

Prove que se u ´e ortogonal a v − w e v ´e ortogonal a w − u, ent˜ao w ´e ortogonal a u − v.
Mostre que se u e v s˜ao dois vetores tais que u + v ´e ortogonal a u − v , ent˜ao ‖u‖ = ‖v‖.
Demonstrar que o vetor w = v − < u, v >< u, u > u ´e perpendicular ao vetor u.

Demonstre que, se v e w s˜ao vetores quaisquer, ent˜ao:

(a) | < v, w > | ≤ ‖v‖ ‖w‖; (b) ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖; (c)

∣∣‖v‖ − ‖w‖

∣∣ ≤ ‖v − w‖.

O produto vetorial ´e associativo? Justifique a sua resposta.
Se v × w = v × u e v 6 = 0, ent˜ao w = u? Justifique.
Demonstre que se v e w s˜ao vetores quaisquer no espa¸co, ent˜ao

‖v × w‖ ≤ ‖v‖ ‖w‖.

Prove a identidade de Lagrange

‖v × w‖^2 = ‖v‖^2 ‖w‖^2 − < v, w >^2.

Mostre que as diagonais de um paralelogramo se interseptam ao meio.
Considere o paralelogramo ABCD e sejam M e N os pontos m´edios dos lados AB e AD, respectivamente. Mostre que − CN−→ + − CM−→ = 3 2

− CA.→

Seja ABCD um quadril´atero qualquer e P, Q, R e S os pontos m´edios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que P QRS ´e um paralelogramo.
No triˆangulo equil´atero ABC, sejam M e N os pontos m´edios dos lados AB e BC, respecti- vamente. Mostre que M BN tamb´em ´e um triˆangulo equil´atero.
Em um triˆangulo ABC sejam M, N e P os pontos m´edios dos lados AB, AC e BC, respec- tivamente. Mostre que − AP→ + − CM−→ + − BN−→ = 0.