Baixe PROBLEMAS SELECIONADOS DE MATEMATICA e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
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Conjuntos Num´ericos
1. Considere as afirmativas onde Q = R − Q:
01. ( ) 6 ∈ N 06. ( )
− 7 ∈ Q
3 /∈ Q 07. ( ) 5
32 ∈ N
03. ( ) 5 ∈ Z 08. ( )
49 ∈ Q
- ( ) 2π ∈ Q 09. ( ) −5 /∈ Z
- ( ) − 2 ∈ Q 10. ( ) e^2 ∈ R Atribuindo a cada uma delas o valor l´ogico de VERDADEIRA ou FALSA pode- se concluir que o n´umero daquelas que s˜ao FALSAS ´e igual a: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
2. Considere as afirmativas onde Q = R − Q:
01. ( ) 4, 999 · · · ∈/ Z 06. ( ) 1, 31999 · · · ∈ Q
2, 25 ∈ Q 07. ( ) 3
−27 /∈ R
5 ∈ Q 08. ( ) 0, 1010010001 /∈ Q
− 2 ∈ R 09. ( ) 3, 1414926535 ∈ Q
05. ( ) −5 /∈ Z 10. ( ) 7
− 5 ∈ R
O n´umero de afirmativas VERDADEIRAS ´e igual a: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
3. Assinale o maior dos n´umeros:
(A) 9, 12344 (B) 9, 123 4 (C) 9, 12 34
(D) 9, 1 234 (E) 9, 1234
4. Dados os n´umeros:
A = 0, 27384951, B = 0, 2738495, C = 0, 27384951, D = 0, 27 384951
E = 0, 27384951, F = 0, 273849512989712888...
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2 Problemas Selecionados de Matem´atica Conjuntos Num´ericos & Opera¸c˜oes
Podemos afirma que: (A) A > F > E > C > D > B (D) B > C > A > F > E > D (B) A > F > B > D > C > E (E) E > A > C > D > F > B (C) F > C > D > B > A > E
5. Se p = 0, 2939 49 , q = 293949 e r = 0, 2939495969798999... ent˜ao
(A) p > q > r (D) r > p > q (B) q > p > r (E) q > r > p (C) r > q > p
6. Atribuindo a cada enunciado abaixo o valor l´ogico de VERDADEIRO ou
FALSO
- ( ) Todo n´umero irracional ´e um n´umero decimal ilimitado.
- ( ) Todo n´umero racional ´e um n´umero decimal limitado.
- ( ) Todo n´umero decimal ilimitado ´e um n´umero real.
- ( ) Todo n´umero decimal limitado ´e um n´umero racional.
- ( ) Todo n´umero decimal ilimitado aperi´odico ´e um n´umero irracional. Conclua que: (A) O segundo ´e verdadeiro e o quinto ´e falso. (B) Os trˆes ´ultimos s˜ao verdadeiros. (C) Somente o quinto ´e verdadeiro. (D) O segundo e o terceiro s˜ao verdadeiros. (E) Somente o terceiro e o quinto s˜ao verdadeiros.
7. O n´umero m´aximo de algarismos no per´ıodo de uma d´ızima peri´odica obtida
a partir do n´umero racional p q onde q ´e um n´umero primo ´e igual a :
(A) q (B) q + 1 (C) 2q (D) q − 1 (E) p + q
8. “O n´umero racional a b onde a e b s˜ao primos entre si possui uma repre-
senta¸c˜ao decimal finita”
- ( ) Se, e somente se, b n˜ao for divis´ıvel por outro primo al´em de 2.
- ( ) Se b n˜ao for divis´ıvel por outro primo al´em de 2.
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14. Se a fra¸c˜ao irredut´ıvel a b ´e equivalente ao inverso do n´umero 0, 58333...
ent˜ao a − b ´e igual a : (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
15. Se x y ´e a fra¸c˜ao irredut´ıvel equivalente ao n´umero decimal ilimitado 0, 5 370
ent˜ao y excede x de: (A) 25 (B) 27 (C) 29 (D) 37 (E) 54
16. Se o n´umero decimal ilimitado peri´odico N = 0, 24568568568... for escrito
sob a forma da fra¸c˜ao irredut´ıvel p q ent˜ao a soma dos algarismos de p + q ´e igual a : (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11
17. Se a b ´e a fra¸c˜ao irredut´ıvel equivalente a 0, 8451 51 onde a e b s˜ao inteiros
positivos, o valor de a + b ´e igual a : (A) 6081 (B) 6083 (C) 6085 (D) 6087 (E) 6089
18. Se o n´umero decimal ilimitado peri´odico N = 0, 011363636... for escrito
sob a forma da fra¸c˜ao irredut´ıvel m n ent˜ao m + n ´e igual a :
(A) 88 (B) 89 (C) 90 (D) 91 (E) 92
19. Sabendo que m n ´e a fra¸c˜ao irredut´ıvel equivalente ao n´umero decimal
0, 097222.. ., o valor de m − n ´e igual a : (A) 61 (B) 62 (C) 63 (D) 64 (E) 65
20. Se o n´umero decimal ilimitado peri´odico N = 0, 59 285714 for escrito sob a
forma da fra¸c˜ao irredut´ıvel m n ent˜ao n − m ´e igual a :
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(A) 51 (B) 53 (C) 55 (D) 57 (E) 59
21. Se a b ´e o n´umero racional irredut´ıvel equivalente a 1 − 0, 772x0, 3 6 ent˜ao
a + b ´e igual a : (A) 101 (B) 103 (C) 105 (D) 107 (E) 109
22. O n´umero de algarismos no per´ıodo de 0, 19x0, 199 ´e igual a :
(A) 5 (B) 6 (C) 9
(D) 15 (E) 54
23. 2002 o^ algarismo da representa¸c˜ao decimal de 1041 ´e igual a:
(A) 0 (B) 2 (C) 3
(D) 4 (E) 9
24. O 2002 o^ algarismo ap´os a v´ırgula da representa¸c˜ao decimal de 20021 ´e :
(A) 0 (B) 2 (C) 4
(D) 5 (E) 9
25. Se 70001 ´e escrito sob a forma de uma fra¸c˜ao decimal, o 1999 o^ escrito ap´os
a virgula ´e igual a : (A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 7 (E) 8
26. O 206788 o^ algarismo da representa¸c˜ao decimal de 395 ´e igual a :
(A) 0 (B) 1 (C) 2
(D) 5 (E) 8
27. O 2004 o^ algarismo da representa¸c˜ao decimal de 1017 ´e igual a:
(A) 2 (B) 3 (C) 4
(D) 8 (E) 9
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35. Jo˜ao come¸cou a calcular manualmente a expans˜ao decimal de 471. Ap´os
ter chegado a 0, 021276595744880851063829787 percebendo que ainda n˜ao tinha chegado a uma expans˜ao peri´odica, ele se cansou e chamou Antonio para ter- minar a expans˜ao. Este, utilizando o resultado encontrado por Jo˜ao n˜ao teve dificuldade para encontrar o restante do per´ıodo. A soma dos algarismos que estavam faltando no per´ıodo ´e igual a: (A) 71 (B) 73 (C) 75 (D) 77 (E) 79
36. Considere as afirmativas sobre os n´umeros naturais :
- Um n´umero ´ımpar pode sempre ser escrito sob a forma 4n + 1 ou 4n + 3 (n ∈ N).
- Todo n´umero pode sempre ser escrito como 3n, 3n + 1 ou 3n + 2 (n ∈ N).
- O quadrado de um n´umero ´ımpar pode sempre ser escrito sob a forma 8n+ 1 (n ∈ N).
- Todo quadrado perfeito pode sempre ser escrito como 3n ou 3n + 1 (n ∈ N). O n´umero de afirmativas verdadeiras ´e igual a : (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
37. Suprima CEM d´ıgitos do n´umero 12345678901112131415 · · · 9899100 de
modo a obter o maior n´umero poss´ıvel. A seguir, fa¸ca o mesmo para obter o menor n´umero poss´ıvel. A soma dos algarismos da diferen¸ca entre estes dois n´umeros ´e igual a : (A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24
38. Um n´umero N de 154 algarismos ´e obtido justapondo-se lado a lado os
inteiros de 19 a 95 , N = 19202122939495 Se removermos 95 de seus algarismos de modo que o n´umero resultante seja o maior poss´ıvel, a soma dos 19 primeiros algarismos deste n´umero de 59 algar- ismos ´e igual a (A) 113 (B) 115 (C) 117 (D) 119 (E) 121
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39. A soma dos algarismos do menor n´umero n para o qual o produto 999n
come¸ca por 2002 (da esquerda para a direita) no sistema de numera¸c˜ao decimal ´e igual a : (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
40. Seja S o conjunto de todos os n´umeros racionais r, 0 < r < 1, que possuem
uma representa¸c˜ao decimal da forma 0, abcabcabc · · · = 0, abc onde a, b e c n˜ao s˜ao necessariamente distintos. Para escrevermos os elementos de S como fra¸c˜oes irredut´ıveis o n´umero de numeradores necess´arios ´e igual a : (A) 612 (B) 624 (C) 636 (D) 648 (E) 660
41. A soma de todos os n´umeros racionais irredut´ıveis menores do que 10 e
que possuem denominador igual a 30 ´e igual a : (A) 100 (B) 200 (C) 300 (D) 400 (E) 500
42. Eliminando-se o 2000 o^ algarismo da expans˜ao decimal da fra¸c˜ao p^1 (onde
p ´e um n´umero primo maior que 5 ) obtemos a fra¸c˜ao irredut´ıvel a b. Dentre os n´umeros abaixo, assinale aquele que ´e divis´ıvel por p: (A) a (B) b (C) a + b (D) 2a + b (E) 2a + 3b
43. A soma das fra¸c˜oes irredut´ıveis cujo denominador ´e igual a 3 e contidas
no intervalo [5, 20] ´e igual a : (A) 13003 (B) 250 (C) 375 (D) 425 (E) 555
44. Em cada uma das fra¸c˜oes abaixo, a soma do numerador com o denomi-
nador ´e igual a 3980. 1 3979 ,^
3978 ,^
3977 ,^ · · ·^ ,
O n´umero de fra¸c˜oes pr´oprias (numerador menor que o denominador) irre- dut´ıveis nesta seq¨uˆencia ´e igual a :
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Opera¸c˜oes
49. O valor de 100x19, 99x1, 999x1000 ´e igual a :
(A) (1, 999)^2 (B) (19, 99)^2 (C) (199, 9)^2
(D) ( 1999 )^2 (E) ( 19990 )^2
50. Qual o maior dos n´umeros?
(A) 0.9^9 (B) 0, 99^9 (C) (0, 9^9 ) 2
(D) √^9
(E) (0, 99^9 ) 2
51. O valor de 101 + 1009 + 10009 + 100009 ´e igual a :
(A) 0, 0027 (B) 0, 0199 (C) 0, 1999
(D) 0, 27 (E) 1, 999
52. Seja x o n´umero
2003zeros
onde existem 2003 zeros ap´os a v´ırgula. Qual das express˜oes abaixo representa o maior n´umero? (A) 3 + x (B) 3 − x (C) 3 · x (D) 3/x (E) x/
53. O valor de 2000 − ( 1999 − ( 1998 − (· · · − ( 3 − ( 2 − 1 )) · · · ))) ´e igual a :
(A) 998 (B) 999 (C) 1000
(D) 1995 (E) 1996
54. Se x ⊗ y = xy e x ∗ y = x − y, o valor de [ 2 ⊗ ( 8 ∗ 12 )] ∗ [( 3 ⊗ 2 ) ∗ 5 ] ´e :
(A) − 5 (B) − 6 (C) − 8
(D) − 9 (E) − 12
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55. Se x ⊕ y = (x + y) + (xy) + y ent˜ao ( 5 ⊕ 7 ) ⊕ 3 ´e igual a :
(A) 11 (B) 222 (C) 333
(D) 444 (E) 555
56. Definimos a opera¸c˜ao ∗ em R+ 0 da seguinte maneira :
a ∗ b = (^) a +^1 b
Assinale o menor dos n´umeros : (A) 2 ∗ ( 3 ∗ 1 ) (B) 2 ∗ ( 3 ∗ 4 ) (C) 3 ∗ ( 1 ∗ 2 ) (D) 3 ∗ ( 4 ∗ 2 ) (E) 4 ∗ ( 2 ∗ 3 )
57. Uma opera¸c˜ao “∆” ´e definida por
a∆b = 1 − a b , b 6 = 0
O valor de (1∆2)∆(3∆4) ´e igual a :
(A) 12 (B) 14 (C) − 1 (D) − 12 (E) − (^14)
58. O n´umero natural n pode ser substitu´ıdo por a · b se a + b = n onde a e
b s˜ao n´umeros naturais. Se come¸carmos por 22 o n´umero de tais substitui¸c˜oes segundo as quais podemos alcan¸car o n´umero 2002 ´e igual a : (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) mais de 3
59. O valor da express˜ao 59325932 +^ × 6001 6001 ×^ − 5931 69 ´e igual a :
(A) 1 (B) 2 (C) 3
(D) 4 (E) 5
60. Se dxe representa o menor n´umero inteiro que n˜ao ´e inferior a x ent˜ao
d 2 12 + 3 31 + 4 14 + 5 15 e ´e igual a : (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) 18
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Podemos afirmar que [5, 4, 4, 3, 2] quando colocado sob a forma da fra¸c˜ao irre- dut´ıvel x y, o valor de x + y ´e igual a :
(A) 260 (B) 262 (C) 264 (D) 266 (E) 268
67. Com rela¸c˜ao ao enunciado do problema anterior, se [a, b, c, d] = 135 , ent˜ao
(a, b, c, d)´e igual a : (A) (2, 1, 1, 2) (B) (2, 2, 1, 1) (C) (2, 1, 1, 1) (D) (2, 1, 2, 1) (E) (2, 2, 2, 1)
68. A fra¸c˜ao 3713 pode ser escrita sob a forma 2 + 1
x + 1 y + (^1) z
onde (x, y, z) ´e
igual a: (A) (11, 2, 5) (B) (1, 2, 5) (C) (1, 5, 2) (D) (13, 11, 2) (E) (5, 2, 11)
69. Sejam W, X, Y e Z quatro algarismos distintos selecionados do conjunto
Se a soma W X + Y Z ´e a menor poss´ıvel ent˜ao W X + (^) ZY deve ser igual a :
(A) 172 (B) 173 (C) (^1772)
(D) 2572 (E) 1336
70. A soma S = 12 +
3 +^
4 +^
4 +^
100 +^ · · ·^ +^
vale
(A) 105 (B) 245 (C) 247 (D) 3215 (E) 2635
71. Se a raz˜ao de w para x ´e 4 : 3 ; de y para z ´e 3 : 2 e de z para x ´e 1 : 6 , a
raz˜ao de w para y ´e igual a : (A) 1 : 3 (B) 16 : 3 (C) 20 : 3 (D) 27 : 4 (E) 12 : 1
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72. Se x −y z = x^ + z y= x y para x 6 = y 6 = z ∈ Z∗ + ent˜ao, yx ´e igual a :
(A) 12 (B) 35 (C) 23
(D) 53 (E) 2
73. Colocando-se em ordem crescente os n´umeros positivos a, b e c tais que
c a + b =^2 e^
c b − a =^3 obtemos : (A) a < b < c (B) a < c < b (C) c < b < a (D) c < a < b (E) b < c < a
74. Qual dos cinco n´umeros abaixo N AO˜ ´e igual a nenhum dos outros?
(A) 997997998998 (B) 1998199719991998 (C) 19989971999998
(D) 997998 (E) 19971998
75. Colocando-se os n´umeros x = 11111011111 , y = 222221222223 e z = 333331333334 em
ordem decrescente obtemos a seguinte seq¨uˆencia : (A) z, y, x (B) x, z, y (C) y, x, z (D) y, z, x (E) z, x, y
76. Na adi¸c˜ao abaixo, cada letra representa um d´ıgito. A diferen¸ca entre o
maior valor poss´ıvel desta soma e o maior valor ´ımpar poss´ıvel desta soma nesta ordem ´e (A) 3 AB (B) 5 CD (C) 7 EF (D) 9 GH (E) 11 +IJ
77. Se X, Y e Z s˜ao algarismos distintos , ent˜ao o maior valor poss´ıvel para a
soma, indicada abaixo, cujo resultado ´e um n´umero de trˆes algarismos possui a forma :
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(A) 10 (B) 21 (C) 24 (D) 26 (E) 38
84. Um estudante em viagem de f´erias combinou com seu pai que se comuni-
cariam em um c´odigo num´erico no qual cada algarismo representaria uma letra distinta e como comprova¸c˜ao, o n´umero representante da ´ultima palavra seria a soma dos anteriores. Sabendo que o estudante desejava enviar a mensagem
SENDMOREMONEY
podemos afirmar que a soma dos algarismos utilizados na mensagem codificada ´e : (A) 24 (B) 27 (C) 30 (D) 33 (E) 38
85. Nos c´ırculos abaixo, devemos distribuir os n´umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 de
modo que a soma dos n´umeros em cada uma das linhas retas marcadas por trˆes c´ırculos deva ser a mesma. Qual dos n´umeros abaixo n˜ao pode estar no canto inferior esquerdo? (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
86. Um grupo de pessoas disp˜oem-se em c´ırculo, equiespa¸cadas e numeradas
consecutivamente de 1 at´e n. Sabendo que a pessoa de n´umero 19 est´a diame- tralmente oposta `a pessoa de n´umero 96 , o valor de n ´e igual a : (A) 152 (B) 154 (C) 156 (D) 158 (E) 160
87. Fernanda comprou um caderno de anota¸c˜oes com 96 folhas e numerou as
suas p´aginas seq¨uencialmente de 1 a 192. Luiza arrancou aleatoriamente 25 folhas. A soma desses 50 n´umeros n˜ao pode ser igual a:
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(A) 1995 (B) 1996 (C) 1997 (D) 1999 (E) 2001
88. Dois homens acampados num local muito frio resolvem fazer uma fogueira
para se aquecer durante a noite. Um deles contribuiu com cinco peda¸cos de lenha e o outro contribuiu com trˆes peda¸cos. No instante em que se preparavam para acender a fogueira chega ao acampamento um terceiro homem que n˜ao possu´ıa nenhum peda¸co de lenha mas mesmo assim os outros dois permitiram que ele ali pernoitasse. Ao amanhecer, em sinal de agradecimento, este deixou 8 moedas de ouro para que os outros dois as dividissem entre si. Se a divis˜ao for feita de forma justa a raz˜ao entre as partes de cada um ´e : (A) 1 : 1 (B) 2 : 1 (C) 3 : 2 (D) 5 : 3 (E) 7 : 1
89. Duas cidades est˜ao ligadas por uma linha f´errea. De hora em hora parte
um trem de uma cidade para outra. Se os trens andam todos a mesma veloci- dade e cada viagem, de uma cidadea outra, dura cinco horas, com quantos trens se cruza cada trem? (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 11 (E) 15
90. r Os n´umeros de 1 a 37 s˜ao escritos em uma reta de modo que cada n´umero
divida a soma dos seus predecessores. Se o primeiro n´umero ´e 37 e o segundo ´e 1 , a soma do terceiro com o ´ultimo n´umeros ´e igual a : (A) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 22 (E) 23
91. Jo˜ao chega todo dia a Petr´opolis `as 17 : 00 e sua mulher, que dirige com
velocidade constante, chega todo dia as 17 : 00a rodovi´aria para lev´a-lo para casa. Num determinado dia, Jo˜ao chega `as 16 : 00 e resolve ir andando para casa; encontra sua mulher no caminho e volta de carro com ela, chegando em casa 10 minutos mais cedo do que de costume. Jo˜ao andou a p´e durante : (A) 40 minutos (B) 45 minutos (C) 50 minutos (D) 55 minutos (E) 60 minutos
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96. Faltando 25 dias para a prova da n-´esima OBM ,Arthur resolveu estudar
segundo a seguinte estrat´egia: Todos os dias ele resolvia no m´aximo 10 proble- mas, mas se em algum dia ele resolvesse mais de 7 problemas, ent˜ao nos dois dias seguintes ele resolvia no m´aximo 5 problemas por dia. O n´umero m´aximo de problemas que Arthur pode resolver at´e o dia da prova ´e igual a : (A) 172 (B) 174 (C) 176 (D) 178 (E) 180
97. Um torneio de judˆo ´e disputado por 10 atletas e deve ter apenas um
campe˜ao. Em cada luta n˜ao pode haver empate e aquele que perder trˆes vezes deve ser eliminado da competi¸c˜ao. O n´umero m´aximo de lutas necess´ario para se conhecer o campe˜ao ´e igual a? (A) 27 (B) 28 (C) 29 (D) 30 (E) 31
98. Os arm´arios dos alunos de uma Universidade s˜ao numerados consecuti-
vamente come¸cando pelo arm´ario de n´umero 1. As etiquetas pl´asticas usadas para identificar os arm´arios s˜ao tais que o seu custo ´e de 20 centavos por cada algarismo nelas contidos, isto ´e a etiqueta para identificar o arm´ario de n´umero 9 custa 20 centavos enquanto que a etiqueta que identifica o arm´ario de n´umero 10 custa 40 centavos. Qual o n´umero de arm´arios da Universidade se foram gastos R$1379, 40 para identificar todos eles? (A) 2001 (B) 2010 (C) 2100 (D) 2726 (E) 6897
99. A quantidade de n´umeros de 2002 algarismos ´e igual a :
(A) 102002 (B) 102001 (C) 9 ·
(D) 9 ·
(E) 102002 − 102001 − 1
100. Seja x = 0, 12345678901112 · · · 99798999 onde os algarismos de x s˜ao
obtidos escrevendo-se sucessivamente os inteiros de 1 a 999. O 2003 o^ algarismo `a direita da v´ırgula ´e igual a : (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4 (E) 7
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20 Problemas Selecionados de Matem´atica Conjuntos Num´ericos & Opera¸c˜oes
101. Suponha que todos os n´umeros inteiros positivos sejam escritos lado a
lado da esquerda para a direita. O 206788 o^ algarismo escrito ´e : (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7 (E) 9
102. Para numerar as p´aginas de um livro necessitamos de N algarismos.
Um valor que n˜ao ´e poss´ıvel para N ´e igual a : (A) 109 (B) 999 (C) 1992 (D) 1995 (E) 1996
103. Jo˜ao possui uma grande quantidade de 0 ′s, 1′s, 3′s, 4′s, 5′s, 6′s, 7′s, 8′s,
e 9 ′s mas ele s´o disp˜oe de somente vinte e dois 2 ′s. At´e que p´agina ele poder´a numerar as p´aginas do seu novo livro? (A) 22 (B) 99 (C) 112 (D) 119 (E) 199
104. Um livro possui n p´aginas numeradas consecutivamente de 1 a n. Sabendo
que o algarismo 1 aparece 213 vezes nestes n´umeros sobre o n´umero n podemos afirmar : (A) ´e igual a 517 (B) ´e igual a 518 (C) 519 ≤ n ≤ 520 (D) 521 ≤ n ≤ 530 (E) 531 ≤ n ≤ 540
105. Escrevendo-se os n´umeros 1, 2, 3, 4,... em ordem crescente, que n´umero
estaremos escrevendo quando o algarismo 9 aparecer pela 1999 o^ vez? (A) 6911 (B) 6913 (C) 6915 (D) 6917 (E) 6919
106. Considere a seq¨uˆencia infinita de d´ıgitos
obtidos ao escrevermos os n´umeros inteiros consecutivamente. O 1000000 o d´ıgito escrito ´e igual a : (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 7 (E) 9
