Problemas de Matemática Para o Curso Primario-Comte. Paulo Pessoa, Notas de estudo de Matemática

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l•AUL

PROBLE MAS

DE

MATEMÁTICA

PARA O ADMISSÃO

AO PAULO IOZON+EDlTOR 1''0RTALEZA 1 unru fio Pni ~sa ndu, 51 Rua Pedro Pereira:, 313 l\pl" l fiO J e 1502 R O Gtupo 2 - CP. 1236 -r.,1. ' 30 8670 - 35-8815 Av, Mal. Floriano, 22. ,1.0 Te 1 e fone : 21- N 'I' 1 .; Jt ó Tels .: 223-3 943/243-6064 B E L É M Av. l'ntmil P •l xo lo, 37 0 R. Barão Gna·l'atlbn, 29/3 1 Rua Mundu cmus, 1567 / 721 Tclcf.: 2 - 6433 T e 1 e f o n e : 245·7126 T e 1 e f o n e : 5141

PREFÁCIO

Não estava em nossas cogitações escrever êste livro e

só resolvemos organizá- lo ao termos conhecimento de que

"Problemas de Aritmetica" de nossa autoria, está sendo uti-

lizado no preparo de candidatos aos exames de admissão ao

curso ginasial. Tendo sido aquêle livro elaborado com o fim específico de atender às necessidades dos alunos do curso

ginasial; dos candidatos às escolas preparatórias e de todos

aq uêles que pr.etendem ingressar nos Institutos de Educação

para cursarem o Normal, seu nÍV'el ér como não podia dei-

xa r de s er, bem mais elevado do que o exigido para o exame

d adm iss ão ao 1. 0 ano do primeiro ciclo es c ola r.

Para o vílar os inc:onv. ni nte:; do uso de um liv r.o 1n ndt1 - 11 um lo ao objetivo a ati ngir, resolvemos lan ç ar "ProJ:;fomws

de Ma te mática para o Admissão", esperando que êlc po s sa

1 cw; ino1. aos jovens a dar os prímeitos passos no es tudo d r: 1

111ul má li ca.

AUT lt

NUMERAÇÃO

Aritmetica é a c1encia dos números. Ela nos ensina o medir, contar e calcular as grandezas.

Grandeza é tudo ,que pode ser medido, contado, compa-

rado, pesado, etc. Sua noçÇío é proveniente da comparação de dois objetos ou de duas quantidades da mesma espécie. Assim é que ao depararmos com dois postes podemos c ompará-los no que diz respeito às su as alturas ou às suas grossuras, por exemplo. A altura de um post e; de uma casa; de uma pessoa ou de uma arvore, etc., é uma grandeza. Ei as podem ser contínuas e descontÍlmas. Di zem-se contínuas, quando podem ser au men tad a s ou diminuídas de uma quantidade qualquer. São descontínuas quando só podem ser aumentadas ou diminuídas de urna quantidade determinada e no mínimo igua l a ela. Podem ser ainda: mensuráveis e imensuráve is. As p rim eiras são as que podem ser medidas, como por iexemplo: o comprimento de um fio; o pêso de um corpo; a superfície de um terreno; o volume de um sólido; etc. As imensuráveis são as que não podem ser medidas e em outro e stá gio da vida escolar serão mencionadas. Quantidade é a grandeza medida. Medir uma grandeza é compará -la com outra da mesma espécie chamada unidade. Por ex emplo: escolhido o metro para medida de compri- m ento, c omparar com êle o comprimento de uma mesa para fi c ar conhec endo quantos metros ela tem. A unidade é pois uma grande za conhecida, com a qual se comparam as gran- d za s da mesma espécie que se pretende medir.

Problema s de Ma l emálica pa ra o Adm is são 11

Valor dos algarismos

.. o~ algarismos de l até 9 são chamados algarismos sig- mt1cat1vos e o zero, algarismo insignificativo. Co mo conseqüência do que foi dito quando tratamos do princípio fundamenta l da numeração escri ta, os alga- rismos significativos possuem dois valôres, isto é, o valor absoluto, que êle tem quando está isolado e o valor relativo que ~ o que possui de acôrdo com a posição que ocupa no numero.

Assim, no númêro 1968 o algarismo nove tem o valor relativo 900, o algarismo. 1 tem o valor relativo 1. 000; o algarismo 6 tem o · valor relativo 60- e o algarismo 8 tem o valor relativo igual ao absoluto, isto é, 8.

Sistema de numeração

É um conjunto de palavras, sinais e regras com os quais apresentamos os números. Base de um sistema de numera-

ção é o númer o de unidades de uma ordem necessário para

formar uma unidade de valor imediatamente superior. O sistema de numeração usado por nós é o decimal porque 10 unidades de uma ordem valem uma de ordem imediatamente superior. O número de algarismos de um

'Sistema é igual à base. No sistema decimal há 10 algaris-

mos. Há duas espécies de algarismos. Os arábicos comu- mente usados e os r.omanos. Os caracteres representativos dos algarismos romanos são: 1 (um); V (cinco); X (dez); L (cincoenta); C (cem); D (quinhentos) e M (mil). Quando vamos escrever números com algarismos ro- manos, qualquer dos algarismos escritos (no máximo três vêzes) um ao lado do outro, representa três vêzes o seu

valor. Ess a regra: só é empregada com os algari s mo s I. X,

CeM

Assim XX = ZO; llI = 3; CCC = 300.

14 l'aul o Pessoa

Um algarismo colocado à direita de outro de maior

valor é somado a êste. Assim: XV = 15; XIII = 13; XVIII

Um algarismo colocado à esquerda do outro de maior

valor é subtraído dêste. Assim: IV =! 4; CM = 900; IX = 9.

Um traço horizontal coiceado sôbre um algarismo ou um grupo de algarismos torna-o ou torna-os mil vêzes maior.

Assim: l = l. 000: Se o número de traços fôr dois o

algarismo ou grupo de àlgari s mos fica multiplicado por um

milhão. Assim: V = 5. 000. 000.

De modo semelhante

I == 1.000.000.

Depois do que foi dito

1968 MCMLXVIII

2000 = ll ou MM 1500 MD

EXERCíCIOS RESOLVIDOS

1. Qual o menor número de três algarismos expresso pelos algarismos O, 1 e 5? O número não pode começar por zero porque ficando

êle à esquerda, o número só ter ia dois algarismos.

Tendo três algarismos a ordem mais elevada é a das centenas que por isso deve ser preenchida pelo menor dos algarism os significativos dados e por isso só pode ser 1. Se o segundo algarismo, o das dezenas fôsse o 5 o das unidades teria que ser o zero e o valor relativo do 5 no nú-

mero seria 50. Concluímos então que o número menor é 105.

Pro blemas de Matemática: para. o Admlssüo 15

\

~) O algarismo 8 o cupa em um número inteiro a. qucirl cern o. Qua l o se u valor rela tiv o? A quar ta casa é das unidad s de milha r; enlão seu valor relativo é 8. 000.

3. De que ordem são as centenas de milhar? A existê ncia de centenas de milhar em um núm ero , sig- nifica que o número tem, pelo menos, duas classes e como cada classe tem 3 ordens conclui~se que a centena de mi - lhar é um algarismo da 6.ª ordem.

4. Quando se escrevem todos os números de 10 o 100, quantas vêzes se escreve o algarismo l?

Em intervalos pequenos como o do problema é fácil fa··

zer-se u verificação. Assim é que de 10 até 19, como algarismo da s unida- des aparece apenas uma vez, no número 11. Como algarismo das dezenas aparece: 19 -- 10 + l 10 vêzes. Aparece ainda em 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 e 91 isto é, 8 vêzes e finalmenie no número 100, uma vez coi:no alga- rismo das centenas.

O total de vezes é pois:

1 + 10 + 8 + 1 = 20 vêzes

5. Quantos números existem de 4 algarismos? O menor número de 4 algarismos é 1.000 e o maior é 9.999. Entre êles, contando com êles, existem

9. 999 - 1. 000 + 1 = 9. 000 números.

6. Quantos milhares há em 3.300? Basta calcularmos quantas vêzes 1. 000 está contido em 3.300 para concluirmos que existem 3 milhares em 3.300.

7. Quntas centenas há em 50.000? Por um raciocínio idêntico ao apresentado no probl em a anterior, é bostante dividir 50 .000 por 100 para achar 500 para resposta.

16 P n.u lo Pe s soa

),

8. Quan t as dezenas existem em 1968? C om o das vêzes anteriore s basla di vidir po r 10, parcr en co nlrar 196.

9. Quai s sã o as unidades de z v êzes maiores que as centenasº?

O número dez vêzes maior que as centena.s é obtido

multiplicando-se 100 por 10, cujo resultado é 1. 000. O al- garismo de quarta é: unidade de milhar.

10. Escrever em algarismos romanos: 3.005; 12.729; 5.329.803; 7.345.129.200.

III V; XII DCC XXIX;

VII CCCXXIX DCCCIII VII^ CCCXL^ V^ CXXIX^ CC

EXERCíCIOS PARA RESOLVER

Q Qual o menor e o maior número de quatro alga- rismos que se pode· escrever com os algarismos 8, 3, 5 e 2.

Resposta: 2. 358 e 8. 532

o o algarismos 4 ocupa em um número inteiro a qu~;~casa. Qual o seu valor relativo? Resposta: 40. 000

r;)o algarismo 3 ocupa em um número inteiro a ter- ceira cas a. Qual o se u valor relativo? Resposta: 300

4. Quando se escrevem todos os números desde 1 até 80 , quantas vêzes escrevemos o algmismo 6?

Respos ta: 18 vêzes

Probler~as de M ate mit tic" parn o Admi seã o 17

22. iga o nome da classe mais elevada do número

da questão acima.

Resposta: Milhar. Liceu^ Nilo^ Peçanha,^^19

'3 3) No mesmo número, diga o nome da ordem mais elevada.

Resposta: Dezena de milhar. Liceu Nilo Peçonh a, 1968

" 24) No me s mo número dê o valor rela tivo do algaris- mo ae 4. ª ordem.

Resposta: 5.000. Liceu^ Nilo^ Pe^ ç^ anha,^^1968

-25)1 Dado o número 91.742.148, qual a maior cl asse e a maiÓr ordem?

Resposta: Milhões e dezenas de milhões.

Liceu Nilo Péçanl10, 1967

26. Na adição IV CLXVIII + ... crever a parcela que falta, em romanos.

Resposta: CMXCVICCLXIII.

MCDXXXI es·

Liceu Nilo Peçanha, 1968

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

Operações fundamentais são:

Som a ou adição; subtração; multiplicação e divisã o. Ve ja mos o que significa cada uma deia.3. Somar é reunir duas ou mais quanêidades de: mesma espéc ie, numa só. Quantldades da m es ma espécie sã o chamada s homo- gêneas. Só podemos somar, portmlto , quantid ades homo - gêneas. Quantidad es de espécies diferent es são chamad as he- 'lerog ên eas e não pod em ser somadas. As quan tidade s a somar c ha m am - se parce las e o resu ltado da -apuração , soma. Uma s oma é indicgda pelo sinal mais ( - ) colocad o ent re as parcelas (soma indicada).

Assim:

1. 967 + l. 397 + 105

:indica uma soma cujas parcelas são: 1.98 7; 1. 397 e 105. Para obterm os o seu resultado costumamos dispô-las com o \Se seg ue:

105

parcelas

Soma efetuada ou va lor d a soma ou resultado da adi ção ou, simp le s- mente, s om:a.

Problema• ele Matemática parn o Admis s iio. 21

-- --- '"

Propriedades da sômu

l.ª) A soma de várias parcelas é indepe ndent e de

flua ord em (propriedade comutativa ).

A ssim

1.967 ·i · 1.387 ·1- 105 é o mesmo que

l. 39 7 + 1. 967 + 105 ou 105 + 1.967 + 1..

2. ª) Numa sorna indicada de vanas parcelas pode- mos su bs tituir várias de suas parcelas pela sua soma (pro- priedade associativa).

3. 967 + 1. 397 + 105 é o mesmo ,que

3. 3;64 .+ 105 ou

1.967 + 1.397 + 105 ou

1. 967 + l. 502

3.ª) Numa soma indicada de vanas parcelas, pode- mos decompor qualquer das parcelas e várias outras que somadas tenham o 8eu valor (propriedade dissociativa).

Assim:

1. 967 + 1. 502 é o mesmo que

1.967 + 1. 397 + 105 ou

1. 000 +· 900 + 67 + 1. 502

Subtrair é achar quantas unidades de uma das quan- tidades, chamada minuendo, excede às de outra da mesmct e spéc ie , den ominada subtraendo. O resultado da opera- çã o chama.se resto, excesso ou dife:;. ;ença. Esta definição permite-nos escrever:

Minuendo = Subtraendo + Resto

Subtraendo = Minuendo - Resto

Resto = Minuendo - Subtraendo

22 Pi.ulo Pessoa,

O mi nuen do, o s ubtraendo e o resto , chamam - se têrmos da subtração.

Não podemos s ubtrair quantidades heterogêne as., isto é,

d e espécies diferentes. Indica-se uma subtração colocando-se o si nal menos

(- ) entre o minuendo e o subtraendo. Assim :

3. 547 - 132 é uma subtração indicada.

A subtração não é uma operação comuta tiva pois se

podemos subtrair de 3. 547, 132, não é possível de 132 sub-

trair 3.547.

3. 547 é o minuendo e 132 o subtraendo.

Para obtermos o seu resultado (resto; exce ss o ou di- ferença) costumamos dispô - los como se segue:

3. 547 (minuendo) 132 (subtraendo)

4. 415 (resto)

Propriedades da subtração

l.ª) Uma subtração não se altera quando se soma ou subtrai ao minuendo e ao subtraendo, a mesma quantidade.

Assim: Minuendo : Subtraendo:

Resto 1621

Se somarmos ao minuendo e ao subtraendo 439, por exempl o, teremos:

Nôvo Minuendo: Nôvo - Sub traendo:

Resto (mesmo)

347 + 439 ::=: 786

1621

Prob]en1as do Matem út i ca. para o Ad 1 11i:-.: " Ctu 2 ,,_)'.)

Assim

Minuen d o 1968

Subtraendo : 347

Resto: 1621

1968 + 347 + 1621 ~-y--- 1968 + 1968 que é duas (^) vêzes o minuendo.

Multiplicar é repetir um número chamado multiplican-

do, tan tas vêzes quantas forem as unidades de outro de-

nominad o multiplicador. O resultado da operação chama-se produto. O multiplicando e o multiplicador são os fatôres do produto Indica-se uma multiplicação empregando-se o sinal vêzes (X) entre os fatôres.

As sim 4 X 3 é uma multiplicação indicada; 4 é o mul-

tiplicando e 3 o multiplicador. Pela definição dada acima, 4 X 3 é o mesmo que 4 + 4 + 4, isto é, a repetição do multiplicando (4) tantas vêzes quantas são as unidades do multiplicador (3).

O re sultado 12 é o produto.

3 e 4 são os iatôres do prod"U:to.

Seja efetuar o produto indicado 132 X 15.

Para obtermos o seu resultado (produto) costumamos dispô- los como se segue:

• ·-

132 Multiplicando

X 15 Multiplicador

• · -- aso

1. 980 Produto

Propriedades da multiplicação

l.ª) A ordem dos. fatôr_e.s nã o altera o produ to (pro- priedade comutativa).

i26 Paulo Pessoa

Affaim

3 x A X 1 4 o 111esnio qus 4 X 3 X 7 ou 7 X 3 X 4

2 .... ) Nwn produto indicado de vários fatôres, podemos :.iub:;tituir vá rios fotôres pelo seu p:roduto (propriedade associativa).

Assim:

3 X 4 X 7 é o me smo que

12 X 7 ou 3 X 28 ou 4 X 21

3. ª) Par a multiplicar uma soma de várias parc elas por

um nú,mero, é pr eciso multiplicar cada parcela ua &oma ,

por êsse número e soma r os r esultados.

AsiSim:

(2 + 3 + 7) X 5 é o mesmo que

:.: X S -t - J X 5 -t- '/ X 6, i:;to é:

lU + 15 + 3::>

4. u) O produto de d ua s somas é igual à soma dos

produtos ob.idos, multiplicando-se sucess•vamente as par· ce !as aa primeira soma pelas da segunda.

Assim:

(2 + 3) (5 + 7) é o mesmo que 2 X 5 -t- 2 X 7 + 3 X 5 + 3 X 7 = 60

5. ª) Num produto indicado de vários fatôres, po~emos s ubs tituir qualquer dos fatôres por outros que mulhp hcados tenham o seu valor (propriedade dissociativa ).

Assim:

24 X ,..-A-, 3 X 8

35 ,..-A-, 5 X 7

é o mesmo que

Problemas de Mate mát ica pu ra o Adm issão 27

• • ---- /\ -

6.u) O produto é da mesma espécie do multiplicador.

Assim, se o dia de trabalho de um operário é p ag o à raz ã o de NCr$ 2, 00 por dia , no fim do mês o ope rári o receberá

30 d ias X NCr$ 2.00 = NCr$ 60,

Dividir é verificar quantas vêzes as unidade s de uma das quantidades, chamada divisor, estão contidas na outra qua nti dade conhecida pelo nome de dividendo. Q u ando as unidades do divisor se contém em nú- :m ero exato de vêzes no dividendo, dizemos que a divisão é ex ata, isto é, não há resto. O número de vêzes que o divisor se contém no divi- dendo, chama-se quociente. Numa divisão há, portanto, dividendo, divisor, quociente e re sto. Uma divisão é indicada pelo sinal de divisão h-) se- par ando o dividendo e o divisor.

Assim: 15 -;.... 3; (^15) -;.... 7.

(Dividendo) (^15) J 3 (divisor)

(Resto) (^) o 5 (quociente) e

(Dividendo) (^15 7) (divisor)

(Resto) (^2) (quociente)

Pmpriedades da divisão

l.ª) O dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente, mas o resto (se. houver).

Assim no segundo exemplo dado, isto é, 15' -;.... 7

15 = 7 X 2 + 1

2.ª) O maior resto que se pode achar em uma divisão é igual ao divisor menos uma unidade.

. 28 Paul o Pessoa

Assim em urna divisão cujo divisor se ja 5, o mai or

resto que se pode achar é 4, isto é, 5 - 1 = 4.

3.ª) Multiplicando-se ou dividindo-se o dividen do e o divisor por um número, o quociente não se altera m as o resto fica multiplicado ou dividido por êsse número

Assim 15 /_

1 2

Se multiplicarmos 15 e 7 por 3, respectivamente te re mos 45 1 21 1 )~

Como vemos o quociente continuou sendo o mesmo, ·isto é, 2, mas o resto que antes era um, passou a ser três, isto é, apareceu também multiplicado por 3. No caso tere- mos 27 para dividir por 6, o seu resto será

27 1 6 1 - 3 4

Se dividirmos 27 e 6 por 3 passaremos a ter 9 e 2 e n a divisão que fôr efetuada, o quociente continuará sen- do 4 mas o resto será um, isto é 3 -;.... 3 --: 1, como

Nã o vamos, neste trabalho, por falta e cabimento, en- sinar as quatro operações; entre:tanto aproveitaremos as operaçõ es efetuadas para tirar suas provas reais.

P rnl:!l e nrno de Mut em;ítica pa r« o Ad mio"ilo 29

do que a soma total conclui-se que o vaior da última par-

cela, isto é, a quarta, é 346.

2. Um aluno ao escrever as duas parcelas de uma soma enganou-se e escreveu a primeira com um êrro de 347 para mais e a segunda também com êrro de 129 uni- dades para mais. Qual foi o êrro total cometido pelo aluno?

Tendo acrescido a primeira parcela de 347 unidades, foi como se houvesse introduzido nas quantidades a somar uma parcela igual a 347. Com a segunda parcela aconteceu o mesmo, acarre- tando assim a criação de uma outra parcela igual a 129. Assim sendo, a soma que tinha de início duas parcelas acabou como se tivesse quatro, isto é as duas primeiras e mais outras duas iguais a 347 e 129, respectivamente.

Verifica-se então que a soma final foi acrescida de 347

• 129

476, que foi o êrro cometido na soma, para mais, pelo aluno.

3. No mesmo problema os êrros cometidos foram na primeira parcela 347 para mais e na segunda 129 para me- nos. Qual foi o êrro total na soma?

Pelo fato de ter errado para mais de 347 na primeira parcela, seg ue-se que a soma sofrerá um aumento de 347.

Em virtude de ter errado, na segunda, para menos 129 unidades, a soma ficou diminuída de 129 unidades. Então o êrro total foi:

32

347 (para mais) 129 (para menos)

218 (êrro final para mais)

4. A diferença de dois 1núrneros foi 708. 356.

Paulo Pessoa

Houv e, porém um êrro de 394 unidades para mais no minuendo e no subtraen do, um êrro, também para mai s igual a 27.

Qual seria o re su ltado certo se não houvesse os êrros apontados?

Como o êrro, p ar a mais, de 394 no minuendo, a dife- rença encontrada, 708. 356 ficam aumentada de 394. Se o êrro fôs se só êste o resultado ce rto seria:

-- 394

Tendo hav id o tam bém um êrro para mais igual a 27, no subtraendo significa que foi subtraído um número maior 27 unidades do que devia do minuendo e por isso o que sobrou, depois da primeira correção, deve ser acrescido 'do que foi subtraído a mais.

O resultado certo se rá pois:

707. 962

+ 27 

707 .9 89

O que foi dito pode ser esquematizado como se segue:

r.;Iinuendo + 394 Subtraendo + 27

Resto 708. 356 (errado)

Resto certo: 708. 356 - 394 + 27 = 707. 989

5. No mesmo problema anterior o serres cometidos foram: 1. 394 unidad es para menos no minuendo e, 327 uni- dades também para menos no subtraendo. O resto encon- trado foi 345. 901.

Qual o resto cer to?

l'r o blcma.s de Matemálica para o Admi ss ão 33

Errar para m en os in o min ue nd o, implica em sobrar

menos no resto. Pa ra compensar o re sto torna - se necessá -

rio somar a e le o ê rro c ometido no mi nuendo, isto é l. 394.

Teremos então:

:347.

Por outro lado errar para menos no subtraendo im- plica em subtrair menos do que devia, e portanto, no resto sobrará mais.

Pa ra compensar é pr eciso retirar do resto o que foi

somado a me no s, isto é 327 e teremos:

6. Que altera ç ão sofre o resultado de uma: subtração (resto) qua ndo aumentamos o minuendo de 19 e diminuí- mos o subtraendo de 15? Aume nt ar o minuendo de 19 é o mesmo que con c orrer para que no resto sobre mais 19 unidades.

Dimi nuir o sub t raendo de 15 é o mesmo que subtrair

um núm ero menor 15 uni dades, concorrendo para que sobrem no resto ma is 15 unidades. Con siderando ··se os doi s efeitos, conclue-se que o resto ficará aumenta do de:

19

7. Que altera r- ão sofre o resto de uma subtraçã o quando subtraímos 15 unidades ao minuendo e sarnamo s 5 unidad es ao subtraendo?

34 Pa.ulo Pessoa

Diminuir 15 ao minuendo implica em diminuir o resto de 15.

Somar 7 ao subtraendo acarreta sobrar menos no resto. Como resultado final o resto ficará diminuído de:

15 + 7 = ' 22.

8. O minuendo foi aumentado de 13. 005 unidades, que devemos faze r no subtraendo a fim de que o acrésci- mo do rest o seja apenas de 36 unidades.

Aumentar o minuendo de 13. 005 unidades im pli ca em aumentar o rest o de 13. 005. Para diminuir o resto é preciso aumentar o sub traendo.

Como queremos que o resto fique aumentado apenas de 36 unida des é necessário que o subtraendo seja au- mentado apenas de:

36

9. Quantas unidades ficam somadas ao núm ero 31 q uando o multiplicamos por 12? Mutiplicar o número 31 por 12 é repeti-lo 12 vêzes.

Como antes da repetição o número 31 já existia, se- gue -se que é necessário escre vê-lo mais 11 vêzes o que é o mesmo que multiplicá-lo por 11 e teremos:

31 X 11 = 341.

10) Que altteração sofre rá a soma 100 ---90 = 190 se

multip licarmos a primeira parcela por 19. De pois do que foi dito no problema anterior multipli- C'Or 100 por 19 é repetir 100 dezenove vezes; ou se ja somar

n 100 mais dezoito parcelas iguais a ela, isto é, multiplicar

l 00 or 18, que é igual a 1. 800. Êsse resultado será a altera ção .sofrida pela soma

Vimos tcxm.bém que a soma do menor (subtraendo' co.trl

u diferença (resto) é igual ao minu ndo.

Ent Õ<; o mo.ivr du · d0 1·· r.úmoros (mwut.hd vêzes o menor, h to e:

2.082 X 6 = 12.

17. Pa ulo e Pedro tem quantias iguais. Paulo dá a Pedro NCr$ 4,üU e rec ebe d e .h~d.o NCr'.ai 9.UO. Dizer quem ficou com a maior quantia e quan ~ o mais '?

Quando Paulo daa l~Gc.,i: 4, Uu a Pedro, ficou com me-

nos NCr$ 8,00 do que aquêie. Por outro lado, quando recebeu NCr$ 9,00 de Pedro fi- cou com NCr$ 18,00 mais do que êle.

A diferença entre as du a s situações:

NCIS 18, úO - NCr$ 8, 00 .= NCr ~ 10, 00

mostra que Paulo ficou com rnais NCr$ 10,00 do ,que Pedro.

18. Num ta que entram 36 litros dágua por minuto e se esco am 14 li tios no me s mo tempo. No fim de 5 hcta:> quantos litros haverá no tanque '? Se entram S6 iitros e saem 14 litros no me smo tempo, ticam no reservatório:

36 - 14 = 22 litros por minuto.

Como cada hora tem 60 minutos, em 5 horas existirão

5 X 60 minutos = 300 minu ·os.

Então em 5 horas ou 300 minutos estavam contidos no tanque:

22 litros X 300 minu t os = 6. 600 litros.

19. Achar dois números inteiros e consecutivos, cuja soma é 3.935. Dois números inteiros e consecutivos diferem de uma unidade.

33 Pa.ulo Peosoa

Se os dois fôssem iguais ao menor a soma dêles seria:

3. 935 - 1 != , 3.

e conseqüentemente um dêles teria o valor:

Conhecido o menor e sabendo que são consecutivos é fácil concluir que o m ai or se rá 19G7 + 1 = 1968.

20. A soma de três números ímpa..res co nsec u tivos é 63.

Achar os três números.

Dois números ímpares e consecutivos diferem de duas unidades.

Sendo três números, a diferença do menor p ara o se-

gu ndo é 2 e a diferença para o terceiro, 4.

Para que todos se tornem iguais ao menor é necessá· ·

iio tirar 2 ao segundo e 4 a o terceiro. Conseqüentemen te a soma dos três números diferen- tes (63) passará a ser a soma de trê s números iguais ao 1 menor; não s erá mais 63 e sim:

Os 1 úmeros iguais valerão:

57 + 3 = 19, que é o menor.

Fácil será de t erminar os outros dois, pois êles são ím- pares sucessivo.s e por isso serão:

19, 21 e 23.

21) João emprestou NCr$ 1. 578,80 à Pedro.

Se houvesse emprestado mais NCr$ 411. 00 teria ficado r·om NCr$ 20.000,00. Quanto tinha João an tes do emprés- timo?

l'roulcma" uc MaLcmáLica· l'""" o A<l11dtitiÚo 39

O empréstimo inicial foi de NCr$ 1. 578,80. Se houvesse emprestado mais NCr$ 411.00, o empréstimo tot al seria de:

NCr$ 1. 578. 80 NCr$ 411. 00

NCr$ 1. 989. 80

Depois disso Jo ão ainda teria NCr$ 20. 000,00.

t fácil concluir-se que se não houvese efetuado o em-

préstimo teria:

NCr$ 20. 000,00 + NCr$ 1. 989,

ou seja: NCr$ 21. 989,80.

22. Pagou-se uma dívida de NCr$ 310, 00. Se houvés- semos pago menos NCr$ 64.00 ter íamos ficado com .... NCr$ 15. 000,00.

Quanto tinha o devedor?

Se em lugar de pagar NCr$ 310. 00 houvesse pag o menos NCr$ 64,00, o pagamento teria sido de NCr$ 310,

• NCr$ 64,00 = NCr$ 246,00. Se depois de efetuar o pagamento ainda ficou .com NCr$ 15. 000,00 é sinal de que antes do pagament o tmha NCr$ 15 .000,00 + NCr$ 246,00 = 1NCr$15.246 , 00.

23. Paulo efetuou um pagamen to de NCr$ 4.000,00. Se em vez de efetuá-lo todo ficasse devendo a metade po- deria adquirir um objeto de NCr$ 8. 745.00. Com quanto ficou Paulo depois de efetuar o pag_?- mento? A metade do pagamento corresponde a NCr$ 2. 000,00. Se fôssem pagos só NCr$ 2. 000 00 restariam :

NCr$ 8. 745, 00

Então tendo sido pagos os NCr $i 4. 000,00 so brara m:

NCr$ 8.745,00 - NCr$ 2.000,00 = NCr$ 6.745,00.

4.0 ·ri a.u lo Pe si:; oa.

24. A soma de dois núme ros é 867 e a diferença en- tre êles é 253. Quais são os números?

Em problemas dêsse tipo convém ter em mente as se- guinte regra:

A soma da soma com a difnença dos dois números é igual ao dô bro do maior número.

A diferença entre a soma dos dois números e sua dife- rença é igual ao dôbro do menor dos números. Então 867 (soma dos dois números) + 253 (diferença dos dois números) é igual ao dôbro do maior dos números.

Ass im:

867 + 253 = 1.120 (dôbro do maior número) e o maior núme r.o será :

Do mesm o modo:

867 (soma dos dois números) - 253 (diferença dos dois 11úmeros) é igual ao dôbro do menor dos números.

Assin

86 7 - 253 = 614 (dôbro do menor dos números) e o

menor númer o será:

25) A soma de dois · números é 28 e um dêles é o tri-

plo do outro. Achar os dois números.

Se o maior dos números é três vêzes o menor, ê le (maior) somado com o menor corresponde a qua1ro vêzes o menor, que o problema diz ser 28 (a soma). Então para acharmos o menor é bastante dividir a so- rna 28 por 4 e acharemos que o menor vale 7. Consi derando que o maior é o triplo do menor conclui-

oe 1ue o maior. será 3 X 7 = 21.

Os números são pois: 7 e 21.

Prohlcmn.s de Matcmúti ca· pnrn o J\dmiR~iío <J!l