Baixe Pré-Calculo 2ª Edição Demana Gabarito e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Respostas
CAPÍTULO 1
Revisão rápida
1. {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. { 2 2, 2 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 3. { 2 3, 2 2, 2 1} 4. {1, 2, 3, 4} 5. (a) 1187,75 (b) 2 4, 6. (a) 20,65 (b) 0, 7. ( 2 2)^3 2 2( 2 2) 1 1 5 2 3; (1,5) 3 2 2(1,5) 1 1 5 1, 8. ( 2 3) 2 1 ( 2 3)(2) 1 22 5 7
Exercícios
1. 2 4,625 (finitas) 2. 0,
(infinitas)
3. 2 2,
(infinitas)
4. 0,
(infinitas)
5. (^) 2524232221 0 1 2 3 4 5 todos os números reais menores ou iguais a 2. 6. (^) 24 232221 0 1 2 3 4 5 6 todos os números reais entre 2 2 e 5, inclusive 22 e excluído 5. 7. (^) 2221 0 1 2 3 4 5 6 7 8 todos os números reais menores que 7. 8. (^) 2524232221 0 1 2 3 4 5 todos os números reais entre 2 3 e 3, incluindo 2 3 e 3. 9. (^) 2524232221 0 1 2 3 4 5 todos os números reais menores que 0. 10. (^) 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
todos os números reais entre 2 e 6, incluindo 2 e 6.
11. 21 # x , 1; todos os números entre 2 1 e 1, incluindo 2 1 e excluindo 1. 12. 2 ∞ < x # 4, ou x # 4; todos os números menores ou iguais a 4. 13. 2 ∞ , x , 5, ou x , 5; todos os números meno res que 5. 14. 22 # x , 2; todos os números entre 2 2 e 2, incluindo 2 2 e excluindo 2. 15. 2 1 < x , 2; todos os números entre 2 1 e 2, excluindo 2 1 e 2. 16. 5 # x , ∞, ou x $ 5; todos os números maiores ou iguais a 5. 17. ] 2 3, 1 ∞[; todos os números maiores que 2 3. 18. ] 2 7, 2 2[; todos os números entre 2 7 e 2 2, excluindo 2 7 e 2 2. 19. ] 2 2, 1[; todos os números entre 2 2 e 1, excluin do 2 2 e 1. 20. [ 2 1, 1 ∞[; todos os números maiores ou iguais a 2 l. 21. ] 2 3, 4]; todos os números entre 2 3 e 4, excluindo 2 3 e incluindo 4. 22. ]0, 1 ∞[; todos os números maiores que 0. 23. Os números reais maiores que 4 e menores ou iguais a 9. 24. Os núme ros reais maiores ou iguais a 2 1, ou os números reais que são pelo menos 2 1. 25. Os núme ros reais maiores ou iguais a 2 3, ou os números reais que são pelo menos 2 3. 26. Os núme ros reais entre 2 5 e 7, ou os números reais maiores que 2 5 e menores que 7. 27. Os números reais maiores que 2 1. 28. Os núme ros reais entre 2 3 e 0 (inclusive), ou maiores ou iguais a 2 3 e menores ou iguais a 0. 29. 23 , x # 4; extremos 2 3 e 4; limitado; aberto à esquerda e fecha do à direita. 30. 23 , x , 2 1; extremos 2 3 e 2 1; limitado; aberto. 31. x , 5; extremo 5; não limitado; aberto. 32. x $ 26; extremo 2 6; não limitado; fecha do. 33. A idade de Bill deve ser maior ou igual a 29: x $ 29 ou [29, 1 ∞[; x 5 idade de Bill. 34. Preço entre 0 e 2 (inclusive): 0 # x # 2 ou [0, 2]; x 5 preço de um item. 35. Os preços estão entre R$ 2,20 e R$ 2,90 (inclusi ve): 2,20 # x # 2,90 ou [2,20, 2,90]; x 5 R$ por litro de gasoli na. 36. A taxa ficará entre 0,02 e 0,065: 0,02 , x , 0, ou ]0,2, 0,65[; x 5 taxa de juros.
37. a(x 2 1 b)^5 a^ ^ x^2 1 a^ ^ b^5 ax^2 1 ab
38. (y 2 z^3 )c 5 y c 2 z^3 c 5 yc 2 z^3 c
332 Pré-cálculo
39. ax 2 1 dx^2 5 a x^2 1 d x^2 5 (a 1 d)x^2
40. a^3 z 1 a^3 w 5 a^3 z 1 a^3 w 5 a^3 (z 1 w)
41. A inversa de 6 2 p, ou 2 (6 2 p) 5 26 1 p 5 p 2 6 42. A inversa de 2 7, ou 2 ( 2 7) 5 7 43. Em 25 2 , a base é 5. 44. Em ( 2 2) 7 , a base é 2 2.
4 a^3 b a^2 b^3
≤¢
3 b^2 2 a^2 b^4
≤ ¢
4 a b^2
≤¢
3 2 a^2 b^2
≤
12 a 2 a^2 b^4
6 ab^4
( x ^3 y^2 ) ^4 ( y^6 x ^4 ) ^2
x^12 y ^8 y ^12 x^8
x^4 y ^4
x^4 y^4
¢
2 xy
≤
3 ¢
xy 2
≤
3
x^3 y^3 23
x^3 y^3 8
¢
4 x^2
≤
2
4 2 ( x^2 )^2
16 x^4
(3 x^2 )^2 y^4 3 y^2
32 ( x^2 )^2 y^4 3 y^2
9 x^4 y^4 3 y^2
3 x^4 y^2
x^2 y^2
51. 7,8 × 108
52. –1,6 × 10 –
zeros entre o ponto decimal e 1).
57.
15, 2,
10 ^1 ^7 6,364 10 ^8
(3,7)(4,3) 10 ^7 ^6 2,5 107
15,91 10 ^1 2,5 107
3, 1,
101 ^9 2,6028 10 ^8
(1,35)(2,41) 10 ^7 ^8 1,25 109
3,2535 101 1,25 109
59. (a) Quando n 5 0, a equação a man^ 5 a m+n^ torna- -se ama^0 5 am +0, isto é, ama^0 5 am. Como a ≠ 0, podemos dividir os dois lados da equação por am , portanto, a^0 5 1. (b) Quando n 5 – m , a equação aman^ 5 am+n^ tor- na–se a ma – m^ 5 am +( –m ), isto é, am^2 m^ 5 a^0. Sabe- mos por (a) que a^0 5 1, Como a ≠ 0, podemos dividir os dois lados da equação ama–m^ 5 1 por a m. Portanto, a m^
1 a m^
60. Falso. 61. Falso. 62. O intervalo [ 2 2, 1[ corresponde a 22 # x , 1. A resposta é E. 63. ( 2 2) 4 5 ( 2 2)( 2 2)( 2 2)( 2 2) 5 16. A resposta é A. 64. Em 27 2 5 2(7^2 ), a base é 7. A resposta é B. 65. x
6 x^2
x^2 #^ x^4 x^2
x^4 A resposta é D.
66. Os números reais com magnitude menor que 7 são representados pelo intervalo ] 2 7, 7[. 67. Os números naturais com magnitude menor que 7 são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 68. Os números inteiros com magnitude menor que 7 são 2 6, 2 5, 2 4, 2 3, 2 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
CAPÍTULO 2 Exercícios
1. ou 9, pois 81 ( 9)^2 2. ou 3, pois 81 ( 3) 4 3. , pois 64 43 4. , pois 243 35
7. , pois 8. Nenhum número real multiplicado por ele mesmo resulta em 16. 9. , pois 10. , pois 11. , pois 12. , pois
15. ou 2, 16. ou 3,
7 2
5 2
8 2 64 e 52 25 B
64 25
8 5
(
4 3
)^3
64 B 27
(^3) ^64 27
4 3
23 216 6 63 216
23 216 6 ( 6)^3 216
2144 12 12 #^12 144
3 B
27 8
2327 238
3 2
, pois
27 8
¢
3 2
≤
3
B
16 9
216 29
4 3
ou
4 3
, pois
16 9
¢
4 3
≤
2
25243 3
2364 4
2481 3
281 9
334 Pré-cálculo
57. � (–8 x^6 y^3 )2/3^ � (�8)2/3( x^6 )2/3( y^3 )2/
� [(–8)^2 ]1/^3 x 12/3^ y 6/3^ = 641/3^ x^4 y^2 = 4 x^4 y^2
� 1027 � 827 � 227
2252 #^7 � 4222 #^7 � 2 #^527 � 4 #^227
� 1223 � 1223 � 0
3242 #^3 � 2262 #^3 � 3 #^423 � 2 #^623
� 25 243 a^3 b^5 � 3 b 25 a^3
25 9 ab^6 #^25 27 a^2 b �^1 � 25 (9 ab^6 )( 27 a^2 b �^1 )
�
2 x 23 x y
B
(^3 4) x^2 y^2
B
(^3 2) x^2 y
� B
3 (4 x^2 )( 2 x^2 ) ( y^2 )( y )
� B
(^3 8) x^4 y^3
�
223 x^4 y
B
(^5 4) x^6 y 9 x^3
� B
5 27 #^4 x^6 y 27 #^9 x^3
� B
(^5 108) x^6 y 35 x^3
�
25 108 x^3 y 3
�
x 2
4 6 x^2 y^2 2
B
(^4 3) x^8 y^2 8 x^2
� B
4 2 #^3 x^8 y^2 2 #^8 x^2
�
2
4 6 x^6 y^2 2
�
2
4 6 x^4 x^2 y^2 2
216 y^8 z �^2 � 4 y^4 z �^1 � 4 y^4 z �^1 �
4 y^4 z
29 x �^6 y^4 � 3 x �^3 y^2 � 3 y^2 x �^3 �
3 y^2 x^3
¢
2 x^1 >^2 y^2 >^3
≤¢
3 x �^2 >^3 y^1 >^2
≤ �
6 x^1 >^2 �^2 >^3 y^2 >^3 �^1 >^2
�
6 x �^1 >^6 y^7 >^6
�
6 x^1 >^6 y^7 >^6
�
1 y
x
x
�
x x y
( x^9 y^6 )�^1 >^3 ( x^6 y^2 )�^1 >^2
�
( x^6 y^2 )^1 >^2 ( x^9 y^6 )^1 >^3
�
2 x^6 y^2 23 x^9 y^2
�
x^3 y x^3 y^2
�
p q^2 3 qp^2
�
q 3 p
( p^2 q^4 )^1 >^2 (27 q^3 p^6 )^1 >^3
�
2 p^2 q^4 23 27 q^3 p^6
�
2 ( pq^2 )^2 23 (3 qp^2 )^3
�
pq^2 3 qp^2
(
� 8 x^6 y �^3
)^2 >^3 69.
(como a raiz quadrada é indefinida quando x � 0).
70.
(como a raiz quadrada é indefinida quando y � 0).
71. (2,828...< 3,863...)
73. (3–2^ )–1/2^ = 3
74. (2–3^ )1/3^ < 2
77. 2 2/2^ < 33/4^ (1,587... < 2,279...)
78. 4 –2/3^ < 3–3/4^ (0,396... < 0,438...)
79. t � 0,45 2200 � 4,5 22 6,36 s
23 ( � 2)^3 � � 2
24 (�2)^4
¢
1 2
6 2 ≤
24 � 29 7 24 � 9
22 � 6 6 22 � 26
(3 x � y ) 22 y � (3 x � y ) 22 y
� 3 x 22 y � y #^22 y �
2 (3 x )^2 #^2 y � 2 y^2 #^2 y
� ( x � 2 y ) 2 x � ( x � 2 y ) 2 x
2 x^2 #^ x � 2 (2 y )^2 #^ x � x 2 x � 2 y #^2 x
CAPÍTULO 3
Exercícios
1. 3 x^2 1 2 x 2 1; grau 2. 2. –2 x^3 1 x^2 2 2 x 1 1; grau 3. 3. – x^7 1 1; grau 7. 4. – x^4 1 x^2 1 x 2 3; grau 4. 5. Não, não pode haver um expoente negativo como x^21. 6. Não, não pode haver uma variável no denominador. 7. Sim. 8. Sim. 9. ( x^2 2 3 x 1 7) 1 (3 x^2 1 5 x 2 3) 5 ( x^2 1 3 x^2 ) 1 ( 23 x 1 5 x ) 1 (7 2 3) 5 4 x^2 1 2 x 1 4 10. (–3 x^2 2 5) 1 (– x^2 2 7 x 2 12) 5 (–3 x^2 2 x^2 ) –7 x 1 (–5 2 12) 5 –4 x^2 2 7 x 2 17 11. (4 x^3 2 x^2 1 3 x ) 1 (– x^3 2 12 x 1 3) 5 (4 x^3 2 x^3 ) 2 x^2 1 (3 x 2 12 x ) 1 3 5 3 x^3 2 x^2 2 9 x 1 3
Respostas 335
12. (– y^2 – 2 y + 3) + (5 y^2 + 3 y + 4) = (– y^2 + 5 y^2 ) + (–2 y + 3 y ) + (3 + 4) = 4 y^2 + y + 7 13. 2 x ( x^2 ) – 2 x ( x ) + 2 x (3) = 2 x^3 – 2 x^2 + 6 x 14. y^2 (2 y^2 ) + y^2 (3 y ) – y^2 (4) = 2 y^4 + 3 y^3 – 4 y^2 15. (–3 u )(4 u ) + (–3 u )(–1) = –12 u^2 + 3 u 16. (–4 v )(2) + (–4 v )(–3 v^3 ) = –8 v + 12 v^4 = 12 v^4 – 8 v 17. 2(5 x ) – x (5 x ) – 3 x^2 (5 x ) = 10 x – 5 x^2 – 15 x^3 = –15 x^3 – 5 x^2 + 10 x 18. 1(2 x ) – x^2 (2 x ) + x^4 (2 x ) = 2 x – 2 x^3 + 2 x^5 = 2 x^5 – 2 x^3 + 2 x 19. x ( x + 5) – 2( x + 5) = ( x )( x ) + ( x )(5) – (2)( x ) – (2)(5) = x^2 + 5 x – 2 x – 10 = x^2 + 3 x – 10 20. 2 x (4 x + 1) + 3(4 x + 1) = (2 x )(4 x ) + (2 x )(1) + (3)(4 x ) + (3)(1) = 8 x^2 + 2 x + 12 x + 3 = 8 x^2 + 14 x + 3 21. 3 x ( x + 2) – 5( x + 2) = (3 x )( x ) + (3 x )(2) – (5)( x ) – (5)(2) = 3 x^2 + 6 x – 5 x – 10 = 3 x^2 + x – 10 22. (2 x )^2 – (3)^2 = 4 x^2 – 9 23. (3 x )^2 – (y)^2 = 9 x^2 – y^2 24. (3)^2 – 2(3)(5 x ) + (5 x )^2 = 9 – 30 x + 25 x^2 = 25 x^2 – 30 x + 9 25. (3 x )^2 + 2(3 x )(4 y ) + (4 y )^2 = 9 x^2 + 24 xy + 16 y^2 26. ( x )^3 – 3( x )^2 (1) + 3( x )(1)^2 – (1)^3 = x^3 – 3 x^2 + 3 x – 27. (2 u )^3 – 3(2 u )^2 ( v ) + 3(2 u )( v )^2 – ( v )^3 = 8 u^3 – 3 v (4 u^2 ) + 6 uv^2 – v^3 = 8 u^3 – 12 u^2 v + 6 uv^2 – v^3 28. ( u )^3 + 3( u )^2 (3 v ) + 3( u )(3 v )^2 + (3 v )^3 = u^3 + 9 u^2 v + 3 u (9 v^2 ) + 27 v^3 = u^3 + 9 u^2 v + 27 uv^2 + 27 v^3 29. (2 x^3 )^2 – (3 y )^2 = 4 x^6 – 9 y^2 30. (5 x^3 )^2 – 2(5 x^3 )(1) + (1)^2 = 25 x^6 – 10 x^3 + 1 31. x^2 ( x + 4) – 2 x ( x + 4) + 3( x + 4) = ( x^2 )( x ) + ( x^2 )(4) – (2 x )( x ) – (2 x )(4) + (3)( x ) + (3)(4) = x^3 + 4 x^2 – 2 x^2 – 8 x + 3 x + 12 = x^3 + 2 x^2 – 5 x + 12 32. x^2 ( x – 3) + 3 x ( x – 3) – 2( x – 3) = ( x^2 )( x ) + ( x^2 )(–3) + (3 x )( x ) + (3 x ) (–3) – (2)( x ) – (2)(–3) = x^3 – 3 x^2 + 3 x^2 – 9 x – 2 x + 6 = x^3 – 11 x + 6 33. x^2 ( x^2 + x + 1) + x ( x^2 + x + 1) – 3( x^2 + x + 1)= ( x^2 )( x^2 ) + ( x^2 )( x ) + ( x^2 )(1) + ( x )( x^2 ) + ( x )( x ) + ( x )(1) – (3)( x^2 ) – (3)( x ) – (3)(1) = x^4 + x^3 + x^2 + x^3 + x^2 + x – 3 x^2 – 3 x – 3 = x^4 + 2 x^3 – x^2 – 2 x – 3 34. 2 x^2 ( x^2 – x + 2) – 3 x ( x^2 – x + 2) + 1( x^2 – x + 2) = (2 x^2 )( x^2 ) + (2 x^2 )(– x ) + (2 x^2 )(2) – (3 x )( x^2 ) – (3 x )(– x ) – (3 x )(2) + (1)( x^2 ) + (1)(– x ) + (1)(2) = 2 x^4 – 2 x^3 + 4 x^2 – 3 x^3 + 3 x^2 – 6 x + x^2 – x + 2 = 2 x^4 – 5 x^3 + 8 x^2 – 7 x + 2 35. ( x^2 ) – = x^2 – 2 36. ( x 1/2)^2 – ( y 1/2)^2 = x – y , x ≥ 0 e y ≥ 0 37. , u ≥ 0 e v ≥ 0 38. ( x^2 )^2 – = x^4 – 3 39. x ( x^2 + 2 x + 4) – 2( x^2 + 2 x + 4) = ( x )( x^2 ) + ( x )(2 x ) + ( x )(4) – (2)( x^2 ) – (2)(2 x ) – (2)(4) = x^3 + 2 x^2 + 4 x – 2 x^2 – 4 x – 8 = x^3 – 40. x ( x^2 – x + 1) + 1( x^2 – x + 1) = ( x )( x^2 ) + ( x )(– x ) + ( x )(1) + (1)( x^2 ) + (1)(– x ) + (1)(1) = x^3 – x^2 + x + x^2 – x + 1 = x^3 + 1 41. 5( x – 3) 42. 5 x ( x^2 – 4) 43. yz ( z^2 – 3 z + 2) 44. ( x + 3)(2 x – 5) 45. z^2 – 7 2 = ( z + 7)( z – 7) 46. (3 y )^2 – 4^2 = (3 y + 4)(3 y – 4) 47. 82 – (5 y )^2 = (8 + 5 y )(8 – 5 y ) 48. 42 – ( x + 2)^2 = [4 + ( x + 2)][(4 – ( x + 2)] = (6 + x ) (2 – x ) 49. y^2 + 2( y )(4) + 4^2 = ( y + 4)^2 50. (6 y )^2 + 2(6 y )(1) + 1^2 = (6 y + 1)^2 51. (2 z )^2 – 2(2 z )(1) + 1^2 = (2 z – 1)^2 52. (3 z )^2 – 2(3 z )(4) + 4^2 = (3 z – 4)^2 53. y^3 – 2 3 = ( y – 2)[ y^2 + ( y )(2) + 2 2 ] = ( y – 2)( y^2 + 2 y + 4)
( 2 3)^2
( 2 u ) 2 ( 2 y)^2 u y
( 2 2)^2
Respostas 337
7. O mínimo múltiplo comum dos denominadores
é 2 � 7 � 3 � 5 = 210:
8. O mínimo múltiplo comum dos denominadores é
9. Nenhum valor é restrito, assim o domínio é o de todos os números reais. 10. Nenhum valor é restrito, assim o domínio é o de todos os números reais. 11. O valor sob o radical deve ser não negativo, assim x – 4 � 0, ou seja, x � 4: domínio é [4, �∞[. 12. O valor sob o radical deve ser positivo, assim x � 3 � 0, ou seja, x � �3: domínio é ]�3, �∞[. 13. O denominador não pode ser 0, assim x^2 � 3x ≠ 0 ou x(x � 3) ≠ 0. Então, x ≠ 0 e x � 3 ≠ 0, ou seja, x ≠ 0 e x ≠ �3. 14. O denominador não pode ser 0, assim x^2 � 4 ≠ 0 ou ( x � 2)( x � 2) ≠ 0. Então, x � 2 ≠ x – 2 ≠ 0, ou seja, x ≠ �2 e x ≠ 2. 15. O denominador não pode ser 0, assim x � 1 ≠ 0 ou x ≠ 1. Então x ≠ 2 e x ≠ l. 16. O denominador não pode ser 0, assim x � 2 ≠ 0 ou x ≠ 2. Então x ≠ 2 e x ≠ 0. 17. x �^1 � 1/ x e o denominador não pode ser 0, assim x ≠ 0. 18. e o denominador não
pode ser 0, assim ( x � l)^2 ≠ 0 ou x � 1 ≠ 0, ou seja, x ≠ �l.
19. O denominador é 12 x^3 � (3 x )(4 x^2 ), assim, o novo numerador é 2(4 x^2 ) � 8 x^2. 20. O numerador é 15 y � (5)(3 y ), assim, o novo denominador é (2 y )(3 y ) � 6 y^2. 21. O numerador é x^2 � 4 x � (x � 4)( x ), assim, o novo denominador é ( x )( x ) � x^2. 22. O denominador é x^2 � 4 � ( x � 2)( x � 2), assim, o novo numerador é x ( x � 2) � x^2 � 2 x. 23. O denominador é x^2 � 2 x � 8 � ( x � 4)( x � 2), assim, o novo numerador é ( x � 3)( x � 4) � x^2 � 7 x � 12. 24. O numerador é x^2 � x � 12 � ( x � 4)( x � 3), assim, o novo denominador é ( x � 5)( x � 3) � x^2 � 8 x � 15. 25. O numerador é x^2 � 3 x � x ( x � 3), assim, o novo denominador é x ( x^2 � 2 x ) ou x^3 � 2 x^2. 26. O denominador é x^2 � 9 � ( x � 3)( x � 3), assim, o novo numerador é ( x � 3)( x^2 � x � 6) � x ( x^2 � x � 6) � 3( x^2 � x � 6) � x^3 � x^2 � 6 x � 3 x^2 � 3 x � 18 � x^3 � 4 x^2 � 3 x � 18 27. ( x � 2)( x � 7) cancela durante a simplificação; a restrição indica que os valores 2 e �7 não são válidos na expressão original. 28. ( x � 1)( x � 2) cancela durante a simplificação; a restrição indica que os valores �1 e 2 não são válidos na expressão original. 29. Nenhum fator foi removido da expressão; podemos ver pela inspeção que 2/3 e 5 não são válidos. 30. x cancela durante a simplificação; a restrição indica que 0 não era válido na expressão original. 31. ( x � 3) termina no numerador da expressão sim- plificada; a restrição lembra que começa no denominador, assim, 3 não é permitido. 32. Quando a � b na origem, dividimos por 0; isso não é aparente na expressão simplificada, pois cancelamos um fator de b � a.
( x � 3) 2 ( x � 3)( x � 4)
�
x � 3 x � 4
, x � � 3
z ( z � 3) (3 � z )( 3 � z )
� �
z z � 3
, z � 3
2 y ( y � 3) 4( y � 3)
�
y 2
, y 3
x ( x^2 ) x ( x � 2)
�
x^2 x � 2
, x � 0
3 y^2 (25) 3 y^2 (3 y^2 )
�
25 3 y^2
3 x (6 x^2 ) 3 x (5)
�
6 x^2 5
, x � 0
x ( x � 1)�^2 �
x ( x � 1)^2
�
35 � 36 � 56 210
�
15 210
�
1 14
1 6
�
6 35
�
4 15
�
35 210
�
36 210
�
56 210
�
15 � 56 � 50 210
�
21 210
�
1 10
1 14
�
4 15
�
5 21
�
15 210
�
56 210
�
50 210
9 4
�
15 10
�
9 4
�
3 2
�
9 4
2
3
�
9 #^2 4 #^3
�
18 12
�
3 2
2 3
�
4 5
�
2 3
5
4
�
2 #^5 3 #^4
�
10 12
�
5 6
0 e
� �
338 Pré-cálculo
y ≠ 2 e y ≠ 2
51. , y ≠ 5, y ≠ 5
e ≠
52. , y ≠ 4 e
y ≠
54. , x ≠ 0 55. , x ≠ y e y ≠ 0 56. , x ≠ y e y ≠ 0 57. , x ≠ 0 e y ≠ 0 58. , x ≠ 0,
y ≠ 0, x ≠ y e x ≠ – y
3 x 1 x 2
x 4 x 2
2 x 1 3 x 5
2 x 2 x 5
( x y )( x y ) 2 xy
4 x
(^2) y ( y x )( y x )
2 x
2 x^2 y ( x 3)^2
x^ ^3
8 xy
x 4( x 3)
7( x y ) 14( x y )
3 8
x ( x 3) 14 y
3 y
2
2 xy
3( x 3) 28
4 x y
x
8 y
x^2 2 y^2
1 2 x
4
1
2 x
2 3
( y 4)^2 (3 y 2 )( y 1)
y (3 y^ ^ 2)
y 4
y ( y 4) y 4
1 2
( y 5)( 2 y 1) ( y 5)( y 5)
y^ ^5
y (2 y 1)
1 y
y ( y^2 2 y 4) y^2 ( y 2)
( y^ ^ 2)( y^ ^ 2)
( y 2 )( y^2 2 y 4)
1 y
,
( x 1)( x^2 x 1) 2 x^2
4 _x
x_^2 x 1
2( x 1) x
x 0, y 0 e x
1 6
3 x (6 x 1) 3 xy
12 y
2
6 x 1
12 y
x 3 x 1
( x 1) ( x 3 )( x 3)
1 x 3
, x 1 e x 3
x 3 7
14
2( x 3)
1, x 3
1 x 1
( x^ ^ 1)( x^ ^ 1)
3
x 1 3
, x 1
y y^2 5
, y 3
y ( y 3) y^2 ( y 3) 5( y 3)
y ( y 3) ( y 3)( y^2 5)
y ( y 3) ( y^3 3 y^2 ) (5 y 15)
x^2 3 x^2
, x 2
x^2 ( x 2) 3( x 2) x^2 ( x 2)
( x 2)( x^2 3) x^2 ( x 2)
( x^3 2 x^2 ) (3 x 6) x^2 ( x 2)
2 z ( z^2 3 z 9) ( z 3)( z^2 3 z 9)
2 z z 3
2 z ( z^2 3 z 9) ( z 3) 3 z^2 ( z )(3) 3 2 4
2 z ( z^2 3 z 9) z^3 33
4 z^2 2 z 1 z 3
, z
1 2
(2 z 1) 3 ( 2 z )^2 (2 z )(1) 12 4 ( z 3)( 2 z 1)
(2 z )^3 13 ( z 3)(2 z 1)
y ( y 7)( y 3) ( y 7)( y 7)
y ( y 3) y 7
, y 7
y ( y^2 4 y 21) ( y 7)( y 7)
( y 5 )( y 6) ( y 3)( y 6)
y 5 y 3
, y 6
y
340 Pré-cálculo
71. , x ≠ – y. 72. , x ≠ y.
74. , x ≠ 0 e
y ≠ 0
CAPÍTULO 5
Revisão rápida
1. 2 x + 5 x + 7 + y – 3 x + 4 y + 2 = (2 x + 5 x – 3 x ) + ( y + 4 y ) + (7 + 2) = 4 x + 5 y + 9 2. 4 + 2 x – 3 z + 5 y – x + 2 y – z – 2 = (2 x – x ) + (5 x + 2 y ) + (–3 z – z ) + (4 – 2) = x + 7 y – 4 z + 2 3. 3(2 x – y ) + 4( y – x ) + x + y = 6 x – 3 y + 4 y – 4 x + x + y = 3 x + 2 y 4. 5(2 x + y – 1) + 4( y – 3 x + 2) + 1 = 10 x + 5 y – 5 y – 5 + 4 y – 12 x + 8 + 1 = –2 x + 9 y + 4
11. (3 x – 4)^2 = 9 x^2 – 12 x – 12 x + 16 = 9 x^2 – 24 x + 16 12. (2 x + 3)^2 = 4 x^2 + 6 x + 6 x + 9 = 4 x^2 + 12 x + 9 13. (2 x + 1)(3 x – 5) = 6 x^2 – 10 x + 3 x – 5 = 6 x^2 – 7 x – 5 14. (3 y – 1)(5 y + 4) = 15 y^2 + 12 y – 5 y – 4 = 15 y^2 + 7 y – 4 15. 25 x^2 – 20 x + 4 = (5 x – 2)(5 x – 2) = (5 x – 2)^2 16. 15 x^3 – 22 x^2 + 8 x = x (15 x^2 – 22 x + 8) = x (5 x – 4)(3 x – 2) 17. 3 x^3 + x^2 – 15 x – 5 = x^2 (3 x + 1) – 5(3 x + 1) = (3 x + 1)( x^2 – 5) 18. y^4 – 13 y^2 + 36 = ( y^2 – 4)( y^2 – 9) = ( y – 2) ( y + 2)( y – 3)( y + 3)
2( x 4) ( x 2 )( x 2)
, se x 3
2( x 4 )( x 3) ( x 3 )( x 2 )( x 2)
2( x^2 x 12) ( x 3 )( x 2 )( x 2)
2 x^2 2 x 24 ( x 3 )( x 2 )( x 2)
( x^2 3 x 2) (3 x^2 5 x 22) ( x 3 )( x 2 )( x 2)
(3 x 11 )( x 2) ( x 3 )( x 2 )( x 2)
3 x 11 ( x 3 )( x 2)
( x 1 )( x 2) ( x 3 )( x 2 )( x 2)
x 1 x^2 5 x 6
3 x 11 x^2 x 6
x 1 ( x 3 )( x 2)
x^2 x 2 (2 x 1 )( x 3)
( x 2 )( x 1) (2 x 1 )( x 3)
2(2 x 1) (2 x 1 )( x 3)
x^2 3 x 4 x 2 (2 x 1 )( x 3)
x 2 x 1
2 x 3
x ( x 3) (2 x 1 )( x 3)
x 3
x 4
4 x 12
3 x 12
7 x 12
5 x 20 6 x 2 10
11 x 18 10
x 4 2
3 x 1 5
5( x 4) 10
2(3 x 1) 10
1 x
1 y
x
y xy
x xy
x^2 y xy
y x x^2 y xy
2
1 x
2 x x
1 x
2 x 1 x
y 2 3 y 3 ( y 1 )( y 2)
4 y 5 ( y 1 )( y 2)
3( y 1) ( y 1 )( y 2)
1 y 1
3 y 2
y 2 ( y 1 )( y 2)
2 y
3 y
5 y
1 x ^1 y ^1
1 1 x
1 y
1 y x xy
xy y x
1 x ^
1 y ^
y xy ^
x xy ^
x y xy
x y x y
¢
x y xy ≤^ ¢^
1 x y
≤
1 xy
Respostas 341
Exercícios
1. (a) e (c): 2(�3)^2 � 5(�3) � 2(9) – 15 � 18 – 15 � 3, e 2(1/2)^2 � 5(1/2) � 2(1/4) � 5/2 � 1/2 � 5/2 � 6/2 � 3. Substituir x � �1/2 resulta �2 e não 3. 2. (a): �1/2 � 1/6 � � 3/6 � 1/6 � � 2/6 � �1/ e �1/3 � �1/3. Ou multiplicando os dois lados por 6: 6( x /2) � 6(1/6) � 6( x /3), assim, 3 x � 1 � 2 x. Subtraia 2 x dos dois lados: x � 1 � 0. Subtraia 1 dos dois lados: x � �1. 3. (b): Substituir x � �2 ou x � 2 resulta , que é indefinido. 4. (c): (10 � 2)1/3^ � 8 1/3^ � 2. Substituir x � � 6 resulta �2, e não 2; substituir x � 8 resulta 6 1/3^ 1,82, e não 2. 5. Sim: � 3 x � 5 � 0. 6. Não. Não há variável x na equação. 7. Não. Subtrair x dos dois lados resulta 3 � �5, que é falso e não contém a variável x. 8. Não. A maior potência de x é 2, assim, a equa- ção é quadrática e não linear. 9. Não. A equação tem , assim, não é linear. 10. Não. A equação tem 1/ x � x �^1 , assim não é linear. 11. 3 x = 24 x = 8 12. 4 x = – x = – 4 13. 3 t = 12 t = 4 14. 2 t = 12 t = 6 15. 2 x – 3 = 4 x – 5 2 x = 4 x – 2 –2 x = – x = 1 16. 4 – 2 x = 3 x – 6 - 2 x = 3 x – - 5 x = – x = 2 17. 4 – 3 y = 2 y + 8 - 3 y = 2 y + 4 - 5 y = 4 y = = �0, 18. 4 y = 5 + 8 - y = 8 y = –
x = = 1,
2 x =
x =
x = = 1,
x + = 2
x =
x + = 3
x = = 2,
23. 6 – 8 z – 10 z – 15 = z – 17 - 18 z – 9 = z – 17 - 18 z = z – 8 - 19 z = – 8 z = 24. 15 z – 9 – 8 z – 4 = 5 z – 2 7 z – 13 = 5 z – 2 7 z = 5 z + 11 2 z = 11 z = = 5, 25. 4 = 4(3 x )
2 x – 3 + 20 = 12 x 2 x + 17 = 12 x 17 = 10 x
x = = 1,
17 10
¢
2 x � 3 4
� 5 ≤
11 2
8 19
9 4
3 4
3 ¢
1 3
x �
1 4
≤
4 3
2 3
2 ¢
1 2
x �
1 3
≤
6 5
12 10
12 5
3 ¢
2 3
x ≤ � 3 ¢
4 5
≤
7 4
¢
7 8
¢ ≤
1 2
x ≤
�
4 5
2 x
2 � 3 � 2
21 � 4 � 2 �
21 � 0 2 � 2 � 21 � 2 � 1 � 2 � 3
Respostas 343
x 4 ou x 5 Os fatores do lado esquerdo para ( x 4)( x – 5) 0: x + 4 = 0 ou x 5 = 0 x = 4 x = 5 41.
x 3 ou x 0,5. Os fatores do lado esquerdo para ( x 3)(2 x – 1) 0: x + 3 = 3 ou 2 x – 1 = 0 x = –3 2 x = 1 x = 0, 42.
x 0,5 ou x 1,5. Os fatores do lado esquerdo para (2 x – 1) (2 x 3) 0: 2 x – 1 = 0 ou 2 x – 3 = 0 2 x = 1 2 x = 3 x = 0,5 x = 1,
43.
x 3 ou x 5 Reescreva como x^2 – 8 x + 15 = 0; os fatores do lado esquerdo para ( x – 3) ( x – 5) = 0: x – 3 = 0 ou x – 5 = 0 x = 3 x = 5
x 2/3 ou x 3. Reescreva como 3 x^2 – 7 x 6 0; os fatores do lado esquerdo para (3 x 2) ( x 3) 0: 3 x + 2 = 0 ou x – 3 = 0
x = x = 3
45.
x 5 ou x 4/ Reescreva como 3 x^2 11 x 20 0; os fatores do lado esquerdo para (3 x 4) ( x 5) 0: 3 x – 4 = 0 ou x + 5 = 0
x = x = –
46. Reescreva como (2 x )^2 52 ; então 2 x ±5, ou x ±5/2. 47. Divida ambos os lados por 2 para obter ( x – 5)^2 8,5. Então, x – 5 e x 5 48. Divida ambos os lados por 3 para obter ( x 4)^2
8/3. Então, x 4 e x 4.
49. Divida ambos os lados por 4 para obter ( u 1)^2 4,5. Então, u 1 e u 1 . 50. Adicionar 2 y^2 8 a ambos os lados resulta 4 y^2 14. Divida ambos os lados por 4 para obter y^2
7/2, assim y .
51. 2 x + 3 = ± 13, assim x = (–3 ± 13), resulta x = –8 ou x = 5. 52. x^2 + 6 x + 3^2 = 7 + 3^2 ( x + 3)^2 = 16
x = – 3 ± 4 x = –7 ou x = 1
x 3 216
1 2
B
7 2
2 4,
2 4,
B
8 3
B
8 3
2 8,5 2 8,
4 3
X=-5 Y= [ 10, 10] por [ 30, 30]
2 3
X=- 6666667 Y= [ 6, 6] por [ 20, 20]
0 .
X=3 Y= [ 6, 6] por [ 4, 4]
X= (^5) Y= [ 3, 3] por [ 2, 2]
0 .
X=-3 (^) Y= [ 5, 5] por [ 10, 10]
x=-4 Y=
344 Pré-cálculo
53. x^2 + 5 x = 9
x^2 + 5 x + = 9 +
( x + 2,5)^2 = 9 + 6,
x + 2,5 = ±
x = 2,5 – 6,41 ou x = 2,
54. x^2 – 7 =
x^2 – 7 x +
0,18 ou
55. x^2 + 6 x = 4
x^2 + 6 x + = 4 +
( x + 3)^2 = 4 + 9
x + 3 =
x = – 3 x = – 3 – –6,61 ou x = –3 + 0,
56. 2 x^2 – 7 x + 9 = x^2 – 2 x – 3 + 3 x 2 x^2 – 7 x + 9 = x^2 + x – 3 x^2 – 8 x = – x^2 – 8 x + (–4)^2 = –12 + (–4)^2 ( x – 4)^2 = 4 x – 4 = ± 2 x = 4 ± 2 x = 2 ou x = 6 57. 3 x^2 – 6 x – 7 = x^2 + 3 x – x^2 – x + 3 3 x^2 –8 x = 10
x^2
x = ou
x =
58. a = 1, b = 8, e c = –2:
x 8,24 ou x 0,
59. a = 2, b = –3, e c = 1:
x = ou x = 1
60. x^2 – 3 x – 4 = 0, assim, a = 1, b = –3, e c = –4:
x = –1 ou x = 4
61. x^2 – – 5 = 0, assim, a = 1, b = – e c = –5:
x –1,53 ou x 3,
62. x^2 + 5 x – 12 = 0, assim, a = 1, b = 5 e c = –12:
x 6,77 ou x 1,
5 273 2
5 2
273 2
x
5 2 (5)^2 4(1)( 12) 2(1)
23 223 2
1 2
23
1 2
223
x
23 2 ( 2 3)^2 4(1)( 5)
2(1)
23 x 23
x
3 2 ( 3)^2 4(1)( 4)
2(1)
3 225 2
3 2
5 2
1 2
x
3 2 ( 3)^2 4(2)(1) 2(2)
3 21 4
3 4
1 4
8 622 2
4 322
x
8 282 4(1)( 2) 2(1)
8 272 2
4 3
1 3
246 3,
4 3
1 3
246 0,
x
4 3
1 3
246
x
4 3
B
46 9
¢ x
4 3
≤
2
10 3
16 9
x^2
8 3
x ¢
4 3
≤
2
10 3
¢
4 3
≤
2
8 3
x
10 3
213 213
213
213
¢
6 2
≤
2 ¢
6 2
≤
2
x
7 2
x 211 6,
7 2
211
x
7 2
211
x
7 2
211
¢ x
7 2
≤
2
¢
7 2
≤
2
5 4
¢
7 2
≤
2
5 4
2 15,25
2 15,25
2 15,
¢
5 2
≤
2 ¢
5 2
≤
2
346 Pré-cálculo
88. Resolvendo x^2 ( x 5)^2 182 , ou 2 x^2 10 x - 299 0, resulta x 9,98 ou x 14,98. A escada está cerca de x 5 14,98 ft de altura na parede. 89. A área do quadrado é x^2. A área do semicírculo é 1/2 r^2 1/2 (1/2 x )^2 , como o raio do semicír- culo é 1/2 x. Então, 200 x^2 1/2 (1/2 x )^2. Resolvendo (graficamente é mais fácil) resulta x 11,98 ft ( x deve ser positivo). 90. Verdadeiro. 91. Falso. 92. A resposta é D. 93. A resposta é B. 94. A resposta é B. 95. A resposta é E. 96. (a) ax^2 + bx + c = 0 ax^2 + bx = – c
x^2 +
(b) x^2 +
(c) x +
97. (a) = 2 | x^2 – 4| = 2 x^2 – 4 = 2 ou x^2 – 4 = – x^2 = 6 x^2 = 2 x = x =
| x^2 – 4| = 2, { , }. (b) = 4 | x^2 – 4| = 4 x^2 – 4 = 4 ou x^2 – 4 = – x^2 = 8 x^2 = 0
x = x = 0
(c) = 5 | x^2 – 4| = 5 x^2 – 4 = 5 ou x^2 – 4 = – x^2 = 9 x^2 = – x = ± 3 sem solução | x^2 – 4| = 5, {±3} (d) c 1. O gráfico sugere y 1 não inter- secciona y | x^2 – 4|. Como o valor absoluto nunca é negativo, | x^2 – 4| 1 não tem soluções. (e) Não existem outros possíveis de soluções desta equação. Para todos, a solu- ção envolve duas equações quadráticas, cada um pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.
98. (a)
(b)
99. x 1 + x 2 = = 5. Como a = 2, isso significa que b = –10.
x 1 x 2 = = 3, como a 2, isso significa que c = 6. As soluções são
, que se reduz
a 2,5 ± , ou aproximadamente 0, 697 e
4,303.
CAPÍTULO 6
Revisão rápida
1. –7 2 x – 3 7 –4 2 x 10 –2 x 5
1 2
213
10 2100 48 4
c a
b a
b^2 ( b^2 4 ac ) 4 a^2
c a
( b ) 2 ( 2 D )^2 4 a^2
( b 2 D ) 2 a
( b^ ^2 D )
2 a
2 b 2 a
b a
2 b 2 D 2 D 2 a
b 2 D 2 a
b 2 D 2 a
1
c
28
1
c
22 26
26 22
1
c
x
b 2 b^2 4 ac 2 a
x
b 2 a
2 b^2 4 ac 2 a
x
b 2 a
2 b^2 4 ac 2 a
b 2 a
B
b^2 4 ac 4 a^2
¢ x
b 2 a
≤
2
b^2 4 ac 4 a^2
¢ x
b 2 a
≤¢ x
b 2 a
≤
4 ac 4 a^2
b^2 4 a^2
x^2
b a
x ¢
b 2 a
≤
2
c a
b^2 4 a^2
b a
x ¢
1 2
_b
a_
≤
2
c a
¢
1 2
_b
a_
≤
2
b a
x
c a
números
Respostas 347
2. 5 x – 2 � 7 x + 4 –2 x � 6 x � – 3. ⎟ x + 2⎟ = 3 x + 2 = 3 ou x + 2 = – x = 1 ou x = – 4. 4 x^2 – 9 = (2 x – 3)(2 x + 3) 5. x^3 – 4 x = x ( x^2 – 4) = x ( x – 2)( x + 2) 6. 9 x^2 – 16 y^2 = (3 x – 4 y )(3 x + 4 y )
7.
Exercícios
1. (a): 2(0) – 3 � 0 – 3 � � 3 � 7. No entanto, substituindo x � 5 resulta 7 (não é menor que 7); substituindo x � 6 resulta 9. 2. (b) e (c): 3(3) – 4 � 9 – 4 � 5 � 5 e 3(4) – 4 � 12 – 4 � 8 � 5 3. (b) e (c): 4(2) – 1 � 8 – 1 � 7 e � 1 � 7 � 11, e também 4(3) – 1 � 12 – 1 � 11 e � 1 � 11 � 11. No entanto, substituindo x � 0 resulta �1 (não é maior que �1). 4. (a) , (b) e (c): 1 – 2(–1) � 1 � 2 � 3 e � 3 � 3; 1 – 2(0) � 1 – 0 � 1 e � 3 � 1 � 3; 1 – 2(2) � 1 – 4 � �3 e � 3 � � 3 � 3.
2 x � 1 � 4 x + 3 2 x � 4 x + 4 � 2 x � 4 x � � 2 8.
3 x � 1 � 6 x + 8 3 x � 6 x + 9 � 3 x � 9 x � � 3 9.
2 � x + 6 � 9 –4 � x � 3 10.
� 1 � 3 x � 2 � 7 1 � 3 x � 9
� x � 3
11.
10 � 6 x + 6 x � 3 � 2 x + 1 7 � 2 x + 1 6 � 2 x 3 � x x � 3 12.
4 � 4 x + 5 + 5 x � 3 x � 1 9 + x � 3 x � 1 10 + x � 3 x 10 � 2 x 5 � x x � 5
13. � 4(�3)
5 x + 7 � � 12 5 x � – 19
x � �
19 5
4 ¢
5 x � 7 4
≤
� 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
� 2 � 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 3
� 5 � 4 � 3 � 2 � 1 0 1 2 3 4 5
� 5 � 4 � 3 � 2 � 1 0 1 2 3 4 5
� 5 � 4 � 3 � 2 � 1 0 1 2 3 4 5
� 5 � 4 � 3 � 2 � 1 0 1 2 3 4 5
� 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
� 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(3 x � 1) ( x � 1 )( x � 1)
, se x � 2.
�
(3 x � 1 )( x � 2) ( x � 2 )( x � 1 )( x � 1)
�
3 x^2 � 5 x � 2 ( x � 2 )( x � 1 )( x � 1)
�
(2 x^2 � 3 x � 1) � ( x^2 � 2 x � 3) ( x � 2 )( x � 1 )( x � 1)
�
(2 x � 1 )( x � 1) � ( x � 3 )( x � 1) ( x � 2 )( x � 1 )( x � 1)
2 x � 1 ( x � 2 )( x � 1)
�
x � 3 ( x � 2 )( x � 1)
�
4 x^2 � 4 x � 1 ( x � 1 )( 3 x � 4)
�
x (3 x � 4) ( x � 1 )( 3 x � 4)
�
( x � 1 )( x � 1) ( x � 1 )( 3 x � 4)
x x � 1
�
x � 1 3 x � 4
x^2 � 2 x � 35 x^2 � 10 x � 25
�
( x � 7 )( x � 5) ( x � 5 )( x � 5)
�
x � 7 x � 5
z^2 � 25 z^2 � 5 z
�
( z � 5 )( z � 5) z ( z � 5)
�
z � 5 z
Respostas 349
28. ]�∞, �1,3[ ∪ ]2,3, ∞[:
2 x � 1 � 3,6 ou 2 x � 1 � � 3, 2 x � 4,6 2 x � �2, x � 2,3 x � �1,
29. ]1, 5[
� 2 � x � 3 � 2 1 � x � 5
30. [�8, 2]
� 5 � x + 3 � 5 � 8 � x � 2
|4 � 3 x | � 6 � 6 � 4 � 3 x � 6 � 10 � � 3 x � 2
� x �
32. ]�∞, 0[ ∪ ]3, �∞[
|3 � 2 x | � 3 3 � 2 x � 3 ou 3 � 2 x � 3 � 2 x � 0 � 2 x � � 6 x � 0 x � 3
33. ]�∞, �11] ∪ [7, �∞[
ou
x + 2 � � 9 x + 2 � 9 x � � 11 x � 7
34. [�19, 29]
� 24 � x � 5 � 24 � 19 � x � 29
35. 2 x^2 + 17 x + 21 = 0 (2 x + 3)( x + 7) = 0 2 x + 3 = 0 ou x + 7 = 0
x = ou x = � 7
O gráfico de y � 2 x^2 � 17 x � 21 está abaixo do eixo x para � 7 � x � �3/2. Portanto, [�7, �3/2] é a solução pois os extremos estão incluídos.
36. 6 x^2 � 13 x + 6 = 0 (2 x � 3)(3 x � 2) = 0 2 x � 3 = 0 ou 3 x � 2 = 0
x = ou x =
O gráfico de y � 6 x^2 � 13 x � 6 está acima do eixo x para x � 2/3 e para x � 3/2. Portanto, ]�∞, 2/3] ∪ [3/2, �∞[ é a solução pois os extremos estão incluídos.
37. 2 x^2 + 7 x � 15 = 0 (2 x � 3)( x + 5) = 0 2 x � 3 = 0 ou x + 5 = 0
x = ou x = � 5
O gráfico de y � 2 x^2 � 7 x � 15 está acima do eixo x para x � �5 e para x � 3/2. Portanto, ]�∞, �5[ ∪ ]3/2, �∞[ é a solução.
38. 4 x^2 � 9 x + 2 = 0 (4 x � 1)( x � 2) = 0 4 x � 1 = 0 ou x � 2 = 0
x = ou x = 2
O gráfico de y � 4 x^2 � 9 x � 2 está abaixo do eixo x para 1/4 � x � 2. Portanto, ]1/4, 2[ é a solução.
39. 2 � 5 x � 3 x^2 = 0 (2 + x )(1 � 3 x ) = 0 2 + x = 0 ou 1 � 3 x = 0
x = �2 ou x =
O gráfico de y � 2 � 5 x � 3 x^2 está abaixo do eixo x para x � �2 e para x � 1/3. Portanto, ]�∞, �2[ ∪ ]1/3, �∞[ é a solução.
1 3
1 4
3 2
2 3
3 2
�
3 2
� 50 � 40 � 30 � 20 � 10 0 0 1020 30 40 50
x � 5 4
2
x � 5 4
2 � 6
� 12 � 10 � 8 � 6 � 4 � 20 2 4 6 8
x � 2 3
� 3
x � 2 3
� � 3
� 5 � 4 � 3 � 2 � 1 0 1 2 3 4 5
� 5 � 4 � 3 � 2 � 1 0 1 2 3 4 5
�
2 3
10 3
R�
2 3
,
10 3
B
� 12 � 10 � 8 � 6 � 4 � 20 2 4 6 8
� 2 � 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
� 5 � 4 � 3 � 2 � 1 0 1 2 3 4 5
350 Pré-cálculo
40. 21 + 4 x � x^2 = 0 (7 � x )(3 + x ) = 0 7 � x = 0 ou 3 + x = 0 x = 7 ou x = � 3 O gráfico de y � 21 � 4 x � x^2 está acima do eixo x para � 3 � x � 7. Portanto, ]�3, �7[ é a solu- ção, pois os extremos estão incluídos. 41. x^3 � x = 0 x ( x^2 � 1) = 0 x ( x + 1)( x � 1) = 0 x = 0 ou x + 1 = 0 ou x � 1 = 0 x = 0 ou x = �1 ou x = 1 O gráfico de y � x^3 � x está acima do eixo x para x � 1 e para � 1 � x � 0. Portanto, [�1, 0] ∪ [1, �∞[ é a solução, pois os extremos estão incluí- dos. 42. x^3 � x^2 � 30 x = 0 x ( x^2 � x � 30) = 0 x ( x � 6)( x + 5) = 0 x = 0 ou x � 6 = 0 ou x + 5 = 0 x = 0 ou x = 6 ou x = � 5 O gráfico de y � x^3 � x^2 � 30 x está abaixo do eixo x para x � �5 e para 0 � x � 6. Portanto, ]�∞, �5] ∪ [0, 6] é a solução, pois os extremos estão incluídos. 43. O gráfico de y � x^2 � 4 x � 1 é zero para x �0,24 e x 4,24 e está abaixo do eixo x para �0,24 � x � 4,24. Portanto, ]�0,24; 4,24[ é a solução aproximada. 44. O gráfico de y � 12 x^2 � 25 x � 12 é zero para x � 4/3 e x � 3/4 e está acima do eixo x para x � 3/4 e para x � 4/3. Portanto, ]�∞, 3/4] ∪ [4/3, �∞[ é a solução. 45. 6 x^2 � 5 x � 4 = 0 (3 x � 4)(2 x + 1) = 0 3 x � 4 = 0 ou 2 x + 1 = 0 x = ou x =
O gráfico de y � 6 x^2 � 5 x � 4 está acima do eixo x para x � �1/2 e para x � 4/3. Portanto, ]�∞, �1/2[ ∪ ]4/3, �∞[ é a solução.
46. 4 x^2 � 1 = 0 (2 x + 1)(2 x � 1) = 0 2 x + 1 = 0 ou 2 x � 1 = 0
x = ou x =
O gráfico de y � 4 x^2 � 1 está abaixo do eixo x para �1/2 � x � 1/2. Portanto, [�1/2, 1/2] é a solução, pois os extremos estão incluídos.
47. O gráfico de y � 9 x^2 � 12 x � 1 parece ser zero para x �1,41 e x 0,08 e está acima do eixo x para x � �1,41 e x � 0,08. Portanto, ]�∞, �1,41] ∪ [0,08, �∞[ é a solução aproxi- mada, e os extremos estão incluídos. 48. O gráfico de y � 4 x^2 � 12 x � 7 parece ser zero para x 0,79 e x 2,21 e está abaixo do eixo x para 0,79 � x � 2,21. Portanto, ]0,79, 2,21[ é a solução aproximada. 49. 4 x^2 � 4 x + 1 = 0 (2 x � 1)(2 x � 1) = 0 (2 x � 1)^2 = 0 2 x � 1 = 0 x =
O gráfico de y � 4 x^2 � 4 x � 1 está totalmente acima do eixo x , exceto em x � 1/2. Portanto, ]�∞, 1/2[ ∪ ]1/2, �∞[ é a solução estabelecida.
50. x^2 � 6 x + 9 = 0 ( x � 3)( x � 3) = 0 ( x � 3)^2 = 0 x � 3 = 0 x = 3 O gráfico de y � x^2 � 6 x � 9 está totalmente acima do eixo x , exceto em x � 3. Portanto, {3} é a solução estabelecida. 51. x^2 � 8 x + 16 = 0 ( x � 4)( x � 4) = 0 ( x � 4)^2 = 0 x � 4 = 0 x = 4 O gráfico de y � x^2 � 8 x � 16 está totalmente acima do eixo x , exceto em x � 4. Portanto, não há solução, isto é, a solução é dada por . 52. 9 x^2 + 12 x + 4 = 0 (3 x + 2)(3 x + 2) = 0 (3 x + 2)^2 = 0 3 x + 2 = 0 x =
O gráfico de y � 9 x^2 � 12 x � 4 está totalmente acima do eixo x , exceto em x � �2/3. Portanto, todo número real satisfaz a inequação. A solução é ]�∞, �∞[.
53. O gráfico de y � 3 x^3 � 12 x � 2 é zero para x �2,08, x 0,17 e x 1,91 e está acima do eixo x para �2,08 � x � 0,17 e x � 1,91. Portanto, [�2,08, 0,17] ∪ [1,91, �∞[ é a solu- ção aproximada.
�
2 3
1 2
1 2
�
1 2
�
1 2
4 3
