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I Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
10 de outubro de 1981
1 ¯a PARTE
Coloque certo (C) ou errado (E) nas proposi¸c˜oes abaixo:
- ( ) O valor da express˜ao (−2)^2 +
[
]}
´e igual a 1.
- ( ) A forma mais simplificada da express˜ao:
(−a − b)^2 + (−a + b)^2 + 2(a − b)(b − a)
´e 4b^2.
- ( ) O valor de a para que as equa¸c˜oes: 3x − 12 = 0 e ax + a = 15 tenham a mesma raiz ´e a = 2.
- ( ) Se N, Z, Q e R representam os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais e reais respectivamente, ent˜ao: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
- ( ) Se x = −1 e y = 2 ´e a solu¸c˜ao do sistema
2 x − y = a 3 x + 2y = b ent˜ao a + b = 1.
- ( ) Os ˆangulos da base de um triˆangulo is´osceles s˜ao iguais.
- ( ) O complemento de 30◦^ ´e 150◦.
- ( ) Se ABC ´e um triˆangulo is´osceles, com AB = AC, ent˜ao a altura, mediana e bissetriz (que partem do v´ertice A) s˜ao todas iguais.
- ( )
= 2 e
- ( ) Na figura abaixo, onde duas retas paralelas s˜ao transversais a outras duas retas paralelas, as medidas dos ˆangulos que aparecem podem ser expressos unicamente por dois valores.
2 ¯a PARTE
x Problema 1
Encontre dois n´umeros a e b entre 0 e 2, de modo que b − a =
. Tomando os valores encontrados para a e b considere o conjunto A = { 0 , a, b, 2 } e determine trˆes subconjuntos de A.
x Problema 2
Considere os conjuntos:
Z = Conjunto dos n´umeros inteiros. A = {x : x ∈ Ze 2x − 3 < 7 }. B =
x : x ∈ Ze
x + 3 2
Determine os elementos de A ∩ B e BC^ (aqui o complemento ´e tomado em rela¸c˜ao a Z).
x Problema 3
Se x = 5 + 3
2, encontre y tal que xy = 1 e determine x + 7y.
x Problema 4
Seja A = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10.
a) Encontre todos os fatores primos de A;
b) Encontre a maior potˆencia de 10 que divide A, isto ´e, encontre o maior inteiro positivo α tal que A seja divis´ıvel por α.
x Problema 5
Calcule todos os valores inteiros poss´ıveis de x na figura abaixo:
B
A C
x
x Problema 6
Na figura AB//CD. Encontre uma rela¸c˜ao entre θ, α e β.
A B
C D
α
θ
β
x Problema 7
Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos pesadas cargas. Lamentava-se o cavalo de seu revoltante fardo, ao que obtemperou-lhe o burro: De que te queixas? Se eu te tomasse um saco, minha carga passaria a ser o dobro da tua. Por outro lado, se eu te desse um saco, tua carga igualaria a minha! Quantos sacos levava o cavalo, e quantos, o burro?
x Problema 8
Na figura abaixo as retas r e s que contˆem C, D e A, B, respectivamente, s˜ao paralelas e est˜ao a uma distˆancia d. Qual a rela¸c˜ao entre as ´areas dos triˆangulos ABC e ABD?
A B
r C D
s
d
II Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
16 de outubro de 1982
1 ¯a PARTE
Coloque certo (C) ou errado (E) nas proposi¸c˜oes abaixo:
- ( ) O conjunto dos n´umeros pares e o conjunto dos n´umeros ´ımpares s˜ao disjuntos.
- ( ) O valor da express˜ao 3 {− 5 · (−5) − [− 17 − 4 · (− 3 − 18 : 9) − 24 : (−3)] − 2 } ´e 216.
- ( ) O n´umero
´e irracional.
- ( ) Dois quadrados s˜ao tais que a ´area de um deles ´e o dobro da ´area do outro. Se a diagonal do menor mede 4 cm ent˜ao a diagonal do maior mede 8cm.
- ( ) O valor de
50 ´e 8
- ( ) Se y = x^2 − 2 x + 1 e x 0 ´e um valor que anula y ent˜ao x 0 ´e maior que zero.
- ( ) Se a diferen¸ca entre as medidas de dois ˆangulos ´e de 32◦, ent˜ao a diferen¸ca entre as medidas de seus complementos ser´a de 58◦.
- ( ) O mdc(12, 8) = 4 e o mmc(6, 4) = 12.
- ( ) A equa¸c˜ao
x − 4 10
x − 2 15
tem como raiz
- ( ) Na figura abaixo temos  + B̂ + Ĉ + D̂ + Ê = 180◦.
D
C
A B
E
2 ¯a PARTE
x Problema 1
Duas torres, uma com 30 passos e a outra com 40 passos de altura, est˜ao a distˆancia de 50 passos uma da outra. Entre ambas se acha uma fonte, para a qual dois p´assaros descem no mesmo momento do alto das torres com a mesma velocidade e chegam ao mesmo tempo. Qual as distˆancias horizontais da fonteas duas torres?
x Problema 2
Determine qual ´e o maior dos dois n´umeros
123456 + 10^999
123457 + 10^999
e
123457 + 10^999
123458 + 10^999
x Problema 3
Admita o seguinte resultado: Todo triˆangulo ´e inscrit´ıvel. Diga como vocˆe encontraria o centro do c´ırculo circunscrito a um triˆangulo ABC dado.
x Problema 4
Determinar qual o algarismo final do produto (156)^8 · (675)^15.
x Problema 5
Se n ´e um n´umero inteiro maior do que 2, calcule o valor de
1 ( 1 − (^12)
1 − (^1) n
3 ¯a PARTE
Escolha Somente CINCO dos DEZ problemas a seguir
x Problema 1
Dobra-se um peda¸co de arame de 32cm de comprimento formando um triˆangulo is´osceles de 12cm de base. Calcule a medida do comprimento da bissetriz do ˆangulo oposto `a base.
x Problema 2
Achar todos os n´umeros inteiros de dois algarismos que sejam iguais ao qu´adruplo da soma dos seus algarismos.
x Problema 3
Num grupo de 100 pessoas constatou-se que
do grupo eram casados. Entre os casados
eram homens,
eram mulheres com filhos e o restante eram mulheres sem filhos. Quantas mulheres casadas, nesse grupo, n˜ao tem filhos?
x Problema 4
Mostrar que se a + b + c = 0 ent˜ao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.
x Problema 5
Um professor prop˜oe 80 problemas a um aluno, informando que lhe atribuir´a 05 (cinco) pontos por problemas resolvidos (corretamente) e lhe retirar´a 03 (trˆes) pontos por cada problema n˜ao resolvido (incluindo os de solu¸c˜ao incorreta). No final o aluno tinha 08 (oito) pontos. Quantos problemas o aluno resolveu corretamente?
x Problema 6
Consideremos o ponto M da diagonal AC do retˆangulo ABCD e as paralelas P Q e T U aos lados AB e AD, respec- tivamente, conforme a figura abaixo. A ´area A 1 ´e menor, maior ou igual a A 2?
A B
D C
P Q
U
T
M
A 2
A 1
x Problema 7
Mostre que: Em um triˆangulo qualquer, a bissetriz de um ˆangulo forma com o lado oposto ao ˆangulo dois ˆangulos cuja diferen¸ca ´e igual a diferen¸ca entre os outros dois ˆangulos do triˆangulo.
III Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
29 de outubro de 1983
1 ¯a PARTE
Coloque certo (C) ou errado (E) nas proposi¸c˜oes abaixo:
- ( ) O par (0, 1) ´e a ´unica solu¸c˜ao do sistema
x + y = 1 x + y = 2
- ( ) A ´area de um c´ırculo de raio r > 0 ´e o dobro da ´area de um c´ırculo de raio r 2
- ( ) O n´umero 2^1000 ´e divis´ıvel por 4.
- ( ) Em um triˆangulo eq¨uil´atero os trˆes lados s˜ao iguais, mas os ˆangulos podem ser diferentes.
- ( ) A raiz quadrada de um n´umero inteiro positivo n˜ao pode ser um n´umero negativo.
- ( ) O n´umero
1 ´e menor que
- ( ) Se o produto de dois n´umeros positivos ´e menor que 1 ent˜ao estes n´umeros s˜ao menores que 1.
- ( ) O quadrado de um n´umero irracional ´e sempre um n´umero racional.
- ( ) O n´umero 0, 1111... ´e maior que o n´umero 0, 112.
- ( ) Se x ´e um n´umero real n˜ao nulo tal que
x
x
, ent˜ao x = ±1.
2 ¯a PARTE
x Problema 1
Observe que:
= 0, 111111... , um algarismo se repete;
de
= 0, 037037037.. ., trˆes
algarismos se repetem;
de
= 0, 12345679012345679.. ., nove algarismos se repetem. Dˆe um exemplo de um n´umero racional de tal modo que a parte que se repete tenha 81 algarismos.
x Problema 2
Uma observa¸c˜ao interessante, que provavelmente seja verdadeira, mas que ningu´em at´e hoje foi capaz de provar, ´e o seguinte: Todo n´umero par maior que dois ´e a soma de dois n´umeros primos. Por exemplo: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11. Complete essa lista para todos os n´umeros pares menores que 50.
x Problema 3
O quadrado de um n´umero inteiro positivo se chama quadrado perfeito. Se x ´e um quadrado perfeito, determine o pr´oximo quadrado perfeito em ordem crescente.
x Problema 4
O n´umero de trˆes d´ıgitos 2a3 ´e adicionado ao n´umero 326 para dar o n´umero de trˆes d´ıgitos 5b9. Se 5b9 ´e divis´ıvel por 9, calcule a + b.
x Problema 5
Na figura abaixo, ABCD ´e um quadrado e ABM ´e um triˆangulo eq¨uil´atero. Determine a medida do ˆangulo B M Ĉ.
A
B
D
C
M
x Problema 6
Qual ´e o menor inteiro positivo n tal que
n −
n − 1 < 0 , 01.
x Problema 7
Determine o valor de p para que as ra´ızes x 1 e x 2 da equa¸c˜ao 2x^2 − px − 1 = 0 satisfa¸ca a rela¸c˜ao x^21 + x^22 = 1.
x Problema 8
Seja n um n´umero inteiro positivo:
a) Expresse
n(n + 1)
como uma soma alg´ebrica de duas fra¸c˜oes;
b) Calcule a soma: S =
n · (n + 1)
x Problema 9
a) Considere o n´umero irracional
2 e seja r um n´umero racional qualquer. Prove que se r 6 = 0 ent˜ao r
2 ´e um n´umero irracional (ou equivalentemente: Se r
2 ´e racional, ent˜ao r = 0). b) Se a, b, c e d s˜ao n´umeros racionais tais que a + b
2 = c + d
2, prove que a = c e b = d.
x Problema 10
As cordas AB e CD no c´ırculo abaixo, interceptam-se em E e s˜ao perpendiculares. Se os segmentos tˆem medida AE = 2cm, EB = 6cm e ED = 3cm, calcule o comprimento do diˆametro do c´ırculo.
A B
D
C
x Problema 10
Na circunferˆencia abaixo, D ´e o ponto m´edio do arco
⌢ AC. Se B ´e um ponto do arco
⌢ DC e DE ´e perpendicular a AB, mostre que AE = EB + BC.
A
B
C
D
E
V Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
26 de outubro de 1985
x Problema 1
Os estudantes de uma escola organizaram uma quermesse para conseguir dinheiro para a festa de formatura. Estabele- ceram a seguinte norma: “cada pessoa, ao visitar uma barraca, gasta a metade do que tem no bolso mais Cr$30, 00”. Marta visitou a barraca de pescaria, depois foi a barraca do tiro ao alvo e em seguida a barraca das argolas. Ao sair da barraca das argolas Marta ainda tinha Cr$120, 00. Quanto tinha Marta ao entrar na barraca da pescaria?
x Problema 2
Um estudante ao efetuar a multiplica¸c˜ao de 432 por um certo n´umero obteve o n´umero 16416, por ter trocado, por engano, o algarismo das dezenas do multiplicador, tomando 3 em vez de 7. Encontre o verdadeiro produto.
x Problema 3
Encontre o quociente da divis˜ao de a^128 − b^128 por
(a + b)(a^2 + b^2 )(a^4 + b^4 )(a^8 + b^8 )(a^16 + b^16 )(a^32 + b^32 )(a^64 + b^64 ).
x Problema 4
Em 1982 o n´umero que expressava a popula¸c˜ao da cidade de Asa Branca era um quadrado perfeito. No ano seguinte a popula¸c˜ao aumentou 99 pessoas e continuou a ser um quadrado perfeito. Em 1984, a popula¸c˜ao do ano anterior cresceu em 101 pessoas e continuou sendo um quadrado perfeito. Determine a popula¸c˜ao de Asa Branca em 1982.
x Problema 5
Um observador estando a 25m de um pr´edio o visualiza sob um certo ˆangulo. Afastando-se, na dire¸c˜ao perpendicular ao pr´edio mais 50m o ˆangulo de visualiza¸c˜ao ´e a metade do anterior. Qual a altura do pr´edio?
x Problema 6
Determine todos os pares de algarismos (x, y) de modo que o n´umero (de cinco d´ıgitos) 75x 4 y seja divis´ıvel por 5 e por 9.
x Problema 7
Os pontos A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , distintos, dividem a circunferˆencia C em quatro arcos
⌢ A 1 A 2 ,
⌢ A 2 A 3 ,
⌢ A 3 A 4 e
⌢ A 4 A 5. Mostre que dois dos segmentos de retas que unem os pontos m´edios destes arcos se interceptam perpendicularmente.
VII Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
31 de outubro de 1987
x Problema 1
O comandante de um batalh˜ao tenta dispor sua tropa em um quadrado cheio, com os homens colocados em filas paralelas aos lados e igualmente espa¸cados. Depois de um primeiro arranjo, sobram-lhe 326 homens. Em seguida, experimenta colocar mais 3 homens em cada fila, mas para completar o quadrado faltam-lhe 253 homens. Qual o n´umero total dos integrantes do seu contingente?
x Problema 2
Seja n um n´umero inteiro e positivo qualquer tal que o algarismo das unidades ´e 7. Justifique por que n n˜ao ´e um quadrado perfeito.
x Problema 3
Um grupo de garotos, colegas do mesmo bairro, resolveu se reunir para comprar uma bola no valor de Cz$1. 260 , 00 com participa¸c˜ao igual de todos. Ap´os o acordo, dois garotos n˜ao puderam contribuir, for¸cando um aumento de Cz$15, 00 na cota de cada um dos demais. Quantos garotos compunham o grupo inicial?
x Problema 4
Determine o valor de p, maior que um, de modo que p, p + 2 e p + 4 sejam n´umeros primos positivos. Mostre que o valor de p ´e ´unico.
x Problema 5
Se as ra´ızes da equa¸c˜ao x^2 + px + q = 0 s˜ao positivas, mostre que o mesmo ocorre com as ra´ızes da equa¸c˜ao q · y^2 + (p − 2 rq)y + 1 − pr = 0, onde r ´e um n´umero positivo.
x Problema 6
Seja ABC um triˆangulo cuja medida dos lados s˜ao n´umeros inteiros consecutivos ´e tal que o maior ˆangulo  ´e o dobro do menor ˆangulo. Determine a medida dos lados deste triˆangulo.
Sugest˜ao: Se D ´e o ponto do lado BC, determinado pela bissetriz do ˆangulo Â, ent˜ao
AB
BD
AC
DC
x Problema 7
Em um triˆangulo cujos lados medem 3m, 4m e 5m, respectivamente, constru´ımos sobre cada um dos lados um c´ırculo cujo diˆametro ´e o lado considerado (e o centro ´e o ponto m´edio deste lado), conforme figura abaixo. Determine a ´area da regi˜ao hachurada.
VIII Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
18 de junho de 1988
x Problema 1
Um cidad˜ao tem sete amigos. O primeiro vem visit´a-lo toda tarde; o segundo, a cada duas tardes; o terceiro, a cada trˆes tardes; o quarto, a cada quatro tardes e assim sucessivamente at´e o s´etimo, que vem a cada sete tardes. Na tarde do dia 31 de dezembro de 1987 coincidiu que o anfitri˜ao se encontrou com todos os seus sete amigos e aproveitando a ocasi˜ao combinaram que no pr´oximo encontro, de todos eles, haveria uma confraterniza¸c˜ao. Qual a data desta festa?
x Problema 2
As ra´ızes da equa¸c˜ao do 2 o¯ grau ax^2 + bx + c = 0 s˜ao R e S. Determine a equa¸c˜ao do 2 o¯ grau cujas ra´ızes s˜ao aR + b e aS + b.
x Problema 3
Quando Pascal nasceu, Descartes tinha 27 anos, e quando Descartes morreu, Pascal tinha 27 anos. Pascal morreu aos 39 anos. A soma dos anos das mortes de ambos ´e igual ao primeiro n´umero par maior que 3300 e que seja divis´ıvel por 9. Determine os anos de nascimentos e de morte de cada um deles.
x Problema 4
Determine (se existirem) todos os n´umeros inteiros positivos n de modo que a fra¸c˜ao
2 n + 3 5 n + 7
seja redut´ıvel.
x Problema 5
Num triˆangulo ABC as medianas relativas aos lados BC e AC s˜ao perpendiculares. Se BC e AC medem 7cm e 6cm, respectivamente, determine o comprimento do lado AB.
x Problema 6
Um estudante gastou certa quantidade em dinheiro para comprar uma caneta, uma lapiseira e um livro. Se a caneta, a lapiseira e o livro custassem 5, 2 e 2, 5 vezes mais barato, respectivamente, a compra custaria Cz$800, 00. Se, em compara¸c˜ao com o pre¸co original, a caneta custasse 2 vezes mais barato, a lapiseira 4 vezes e o livro 3 vezes mais barato, pelos mesmos objetos o aluno pagaria Cz$1. 200 , 00.
a) Qual o valor total da compra?
b) Quem tem o pre¸co maior? A caneta ou a lapiseira?
x Problema 7
Seja P um ponto interior a um triˆangulo ABC e d 1 , d 2 e d 3 , respectivamente, as distˆancias de P aos lados BC, CA e AB do triˆangulo dado. Se h 1 , h 2 e h 3 s˜ao, respectivamente, as alturas relativas aos v´ertices A, B e C, prove que
d 1 h 1
d 2 h 2
d 3 h 3
X Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
09 de junho de 1990
x Problema 1
a) Prove que se
a b
1, ent˜ao
a + c b + c
a b , a > 0, b > 0, c > 0.
b) Qual das fra¸c˜oes ´e maior
ou
? Justifique (sem efetuar as divis˜oes).
x Problema 2
Um lavrador vendeu 30 quilos de cereais (feij˜ao e arroz) por CR$1. 890 , 00. O pre¸co total do feij˜ao foi o mesmo que o pre¸co total do arroz, e o pre¸co de cada quilo de feij˜ao excedeu em CR$60, 00 o pre¸co de cada quilo de arroz. Quantos quilos de cada cereal vendeu e quais os pre¸cos de venda do quilo de cada um dos cereais?
x Problema 3
A pesquisa realizada com as crian¸cas de um conjunto habitacional, que apurou as preferˆencias em rela¸c˜ao aos trˆes pro- gramas de televis˜ao: Alegre Amanh˜a (designado por A), Brincolˆandia (designado por B) e Crian¸ca Feliz (designado por C) indicou os seguintes resultados:
PROGRAMA A B C A e B A e C B e C A, B e C NENHUM N o¯ DE CRIANC¸ AS QUE APRECIAM
Pergunta-se:
a) Quantas crian¸cas foram consultadas?
b) Quantas crian¸cas apreciam apenas um programa?
c) Quantas crian¸cas apreciam mais de um programa?
x Problema 4
Sejam ABC um triˆangulo qualquer e a, b, e c os lados opostos aos v´ertices A, B e C, respectivamente. Mostre que a b
b + c a
se, e somente se, o ˆangulo  ´e o dobro do ˆangulo B̂.
x Problema 5
Considere os n´umeros obtidos repetindo-se sucessivamente 1988, isto ´e: 1988; 19881988; 198819881988; etc. Em que passo aparece pela primeira vez, um m´ultiplo de 126?
x Problema 6
Com o centro em cada um dos v´ertices de um hex´agono regular, tra¸cam-se circunferˆencias de raio igual ao lado do hex´agono. Determine a ´area da ros´acea formada pelas partes comuns a estes c´ırculos.
x Problema 7
a) Mostre que, para todo inteiro n, n^5 − n ´e divis´ıvel por 5.
b) Mostre que, para todo inteiro n, n^5 5
n^3 3
7 n 15
´e um n´umero inteiro.
XI Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
10 de agosto de 1991
x Problema 1
Sejam a 1 , a 2 , a 3 n´umeros quaisquer, um dos quais ´e a m´edia aritm´etica dos outros dois. Mostre que a m´edia aritm´etica dos 3 n´umeros dados ´e igual a um deles.
x Problema 2
Determine todos os pares de n´umeros a e b tais que mdc(a, b) = 12 e mmc(a, b) = 432, simultaneamente.
x Problema 3
Considere as afirma¸c˜oes abaixo, admitindo-as verdadeiras: ◦ Todo funcion´ario p´ublico ´e administrador. ◦ Alguns economistas s˜ao funcion´arios p´ublicos. ◦ Quem administra n˜ao trabalha com computador. ◦ Alguns engenheiros n˜ao trabalham com computador. Verifique e justifique (usando diagrama com conjunto) a validade ou n˜ao das seguintes conclus˜oes: a) Os s´ocios, engenheiro Bruno e economista Marcondes, n˜ao podem ser funcion´arios p´ublicos.
b) O engenheiro Marcos e a economista Ana podem ser programadores da TECSOFT.
x Problema 4
Determine a ´area compreendida no interior do hex´agono regular, de lado medindo 10cm, e que ´e externa ao c´ırculo.
x Problema 5
Seja H a altura relativa a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo inscrito em um c´ırculo de raio 2R. Determine os lados do triˆangulo em fun¸c˜ao de R e H.
x Problema 6
Determine: a) As solu¸c˜oes inteiras positivas a, b, c da equa¸c˜ao 1 a
b
c
b) As solu¸c˜oes inteiras positivas x, y, z da equa¸c˜ao xyz = x + y + z.
c) Os triˆangulos com lados de medida inteira, cujo c´ırculo inscrito tem raio igual a 1.
x Problema 7
Na figura abaixo, cada arco ´e um quarto de circunferˆencia centrada no v´ertice de um quadrado. O retˆangulo que limita a figura (lados x e y) e o retˆangulo de ´area hachurada (lados a e b) s˜ao tais que
x y
a b
= k (constante). Mostre que os n´umeros x e y n˜ao s˜ao simultaneamente inteiros. Sugest˜ao: determine o valor de k.
XII Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
x Problema 1
Os n´umeros 18 e 50 pertencem a um conjunto X de n´umeros inteiros com 30 elementos. A m´edia de todos os elementos de X ´e igual a 20. Se retirarmos de X os dois n´umeros acima, determine a m´edia dos elementos restantes.
x Problema 2
Determine todos os valores reais de x, y e z que satisfazem a igualdade
3 x^2 + y^2 + z^2 = 2xy + 2xz.
x Problema 3
Seja A um conjunto de n´umeros inteiros de quatro algarismos entre 5000 e 10000 que tem a forma abba. Por exemplo, 6666 e 8448 s˜ao elementos de A. Determine o n´umero de elementos de A.
x Problema 4
Dˆe condi¸c˜oes sobre o parˆametro real a para que qualquer solu¸c˜ao x da desigualdade a · x^2 + (1 − a^2 ) · x − a > 0 satisfa¸ca − 2 ≤ x ≤ 2.
x Problema 5
Num ba´u existem 238 moedas, apenas uma delas falsa e as demais verdadeiras, e cada uma das verdadeiras com o mesmo peso. Usando apenas uma balan¸ca de dois pratos (sem pesos) e cinco pesagens, descreva o processo para identificar a moeda falsa, sabendo que ela ´e mais leve do que as verdadeiras.
x Problema 6
Se p > 3 ´e um n´umero primo e os trˆes n´umeros p, p + q e p + 2q s˜ao todos primos, prove que q ´e divis´ıvel por 6.
x Problema 7
Considere duas circunferˆencias C 1 e C 2 de raios R e r (R > r), tangentes externamente. As retas t e s tangenciam simultaneamente C 1 e C 2 nos pontos A, B, C e D e formam um ˆangulo de 60◦. Mostre que se r =
3 cm, a medida, em cm, do per´ımetro do trap´ezio ABCD ´e um n´umero inteiro.
XIII Olimp´ıada Cearense de Matem´atica
x Problema 1
Uma pessoa sabe de um segredo e passa para 12 pessoas. Cada uma destas 12 pessoas passa o segredo para outras 12 pessoas. Novamente cada um dos novos conhecedores do segredo passa para outras 12 pessoas. No final do processo quantas pessoas sabiam do segredo?
x Problema 2
Na figura determine (x + y)^2.
4 x
y
x Problema 3
Numa circunferˆencia marca-se, seguindo a ordena¸c˜ao usual dos n´umeros naturais, 30 pontos distintos A 1 , A 2 , A 3 ,... , A 30 de modo que os arcos ligando dois pontos consecutivos s˜ao todos iguais. Determine qual dos pontos acima ´e diame- tralmente oposto ao ponto A 7 , isto ´e, a corda ligando o ponto a ser encontrado e A 7 ´e um diˆametro da circunferˆencia.
x Problema 4
Considere duas urnas A e B, onde A cont´em 1000 bolas (inicialmente todas vermelhas) e B cont´em 5000 bolas (inicialmente todas brancas). Atente para o seguinte procedimento interativo:
1 o¯ passo: Retira-se 100 bolas de B e coloca-se em A, passando A a contar com 1100 bolas e B com 4900 bolas. Em seguida, aleatoriamente, retiram-se 100 bolas de A e rep˜oe-se em B, restabelecendo os n´umeros iniciais de 1000 bolas em A e 5000 bolas em B.
2 o¯ passo: Depois de executado o 1 o¯ passo, torna-se a retirar 100 bolas de B, aleatoriamente, e coloca-se em A. Em seguida retira-se 100 bolas de A, aleatoriamente, e devolve-se a B, novamente estabelecendo os n´umeros de 1000 bolas na urna A e 5000 bolas na urna B; e assim sucessivamente.
Ap´os 5 passos, qual das conclus˜oes ´e verdadeira?
a) Existem mais bolas brancas em A do que bolas vermelhas em B.
b) O n´umero de bolas brancas em A ´e o mesmo de bolas vermelhas em B.
c) Existem mais bolas vermelhas em B do que bolas brancas em A.
Justifique sua conclus˜ao.
x Problema 5
Considere as fun¸c˜oes quadr´aticas reais f (x) = 2x^2 + 5x + c e g(x) = 2x^2 + 5x + d. Determine a ´area localizada entre os gr´aficos de f e g no trecho de x = n at´e x = m, m > n.
x Problema 6
Seja n um n´umero natural. Fa¸ca o que est´a solicitado em cada item:
a) Mostre que 3n + 1 e 4n + 1 s˜ao n´umeros primos entre si.
b) Mostre que, se k e j s˜ao n´umeros naturais primos entre si tais que k · j = n^2 , para algum n, ent˜ao k e j s˜ao quadrados perfeitos.
