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Tipologia: Notas de estudo
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O desígnio do trabalho é explicitar o número de Euler , instituído por Leonhard Euler um grandioso matemático, que desenvolveu cálculos em sua época os quais, de quão importantes, são empregados até o presente. O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integradas.
O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático
Suiço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
E vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287. O número também pode ser escrito como a soma da série infinita:
Aqui n! representa o fatorial de n. Pode-se ainda definir e como sendo o único número x > 0 tal que:
O número e apresenta um interesse particular porque pode-se demonstrar que Para todo real x, exp(x) = ex (e na potência x); Assim, por exemplo, tem-se :
ou ainda
O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873. Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório. Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler :
um dos matemáticos mais importantes da Europa - seria eventualmente uma influência no pequeno Euler. A sua instrução formal adiantada começou na terra natal para onde foi mandado viver com a sua avó materna. Aos 14 anos matricula-se na Universidade da Basiléia, e em 1723, recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação onde comparava Descartes com Newton. Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de Johann Bernoulli que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática. Euler nesta altura estudava teologia, grego e hebreu, pela vontade de seu pai para mais tarde se tornar pastor. Porém Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu filho estava destinado a ser um grande matemático. Em 1726, Euler completou a sua dissertação na propagação do som, e a 1727 incorporou a competição premiada do problema da Academia de Paris, onde o problema do ano era encontrar a melhor maneira de colocar os mastros num navio. Ganhou o segundo lugar, perdendo para Pierre Bouguer, mais tarde conhecido como “o pai da arquitetura naval”. Euler, entretanto, ganharia o prêmio anual 12 vezes.
2.2 O logaritmo natural
O logaritmo natural é o logaritmo de base e , onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828... (chamado Número de Euler). É, portanto, a função inversa da função exponencial. O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos x , e admite uma extensão como uma função complexa analítica em Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e , e aparece freqüentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial. Ele também é chamado de logaritmo neperiano , do nome de seu « inventor », o matemático escocês John Napier (ou John Naper). A origem do logaritmo natural foi em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar com horror dos exercícios tipo multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.
Observando-se (ver exponenciação) que , se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo u = ax, multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:
O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno:
Sendo a constante k dependente apenas de a, mas não de x. Por exemplo, para a = 2, e para a = 10,. A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.
Conclui-se que o referido é de grande acuidade para com o desenvolvimento da matemática em épocas onde não existiam calculadoras, e estas, na sua grande maioria, labutam cálculos através dos logaritmos naturais. É importante ressaltar que apesar de sua idade o número de Euler é ferramenta essencial em cálculos variados, ou seja, é utilizado em várias áreas da ciência.
http://www.somatematica.com.br/biograf/euler.php
