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Baixe noções de geometria descritiva - alfredo príncipe jr e outras Notas de estudo em PDF para Geometria Descritiva, somente na Docsity!
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NOÇÕES DE GEOMETRIA DESCRITIVA VOLUME I N ÍNDICE 1970 Alfredo dos Reis Principe Júnior Direitos desta edição reservados à Nobel Franquias SA. (Nobel é um selo editorial da Nobel Franquias S.A.) CAPÍTULO 1 Projeção ortogonal de um ponto Classificação das projeções Reimpresso em 2009 Estudo do ponto Posições do ponto Coordenadas Ponto no plano bissetor Simetria de pontos Exercícios CAPÍTULO II Estudo da reta Pertinência de ponto e reta Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP Brasil) Posições da reta Principe Júnior, Alfredo dos Reis, 1915-1990 Noções ce geometria descritiva / Alfredo dos Reis Principe Júnior — São Paulo : Nobel, 1983. Traços de retas Posições relativas de duas retas ISBN 978-85-213-0163-9 Retas concorrentes |. Geometria descritiva |. Título, Retas paralelas n 83-1069 / CDD-515 Retas de perfil Traços de reta de perfil Índice para catálogo sistemático: |. Geometria descritiva 515(17)604201516(18) Pertinência de ponto e reta de perfil Retas de perfil paralelas ou concorrentes Exercícios 13 16 17 2 st 35 as 48 48 so 52 Projeção ortogonal de um ponto Classificação das projeções Estudo do ponto Posições do ponto Coordenadas Ponto no plano bissetor Simetria de pontos Exercícios CAPÍTULO ooo... 0. en — Geometria Descritiva & a ciência que tem por fim representar num plano as figuras do espaço de maneira tal que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras. Ela foi criada no fim do século XVIII pelo ma temático francês GASPAR MONGE. a 6 Projeção ortogonal de um ponto à A projeção ortogonal de um ponto CA) é o pé da perpendicular baixada do ponto ao plano. Ássim pois, na fig.l, A é a pro jeção do ponto (A) sobre o plano à (alfa). Chama-se projetante de um ponto, a perpen dicular baixada deste ponto ao plano de projeção. Na fig.] ao lado, (AJA é a pro jetante do ponto (A). Obs.: Um ponto individualizado no espaço — ponto objetivo — é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino den Fig. 1 tro de um parêntese e sua projeção pela mesmo letra sem parênteses. DETERMINAÇÃO DO PONTO Para que um ponto fique bem determinado, podemos empregar dois métodos diferen tes: * eos método dos planos cotados; see método dos projeções. No primeiro método, emprega - se apenas um plano de projeção e a cota do ponto. (Cota de um ponto é o comprimento da sua projetante). Nesse método, o plano de projeção é o plano horizontal tomado como plano de comparação e € chamado Plano Cotado porque nele se inscreve a cota do ponto (positiva 2 : PRINCIPE acima e negativa abaixo desse plano). Uma reta por exemplo, será representada pe la sua projeção horizontal e pelas cotas de dois dos seus pontos. Assim, a reta (AJ(B) da fig.2 seria representada pela pro jeção horizontal AB e as cotas dos dois pontos, significando, no caso, que o ponto (A) possui cota igual a duas unidades e o ponto (B) igual a três unidades. Quanto ao segundo método, para que um ponto fique bem determinado, uma só pro Fig.2 jeção não & suficiente, porque, confor me vemos na fig. 3, o ponto À é a proje ção no plano (a), de qualquer ponto da perpendicular ilimitada A (delta). 'A Então para que um ponto fique bem deter minado, emprega-se o método da dupla pro jeção, de Monge, que veremos pouco mais adiante, depois de estudarmos as pro jeções. ec A NOTA : O método das projeções é o que seguiremos no presente estudo & Classificação das projeções Fig 3 1 Suponhamos (fig.34) um pinto (A) no espaço, um plano qualquer (a) e um obser vador em (O). Se fizermos passar por (A) um raio visual partindo de (O) até encon trar o plano (4), vemos que A será a projeção de (A) sobre o plano de projeção (a), ea reta (OJAJA será a projetante. O ponto (O) será o centro de projeção e esse sistema chama-se Cênico ou Perspectivo (alguns autores chamam de Projeção Central). to) P(A) Fig. 34 DESCRITIVA 1 3 Se considerarmos agora o ponto (O) lançado ao infinito, conservando-se o mesmo ponto (A) e o plano (a), a projetante será paralela à uma direção A (delta) e o sistema de projeção chama-se Cilindrico ou Paralelo. Neste caso, — O centro de projeção lançado ao infinito, — este ponto diz-se impróprio. As figuras 3C e 3D esclarecem melhor ao considerarmos uma reta (A)(B) projetada no plano (a) quando o centro de projeção está a uma distência finita ou não do plano, fi- cando assim bem caracterizadas as projeções cônicas ou cilíndricas respectivamente. Fig.3c Ainda no caso das projeções cilíndricas, elas podem ser oblíquas ou ortogonais con- forme a direção de A seja ou não perpendicular ao plano de projeção. A fig.3E nos mostra uma projeção cilíndrica ortogonal. a) Du 6 - PRÍNCIPE Obs.: A linha de terra, sendo a in terseção dos pianostT) e(n!), é repre sentada por estas duas letras do alfabeto grego mas pode-se dispensar a sua coloca ção sobre ela. Fig.8 e Posições do ponto Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar nove posições diferentes, a saber: 1º posição: O ponto está no 19 diedro (fig. 9). Depois do rebatimento, o(7 É Yficará em coincidência com o(T, Je a projeção ver fical A! acompanhará o plan (74) no seu deslocamento e cairá em Aj de tal mo do que AJA = A!A . Temos na Fig. 10 = águra correspndente onde" Vetlficimos “LG A (A) ho [0] A A Figo Fig. 9 que as projeções são separadas pela linha de terra estando a projeção vertical A! acima e a horizontal A abaixo da referida linha. Na épura, não há necessidade de representar o símbolo A que se observa na fig. 9 e também a projeção verti- cal rebatida Ai é apenas fepresentada por À!. DESCRITIVA ! cd 23 posição: O ponto está no 29 diedro (fig.11). 1 A (xa) ) Bo dal o» BB, Fig.12 Fig. Depois do rebatimento, a projeção B' vem colocar-se no(1 )» sobre BB, (ou seu prolongamento) conforme a cota seja menor ou maior que o afastamento. Na épura (fig. 12) ambas as projeções estão acima da linha de terra. É indiferente B estar acima ou abaixo de B'; o que caracteriza o ponto no 2º diedro é possuir ambas as projeções acima da linha de terra. 32 posição: O ponto está no 3º diedro (fig. 13). Co (o (e VA Fig 13 8. ' PRÍNCIPE Operando-se o rebatimento, co mesmo tempo que o vertical superior (1 1 )vem se colocar em coincidência com o horizontal posterior(T Jo vertical inferior(T!) coincidirá com o horizontal anterior (7, ). Então a projeção vertical C! irá cair em C) no prolongamento de CC . A épura (fig. 14) é caracterizada por estar a projeção horizontal C acima da?linha de terra e a vertical C' abaixo dessa linha. (É o inverso da épura do ponto no 19 diedro). 48 posição: O ponto está no 49 diedro (fig. 15). Depois do rebatimento, a projeção vertical D' cairá em Di, sobre DD (ou seu pro longamento). Ambas as projeções abaixo da linha de terra (fig. 16) Caracterizam Fig 15 Fig.16 a épura do ponto nesse diedro. Verifica-se que a épura de um ponto no 49 diedro é o inverso da épum no 2º diedro. 59 posição: Q ponto está no (mo Xfig. 17. Estando o ponto (E) no plano vertical superior(7 & Jo seu afastamento será nulo; en, tão a projeção vertical E! coincide com o própriê ponto (E) e a projeção horizon= tal E estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção E" cairá em Ei sobre o (1,,) Na épura (fig. 18) a projeção vertical E" está acimá da linha de terra e a horizontal E sobre essa linha. (vide figs. 17 e 18 na pág. seguinte) DESCRITIVA 1 a" (Ee! EE) (o) E, E = Ea Fig.17 Fig. 18 88 posição: O ponto está no (ni )(fig. 19). Como no caso anterior, é nulo o afastamento do ponto. Sua projeção vertical F! coincide com o próprio ponto (F) e sua projeção horizontal F estará sobre a linha Erale) Fig. 19 Hg.20 de terra. Após o rebatimento, a projeção F' cairá em F) sobre o (r, Je na épura (fig. 20) o projeção vertical está abaixo da linha de terra e a horizontal permane ce sobre essa linha. 12 PRINCIPE e Recapitulação Pelo que foi exposto, dada a épura de um ponto, é fácil determinar a sua posição. seo Quando o ponto não tem nenhuma de suas projeções sobre a linha de ter ra, ele estará no espaço, da seguinte maneira: se as projeções são separa das pela linha de terra, ele estará em um dos diedros ímpares (19 diedro quando a projeção vertical estiver acima e a horizontal abaixo da linha de terra; no 3º diedro no caso inverso); ses Quando as projeções estiverem de um mesmo lado da linha de terra,o pon fo estará em um dos diedros pares (2º diedro quando ambas as projeções es tiverem acima daquela linha e 49 diedro no caso inverso); so. Quando uma das projeções estiver sobre a linha de terra, o ponto estará situado em um dos semíplanos de nome contrário à projeção que estiver sobre aquela linha. Assim, por exemplo, se um ponto possuir sua projeção horizontal sobre a linha de terra, ele estará situado no plano vertical (Tg )ou( 7! )sendo a outra projeção (vertical) que localizará o ponto. Se fora projeção vertical sobre a linha de terra, ele estará no plano hori- zontal (7, JoulT p Je a outra projeção (horizontal) é que determinará a posição do ponto. Seja como exemplo determinar as posições dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F), (6), dados por suas projeções na épura da fig. 27. D E cze 8 e A D e Em Jar , F A c ps Fig 27 DESCRITIVA | 13 Procedendo como foi explicado, teremos: — ponto (A) semiplano vertical inferior Cp — ponto (B) 39 diedro — ponto (C) 19 diedro , — ponto (D) semiplano vertical superior (Tr 4) — ponto (E) semiplano horizontal posterior tp) — ponto (F) 49 diedrc — ponto (G) 2º diedro (na posição especial de possuir cota iguel a afastamento e que veremos pouco mais adiante. e Coordenadas A cota e o afastamento de um ponto constituem as suas coordenadas. No prática, o ponto necessita de mais gutra coordenada — a abscissa — que não influi na sua posição, sendo tomada sobre a linha de terra a partir de um ponto O (zero) conside rado origem e arbitrariamente marcado sobre aquela linha; quando positiva, é mar cada para a direita e quando negativa, para a esquerda da origem. Também a co ta e o afastamento podem ser positivos ou negativos. — MA) (hs) cfr) Fig. 28 4. É PRINCIPE Seja a fig. 28 e sua respectiva épura na fig. 29. A figura (AJA'AÇA é um quadri látero (quadrado ou retângulo) e, em qualquer das hipóteses tem-se que (AJA=A'A, Mas como no rebatimento A! coincide com Asyresulta que AA! também represento a cota e está na épura representada pelo segmento AçA! acima da linha de terra. A cota é positiva quando acima do plano horizontal (1), portanto no 19 ou 29 diedro. Será negativa quando abaixo desse plano, ou seja no 3º ou 49 diedros. O afastamento (AJA! é positivo quando, observando a fig.'28 de frente, estiver à direita do plano vertical (n!), isto é, no 19 ou 49 diedros, sendo negativo no ca so contrário, ou seja, à esquerda do plano(1 ! (2º ou 39 diedros). hi Tem-se então: Cota positiva: 19 e 29 diedros Cota negativa: 3º e 49 diedros No espaço A rastâmenio positivo: 19 e 49 diedros Afastamento negativo: 2º e 39 diedros Cota pesitiva: acima da linha de terra Em épura Cota negativa: abaixo da linha de terra Afastamento positivo: abaixo da linha de terra Afastamento negativo: acima da linha de terra As coordenadas são pois: abscissa (x), afastamento (y) e cota (z), nessa ordem. Seja como exemplo dar a épura do pon to (A) [1;2;1] (fig. 30). (A unidade é o centímetro). À origem O é tomada arbitrariamente em qualquer lugar da linha de terra; a abscissa igual a 1, como é positiva é marcada à direita dessa origem. O afastamento igual a 2, como é positivo é marcado para baixo da linha de terra e a cota igual a 1, sendo positiva é marca da para cima da linha de term. O ponto então está no 19 diedro, o que aliás a simples inspeção das coordenadas já nos indicava, porque cota e afastamento posi fivos significa ponto no 19 diedro. 15 DESCRITIVA | , é fá XxX x coordenadas de um ponto, é fá o Copas onde o mesmo está situado, usan q x! do-se o seguinte processo: traçam-se dois eixos ortogonais XX! e YY! que represen x tam: (fig. 31) bi Fig.31 semi eixo OX': Semiplano horizontal anterior( 1, ) Semi eixo OX : Semiplano horizontal posterior (np ) Semi eixo OY : Semiplano vertical superior (tg ) Semi eixo OY': Semiplano vertical inferior (tj) As regiões determinadas por esses eixos são os diedros que já conhecemos. Seja, por exemplo;o ponto (A) [2; - 1; 2] que desejamos saber onde está situado, Como a abscissa não influi na posição do ponto, começamos com o afastamento, o qual no exemplo dado é negativo (-1); como o afastamento negativo significa pon toa esquerda do plano vertical( 1" Jmarcam-se duas pequenos cruzes nas regiões à esquerda do eixo YY'! que representa o plano vertical, isto é, uma cruz em cada disdro que pode estar contido o ponto e que são 29 ou 39. Verificando-se a cota que é positiva (2), ela será então tomada acima do eixo XX' que representa o pla no horizontal (q), podendo ser horizontal anterior(T , Jou posterior(m, ); marca-se então, também, uma cruz em cada região que pode estar contido o ponto de cota positiva, que são 19 ou 29 diedros; a regido onde aparecer duas cruzes é o diedro em que o ponto dado está situado, que, no caso, é o 29 diedro. 2º exemplo: (8) [-1;3;-2] Da mesma forma que anteriormente, ú (fig. 32) tem-se ponto no 4º diedro. E x x! x XX v Fig. 32 18 . PRINCIPE mo nos mostra a épura da fig. 37, onde os afastamentos dos pontos (A) e (B) são iguais e ambos positivos (mesmo sentido) e cotas iguais de sentido contrário, pois a cota de (A) é positiva porque o ponto está acima do plano (7) e do ponto (B) é negativa porque o ponto está abaixo de (7). Diz-se que um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação ao plano vertical de projeção (1! Xfig. 38) quando possui a mesma abscissa, a mesma cota em gran deza e sentido e o afastamento da mesma grandeza porém de sentido contrário. 1) (o) cio Co) (6) n) Fig. 38 Fig 39 A épura (fig. 39) se caracteriza por possuírem os pontos projeções verticais coin cidentes C'= D' e projeções horizontais C e D simétricas em relação à linha de terra. 29) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS BISSETORES Seja na fig. 40 0 ponto (A) e a reta que representa o 19 bissetor (Bj). Verifica- se que a figura (AJA'MA é um retângulo igual ao formado por (BJB'MB, e, como (A) e (B) são simétricos (portanto mesma abscissa), a cota de um dos pontos éigual ao afastamento do outro e vice-versa. A épura (fig. 41) se caracteriza por abscissas iguais; afastamento e cota de um dos pontos iguais respectivamente a cota e afastamento do outro, isto é, as projeções de nomes contrários simétricas em relação W linha de terra. (vide figuras 40 e 4] na página seguinte) DESCRITIVA | 19 nº É Ps . AL SA A B! (8) 8; as [6 B Fig.40 Fig. 41 Seja na fig. 42, o ponto (A) e a reta que representa o 2º bissetor (6p). ') Pp (x 14) A! kg A:8 18) B' BIA sa Í tm e A M — po Fig 42 Fig 43 Por razões análogas ao caso anterior, verifica-se que as abscissas são iguais e que º cota de um é simétrica ao afastamento do outro é reciprocamente. A épura (fig. 43) se caracteriza por abseissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota de (B) igual ao afastamento de (A). Portanto, as projeções de nomes contrá- rios são coincidentes. PRÍNCIPE 39) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO À LINHA DE TERRA Seja a fig. 44 onde a linha de terra 7 "é a mediatriz do segmento (A)(B). Então são iguais os retângulos que se observam na figura e os pontos simétricos em rela ção à linha de terra possuem abscissas iguais e cotas e afastamentos simétricos. À épura (fig. 45) é caracterizada pelas projeções de mesmo nome dos dois pontos (A) e (B), simétricas em relação à linha de terra. A Fig 44 Fig4s Obs.: A simetria em relação à linho de terra nr! é o produto das simetrias em re lação aos planos (1 ) horizontal e( 1 ")vertical e assim, pora se obter o simétrico de um ponto dado em relação à linha de terra, pode-se efetuar a simetria em rela ção a um dos planos de projeção e a sé 7 guir a simetria desse último em relação ao tm) outro plano. Assim, na fig. 46, determina- se o ponto (C) simétrico de (A) em rela- to) (a) ão a (7) e depois o ponto (B) simétrico o de (C) em relação a (1 !)ou o ponto (D) em relação a(T ')Jé depois o ponto (B) em relação a (7). em (B) tc) Fig 46 A seguir a parte prática do Capitulo | com numerosos exercícios. DESCRITIVA | a e Exercícios referentes 20 capítulo | Dar a épura de um ponto situado no 1º diedro: e Do 19) mais perto do plano (7) que do plano(T"); 29) mais perto de(n!) que de (1) soLuçÃo: (fig. 47) 19 ttem: Se o ponto tem que es far mais perto de (1), terá que possuir cota menor que a- fastamento (ay) e o ponto (B) é a solução. 20 Dara épura dos pontos: (A) [-1;-2;-1] (e) [0; 1,5; 2] (0) [451; 1,5] É SOLUÇÃO: (fig. 48) O ponto (A) eetã no 39 diedro; o ponto (B) no 49 diedro e o ponto (C) no 19 diedro. 24 PRINCIPE 76 Traçar a épura dos pontos (A) e (B) situados respectivamente no 19 e 2º bis setores, sabendo-se que: (A) [-2;1,5; 2] e (LI; ?;2] SOLUÇÃO: (fig. 53) Do ponto (A) não se conhece a co ta. Implicitamente, porém, ela é da da porque se disse que o ponto es tá no 19 bissetor. Mas, 19 bisse tor pode ser 19 ou 39 diedro; po yém como o afastamento dado e po sítivo não pode ser 39 diedro. 1 gual raciocinio para a solução do ponto (B), porque se a cota e po sitivo * ele estã no bissetorpas só pode ser 29 diedro, porque no 49 diedno a cota não ceria post Fig53 tiva. Marca-se então B=B!, 8 e São dados os pontos (A) [0;1;2] e (B) [3;-3;1,5]. Pedem-se as pro jeções de um ponto: E 19) simétrico a (A) em relação ao plano(m) 29) simétrico a (B) em relação ao plano (1!) 8 SOLUÇÃO: (fig. 54) a Pelo que foi exposto no estudo anterior sobre simetria de pontos, tem- se: 19) ponto (C) no 49 diedro 29) ponto (D) no 19 diedro Fig.54 DESCRITIVA | as 9.º São dados os pontos (A) [1;1;1,5] e ()[3; jeções de um ponto: ; 2]. Pedem-se as pro 19) simétrico a (A) em relação ao (8) 2º) simétrico a (B) em relação ao (p.) P SOLUÇÃO: (fig. 55) 19) ponto (0) 29) ponto (D) Fig.55 10 o Determinar as coordenadas de um ponto (B) simétrico a (A) [1; relação a (1) . SOLUÇÃO: (fig. 56) O ponto dado estã no (N[); logo, o ponto (B) solução estálno (TE) & suas coordenadas são (BJ (1; 0 52] Pois como jã foi estudado, somente q cota troca de sentido, isto é,de negativa passa para positiva. Fig.56 26 PRINCIPE 11 e Determinar as coordenadas de um ponto (J) simétrico a (M) [0; 2; 3] emre lação ao têr je 1 M " SOLUÇÃO: (fig. 57) J O ponto (M) dado, estã no 19 diedro. O ponto (3) solução, permanece no mes mo diedro mas, como da vimos, com pro jeções de nomes contrários simétri- o cas em relação a nm! . DT = As coordenadas são: (4) [0; 3; 2] M J Fig.57 12 e Preencha as lacunas: 1) | Chama-se cota de um ponto .......cccecereeremer A GA 8 rd PRRRRRE a 2 Linha de projeção ou de chamada é a linha .. Que Ure; ja ais ais ssa ato reasa ars asd ja SE ia) da NS ia Er 6 ER RR 3) Em relação aos planos de projeção um ponto pode ocupar ......... posições diferentes. 4) O diedro em que um ponto tem cota e afastamento negativos é O .........» 5) Em épura, cota negativa é marcada ...............s da linha de terra. 6) Um ponto situado no ..........ciccccccreuaaecs tem cota e afastamento. iguais. DESCRITIVA | 27 são simétricos em relação a um plano quando .......cececeees 7) Dois pontos 8) NOTA: A solução desse exercício está no fim do capítulo (após o exercício 15). 13 e Determinar as coordenadas de um ponto (A) simétrico a (8) [1;2;3] em re lação a mr". SOLUÇÃO: (fig. 58) Como as projeções de mesmo nome do ponto solução seraõ simétri- cas em relação a nn! resulta: o (4) Bs cs -3) Fig.58 SOLUÇÃO AO EXERCÍCIO 15: Perguntas | Respostas 1 E 2 Fi 3 c 4 E 5 c 6 E 7 E 8 c 92 E 10 c Estudo da reta Pertinência de ponto e rets Posições da reta Traços de retas Posições relativas de duas retas Retas concorrentes Retas paralelas Retas de perfil Traços de reta de perfil Pertinência de ponto e reta de perfil Retas de perfil paralelas ou concorrentes Exercícios CAPÍTULO | e Estudo da reta re 0000000000 A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre esse plano. Seja na figura 60 a reta (A)(B) e o plam (1) . Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés dessas perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta. Essas perpendiculares formam um plano (a) perpendicular ao pla no (7) e que é o plano projetante da reta. Fig.60 os . E Atas perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da re Portanto essa interseção. E rciecê; Erieção de um reta sobre um plano «6 deixo de ser úmo rete, quando ela lhe 32 PRINCIPE for perpendicular, pois nesse caso a projeção será um ponto, como se vê na fig. 61. Nesse caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta. Quando uma reta for paralela a um plano (fig. 62) a sua projeção sobre esse plg no é igual e paralela à própria reta. Seja a reta (A)(8) paralela ao plano(1) co ja projeção nesse plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com ospra (4) (A) (8) p1B) mo 4 8 Fig 61 Fig 62 jetantes (AJA e (BB um paralelogramo no qual (A)(B) = AB. Diz-se então que a reta se projeta em verdadeira grandeza (V.G.). Quando uma reta for oblíqua a um plano (fig. 63) a projeção é menor que a reta do espaço porque esta forma com sua projeção e as projetantes um trapézio retân gulo em que a projeção no plano sendo perpendicular às bases é me nor que a reta do espaço. fB) O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação dela sobre o plano. Ela passa por todos os valores, de zero (caso do ponto quando a reta é per pendicular ao plano) até o limite máximo igual ao comprimento da re ta (caso da reta paralela co plano). Seja na fig. 64 a reta (AJ(B) per- pendicular ao plano (7) . Suponha mos que a reta girando em torno de (A) ocupe as posições (A)(B|), .... (A)(Ba), (A)(B3), ete., cujas proje gões no plano (m) serão respectiva mente AB, AB, AB,, AB, etc. (4) tr) A 8 Fig.63 DESCRITIVA | 18) O) (BA (4) (8,) AB B 6,5,8, (1) Fig.64 Verifica-se que sua projeção na posição inicial era o ponto À = B (A coinciden- te com 8) e que essa projeção torna-se AB, quando o ponto (B) atinge a posição (B,) e vai crescendo gradativamente a proporção que a reta vai diminuindo a -sua inclinação sobre o plano. Quando a reta atinge a posição (A ) paralela ao pla no, a sua projeção torna-se AB,. Por conseguinte, a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua inclinação sobre ele. DETERMINAÇÃO DE UMA RETA De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quan do são conhecidas as projeções dessa reta sobre dois planos ortogonais. Sejam na fig. 65 os dois planos (1) e (1! ) perpendiculares e AB e A'B'respectiva mente as projeções da reta (A)(B) cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se Passar um plano perpendicular ao plano(ir)o mesmo acontecendo com A'B' em rela São a (1º). Cada um dos planos, que são os planos projetantes da reta nos res Pectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será então a inter tesão desses dois planos projetantes. E como esses planos se cortam segundo (A)(B), que é a Gnica que tem AB e A'B! como projeções, ela fica bem determinada. CM Se designar q reta cujas projeções são AB e A'B! escreve-se: reta (A)(B) (fig. 
