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PROFESSOR: GUILHERME NEVES
- Aula
- Condição Necessária e Condição Suficiente
- Negação de proposições compostas
- Negação de proposições quantificadas
- Diagramas de Euler-Venn......................................................................................................................
- Relação das questões comentadas..................................................................................................................
- Gabaritos
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Condição Necessária e Condição Suficiente
Vamos considerar as seguintes proposições:
: ℎ é .
: ℎ é .
Considere agora a proposição composta → :
→ : ℎ é , ã ℎ é .
Imagine que alguém te informou que de fato Guilherme é pernambucano. Você já pode garantir que Guilherme é brasileiro? Sim!!
Desta forma, dizemos que Guilherme ser pernambucano é condição suficiente para Guilherme ser brasileiro.
Por que é condição suficiente? Porque basta saber que Guilherme é pernambucano para garantir que Guilherme é brasileiro.
Generalizando, dizemos que no condicional → , é condição suficiente para .
Imagine agora que alguém te informou que Guilherme é brasileiro. Você garante que Guilherme é pernambucano? Não!!
Ou seja, saber que Guilherme é brasileiro NÃO É SUFICIENTE para saber que Guilherme é pernambucano.
Mas uma coisa podemos garantir: para que Guilherme seja pernambucano, ele necessariamente tem que ser brasileiro. Ou seja,
Guilherme ser brasileiro é condição necessária para Guilherme ser pernambucano.
Diz-se que p é condição suficiente de (ou para) q sempre que p → q. Em
outras palavras, uma condição suficiente aparece como antecedente de uma proposição condicional. Usando a mesma expressão, q se diz condição necessária de (ou para) p. Em outras palavras, uma condição necessária aparece como consequente de uma condicional. Por exemplo, a proposição “Se Guilherme é pernambucano, então Guilherme é brasileiro” pode ser lida das seguintes maneiras:
Guilherme ser pernambucano é condição suficiente para Guilherme ser brasileiro.
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exemplo, a proposição “Guilherme é recifense se e somente se nasceu no Recife” pode ser lida das seguintes maneiras:
Guilherme ser recifense é condição necessária e suficiente para ter Guilherme nascido no Recife.
Guilherme ter nascido no Recife é condição necessária e suficiente para Guilherme ser recifense.
Em resumo:
- (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta:
a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista. b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense. c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro. d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro. e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser brasileiro.
Resolução
a) Brasileiro ↔ paulista. Falso , pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paulista. Contradição, pois os valores lógicos das proposições componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma proposição bicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa é brasileira, então ela é paulista e, se uma pessoa é paulista, então ela é brasileira.
b) Brasileiro → paranaense. Falso , pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paranaense. Como vimos, não pode ocorrer VF em uma condicional.
c) Carioca ↔ brasileiro. Falso , pela mesma razão da alternativa A.
p → q p é condição suficiente para q q é condição necessária para p p ↔ q p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p
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d) Baiano → brasileiro. Verdadeiro , pois é impossível que uma pessoa seja baiana e não seja brasileira. Neste caso é impossível ocorrer VF. É impossível que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.
e) Brasileiro → maranhense. Falso , pela mesma razão da alternativa B.
Letra D
- (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições: p : atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. q : fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica q , então:
a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.
Resolução
“p implica q” é o mesmo que → .
Desta forma:
p é condição suficiente para q.
A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.
Letra E
- (BB/2008-2/CESPE) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”.
Resolução
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Exemplo:
p : Paris está na França.
~ p : É falso que Paris está na França.
~ p : Paris não está na França.
~ p : Não é verdade que Paris está na França.
Devemos ter certo cuidado ao negar as proposições. Em termos de lógica, a negação de uma proposição p será a proposição ~ p. A negação de “A parede
é branca” é “A parece não é branca”. A negação efetua a simples troca do valor verdade de p. Assim, quando p é verdadeira, ~ p é falsa; quando p é
falsa, ~ p é verdadeira. Essa simplicidade lógica se opõe às várias complicações
que a negação coloca nos discursos. Considere então a proposição:
“Guilherme jogou um livro na perna de João”.
A negativa, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação.
i) Não foi Guilherme quem jogou o livro, foi Alberto.
ii) Não jogou, apenas encostou.
iii) Não foi um livro, e sim um caderno.
iv) Não foi na perna, foi na barriga.
v) Não foi em João, foi em Paulo.
Como nos revela este exemplo, há uma negação “externa”, aplicável a uma proposição inteira, e uma negação interna, aplicável a algum componente da proposição. Queremos com isso mostrar que, por exemplo, não são equivalentes as proposições ~ ( p ∧ q ) e ~ p ∧ ~ q. Para evitar dúvidas,
enunciaremos as “fórmulas” de negação das proposições compostas, demonstraremos e, em seguida, aplicaremos nas diversas questões de concurso.
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Negação das proposições usuais
Afirmação Negação p ~ p
p ∧ q ~ p ∨~ q
p ∨ q ~ p ∧~ q
p → q p ∧~ q
p ↔ q ( p ∧ ~ q ) ∨ ( q ∧~ p )
⟷ ~
~ ⟷
v
Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor entendimento do leitor iniciante.
Observe que há várias maneiras de negar a proposição composta pelo “se e somente se”. Raramente a negação deste conectivo aparece em provas.
Afirmação Negação p ∧ q Negue as duas proposições e troque o conectivo “e” pelo conectivo “ou” p ∨ q Negue as duas proposições e troque o conectivo “ou” pelo conectivo “e” p → q Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o consequente. p ↔ q Afirme a primeira “ e” negue a segunda, coloque o conectivo “ou” e em seguida afirme a segunda “ e ” negue a primeira.
Negue apenas o segundo componente e mantenha o conectivo.
Negue apenas o primeiro componente e
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~ ( p → q ) ⇔ p ∧~ q
~ ( p ↔ q ) ⇔ ( p ∧ ~ q ) ∨ ( q ∧~ p )
~( ⟷ ) ⟺ ⟷ ~
~( ⟷ ) ⟺ ~ ⟷
~( ⟷ )^ ⟺ v
Não daremos muita ênfase à negação do bicondicional (se e somente se) devido a sua pouca importância em matéria de concursos públicos.
O mais importante de tudo é manter em mente a seguinte tabela:
Afirmação Negação p ∧ q Negue as duas proposições e troque o conectivo “e” pelo conectivo “ou” p ∨ q Negue as duas proposições e troque o conectivo “ou” pelo conectivo “e” p → q Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o consequente.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Conjunção ~ ( p ∧ q )⇔~ p ∨ ~ q
Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro.
Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro.
Exemplo 2: Disjunção ~ ( p ∨ q )⇔~ p ∧ ~ q
Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme.
Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme.
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Exemplo 3: Condicional ~ ( p → q ) ⇔ p ∧~ q
Afirmação: Se for beber, então não dirija.
Negação: Bebo e dirijo.
Negação de proposições quantificadas
Observe as seguintes expressões:
a) 2 x + 6 = 0 b) x − 3 > 0
Elas contêm variáveis e seus valores lógicos (verdadeira ou falsa) dependem do valor atribuído à variável.
a) 2 x + 6 = 0 é verdadeira se trocarmos x por − 3 e é falsa para qualquer outro valor atribuído a x.
b) x − 3 > 0 é verdadeira, por exemplo, para x = 8 e falsa, por exemplo, para x = 1.
Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou funções proposicionais. Como já comentamos, tais expressões não são proposições, pois seus valores lógicos dependem dos valores atribuídos às variáveis. Entretanto, temos duas maneiras de transformar funções proposicionais em proposições: atribuir valor às variáveis ou utilizar quantificadores.
Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum, todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral, não registram “quantificador”. Esse termo, no entanto, é de uso comum na Lógica.
Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador seguido por uma classe ou de atributos,um elo e outra classe de atributos. Vejamos exemplos de proposições quantificadas.
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Vejamos alguns exemplos:
p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto. ~ p : Nenhum político é honesto. ~ p : Todo político não é honesto.
q : Nenhum brasileiro é europeu. q : Todo brasileiro não é europeu. ~ q : Algum brasileiro é europeu. ~ q : Existe brasileiro que é europeu.
r : Todo concurseiro é persistente. ~ r : Algum concurseiro não é persistente. ~ r : Existe concurseiro que não é persistente.
t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. ~ t : Todo recifense é pernambucano.
Observação: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras:
i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.
- (FCC-2011-Banco do Brasil - Escriturário) Um jornal publicou a seguinte manchete:
"Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários."
Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é:
a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.
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Resolução
A negação de uma proposição universal afirmativa (“todo...”) é a particular negativa (“algum... não”).
Afirmação Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. Negação Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários.
Letra C
- (FCC - 2009 - TJ-SE - Técnico Judiciário - Programação de Sistemas ) Considere as seguintes premissas:
p : Trabalhar é saudável q : O cigarro mata.
A afirmação "Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata" é FALSA se
a) p é falsa e ~q é falsa. b) p é falsa e q é falsa. c) p e q são verdadeiras. d) p é verdadeira e q é falsa. e) ~p é verdadeira e q é falsa.
Resolução
A afirmação dada foi “Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata”. Em símbolos, a proposição dada foi ~p v q. A proposição é composta pelo conectivo “ou”.
Quando é que uma proposição composta pelo conectivo “ou” é falsa? Quando os dois componentes são falsos. Assim, concluímos que ~p é falsa (ou seja, p é verdadeira ) e q é falsa.
Letra D
- (FCC - 2008 - TRT - 18ª Região (GO) - Técnico Judiciário - Tecnologia da Informação) Considere as proposições:
p: Sansão é forte.
q: Dalila é linda.
A negação da proposição ∧ ~ é
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Dessa forma, a negação de “Pedro é pobre e Alberto é alto” é “Pedro não é pobre ou Alberto não é alto”.
Letra A
- (TRT/9ª Região/2004/FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. é:
a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário.
Resolução
A negação de uma proposição universal afirmativa (“todo...”) é a particular negativa (“algum... não”). Lembrando que o quantificador existencial “algum” equivale à expressão “existe”.
Afirmação Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. Negação Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.
Dessa forma, a negação da proposição dada é “existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário”.
Na verdade, o correto é que o quantificador existencial fique no SINGULAR. Desta forma, estamos assinalando a alternativa “menos” errada.
O correto, a rigor, seria: Existe cargo deste concurso que não é de analista judiciário.
Para negar uma proposição com a expressão “todo...”, troca-se o quantificador por “algum/existe” e modifica-se o verbo, nega-se o verbo.
Letra B
- (TJ/PE/2007/FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que:
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a) nenhum funcionário público é eficiente. b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. c) todo funcionário público é eficiente. d) nem todos os funcionários públicos são eficientes. e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.
Resolução
Como vimos, quando o enunciado nos fornece uma proposição falsa e nos pede uma proposição verdadeira , devemos obter a sua negação. Assim, a negação de uma proposição particular negativa (”algum... não”) é a proposição universal afirmativa (todo...).
Afirmação Existem funcionários públicos que não são eficientes. Negação Todo funcionário público é eficiente.
Temos então que a negação de “Existem funcionários públicos que não são eficientes” é “todo funcionário público é eficiente”. Em outras palavras, para negar uma proposição com a expressão “existe/algum”, trocamos o quantificador por “todo” e modificamos o verbo, negamos o verbo. Como a negação de “não ser eficiente” é “ser eficiente”, temos o resultado acima.
Letra C
- (PCPA 2007/CESPE-UnB) Uma proposição da forma ¬A v ¬B é equivalente a uma proposição da forma ¬(A∧B), isto é, essas proposições têm exatamente os mesmos valores V e F. Considere que A simbolize a proposição “Pedro tem 20 anos de idade” e B simbolize “Pedro é assistente administrativo”. Assinale a opção equivalente à negação da proposição “Pedro tem 20 anos de idade e é assistente administrativo”. A) Pedro não tem 20 anos de idade e não é assistente administrativo. B) Pedro não tem 20 anos de idade ou Pedro não é assistente administrativo. C) Pedro tem 20 anos de idade e não é assistente administrativo. D) Pedro não tem 20 anos de idade ou Pedro é assistente administrativo.
Resolução
Para negar uma proposição composta pelo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo “ou”.
Desta forma, a negação da proposição “Pedro tem 20 anos de idade e é assistente administrativo” é “Pedro não tem 20 anos de idade ou não é assistente administrativo.
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E) Se Mário é contador, então Norberto é estatístico.
Resolução
Para negar a proposição composta pelo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo “ou”. Desta forma, a negação de “Mário é contador e Norberto é estatístico.” é “Mário não é contador ou Norberto não é estatístico.”
O problema é que esta frase não se encontra nas alternativas. Observe que há várias alternativas com o conectivo “se...,então...”. O que devemos fazer então?
Ora, devemos marcar uma alternativa que tenha o mesmo significado lógico de “Mário não é contador ou Norberto não é estatístico.” Vamos, portanto, assinalar uma proposição equivalente a ela.
Para transformar uma proposição composta pelo conectivo “ou” em uma condicional, devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o conectivo.
Desta forma, são equivalentes as proposições:
“Mário não é contador ou Norberto não é estatístico.” Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico.
Letra D
- (Administrador – FUNASA – CESGRANRIO 2009) Qual é a negação da proposição “Alguma lâmpada está acesa e todas as portas estão fechadas”?
(A) Todas as lâmpadas estão apagadas e alguma porta está aberta. (B) Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está aberta. (C) Alguma lâmpada está apagada e nenhuma porta está aberta. (D) Alguma lâmpada está apagada ou nenhuma porta está aberta. (E) Alguma lâmpada está apagada e todas as portas estão abertas.
Resolução
Vamos negar os componentes separadamente e, em seguida, trocar o conectivo pelo “ou”.
P: Alguma lâmpada está acesa.
A negação da proposição particular afirmativa é a universal negativa.
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~P: Todas as lâmpadas não estão acesas. Ou seja, todas as lâmpadas estão apagadas.
Q: Todas as portas estão fechadas.
A negação da proposição universal afirmativa é a particular negativa.
~Q: Alguma porta não está fechada. Ou seja, alguma porta está aberta.
A negação da proposição dada é:
Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está aberta.
Letra B
- (Analista CAPES CESGRANRIO 2008) Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q , respectivamente, as suas negações. A negação da proposição composta
p →~q é
(A) ~p →~q (B) ~p →q (C) p →q (D) p ∧ ~q (E) p ∧ q
Resolução
A proposição dada pelo enunciado é a seguinte: → ~
Para negar uma proposição composta pelo “se...,então...” devemos negar apenas o segundo componente e trocar o conectivo pelo “e”.
Lembre que a negação de ~q é q.
Portanto, a negação da proposição composta → ~ é ∧ .
Letra E
- (Agente de Estação – Metro – SP 2010/FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ∧ ~ q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel.
