Modelos epidêmicos
Modelos epidêmicos
determinísticos
determinísticos
Professor: Dr. João dos Santos Protázio
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Apresentação: Leoni Fonseca
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Modelos epidêmicos determinísticos, Notas de estudo de Matemática
Modelos epidêmicos determinísticos
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Modelos epidêmicos
Modelos epidêmicos
determinísticos
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Professor: Dr. João dos Santos Protázio Professor: Dr. João dos Santos Protázio
Apresentação: Leoni Fonseca
Apresentação: Leoni Fonseca
Introdução
Introdução
Nós iremos inicialmente estudar uma Nós iremos inicialmente estudar uma
sequência de três modelos
sequência de três modelos
matemáticos crescentemente matemáticos crescentemente
complicados visando entender o
complicados visando entender o
espalhamento epidêmico de uma
espalhamento epidêmico de uma
doença contagiosa. doença contagiosa.
hipóteses que
hipóteses que
serão comuns a todos os
serão comuns a todos os
modelos:
modelos:
A doença é transmitida por contato direto
A doença é transmitida por contato direto
entre um indivíduo infectado e um indivíduo entre um indivíduo infectado e um indivíduo
suscetível; suscetível;
Não existe período latente para a doença, ou Não existe período latente para a doença, ou
seja, a doença é transmitida seja, a doença é transmitida
instantaneamente após o contacto; instantaneamente após o contacto;
Todos os indivíduos suscetíveis são Todos os indivíduos suscetíveis são
igualmente suscetíveis e todos os infectados igualmente suscetíveis e todos os infectados
são igualmente infecciosos; são igualmente infecciosos;
A população a ser estudada é fechada, ou A população a ser estudada é fechada, ou
seja, não ocorrem nem nascimentos nem seja, não ocorrem nem nascimentos nem
migrações e todas as mortes são levadas em migrações e todas as mortes são levadas em
conta. conta.
O modelo trivial
O modelo trivial
população que é efetivamente população que é efetivamente
infinita e que inicialmente todos na
infinita e que inicialmente todos na
população são suscetíveis em população são suscetíveis em
adquirir a doença contagiosa, com
adquirir a doença contagiosa, com
exceção de um pequeno número de
exceção de um pequeno número de
indivíduos que já se encontram indivíduos que já se encontram
infectados.
infectados.
Primeira observação
Primeira observação
Aqui surge a primeira imprecisão do Aqui surge a primeira imprecisão do
modelo. Observar que da expressão
modelo. Observar que da expressão
acima, não se pode esperar que a acima, não se pode esperar que a
quantidade
quantidade I
I
t
t
t
t ) seja um número
) seja um número
inteiro, mesmo
inteiro, mesmo I
I
t
t ) sendo um
) sendo um
número inteiro. número inteiro.
Quando
Quando
t
t
Gráfico do Modelo Trivial
Gráfico do Modelo Trivial
Segunda observação
Segunda observação
A solução acima nos indica mais uma A solução acima nos indica mais uma
imprecisão no modelo. Observando a
imprecisão no modelo. Observando a
Figura 1, ela nos diz que a população Figura 1, ela nos diz que a população
de infectados cresce indefinidamente
de infectados cresce indefinidamente
com o passar do tempo.
com o passar do tempo.
S
S
t t ) = número de indivíduos ) = número de indivíduos
suscetíveis no instante
suscetíveis no instante t ;
t ;
I
I
t t ) = número de indivíduos ) = número de indivíduos
infectados no instante
infectados no instante t ;
t ;
β
β = taxa de contactos entre os
= taxa de contactos entre os
indivíduos suscetíveis e infectados. indivíduos suscetíveis e infectados.
Terceira observação
Terceira observação
Comparando-se as definições de
Comparando-se as definições de B
B
e
e
β
β apresentadas nos modelos trivial e
apresentadas nos modelos trivial e
simples, respectivamente temos que simples, respectivamente temos que
B
B
β
β
S
S
t
t ). Observar que no primeiro
). Observar que no primeiro
modelo, modelo, B
B
era constante. era constante.