41812 - Femlight
Week 2
The stiffness method
- The bar element -
All figures in these slides are taken from the ”Notes on the stiffness Method” by Ann Bettina Richelsen, February 2005
41812 - Femlight – p.1
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Método da rigidez: Análise de elementos de barras, Notas de aula de Elementos de Sistemas de Engenharia
Neste documento, aprenda sobre o método da rigidez para analisar elementos de barras em estruturas mecânicas. Saiba como calcular as matrizes de rigidez local e global, resolver equações de equilíbrio e determinar deslocamentos e reações. Este material é extraído de 'notes on the stiffness method' por ann bettina richelsen.
O que você vai aprender
- Como se calculam as deslocações e as reações de um sistema de dois elementos de barras?
- Qual é a diferença entre métodos #1 e #2 para resolver problemas de rigidez?
- Qual é a diferença entre estruturas de traves e de quadros?
- Como é calculada a matriz de rigidez de um elemento de barra?
- Quais são as equações de equilíbrio para um sistema de dois elementos de barras?
Tipologia: Notas de aula
2020
1 / 25
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41812 - Femlight
Week 2
The stiffness method- The bar element -
All figures in these slides are taken from the ”Notes on the stiffness Method” by Ann Bettina Richelsen, February 2005
41812 - Femlight
Trusses vs. Frames^ Truss elements: Pin-connected bars - the simplest finite elementFrame elements: Rigid-connected beams
41812 - Femlight
The stiffness of a bar element^ Calculate the forces needed to maintain the displacement statewhen each node is displaced in turn and all other nodaldisplacemnts are zero.
41812 - Femlight
The stiffness of a bar element
41812 - Femlight
The stiffness of a bar element^ Superposition yields
Node 1:
f^1
=^ f 11
+^ f 12
AE= L
AEu− (^1) u^2 L
Node 2:
f^2
=^ f 21
+^ f 22
AE= −
u+^1 L AE u^ L 2
which in matrix form becomes with^ k
=^ AE/L
and^ k
is the
local^ element stiffness matrix.
For linear elastic structures:
k^ symmetric
Diagonal terms
: Force at a point due to a unit disp. in that point Off-diagonal terms
: Force at a point due to a unit disp. in another
point
41812 - Femlight
Stiffness of simple two-bar structure^ Example:^ The two element stiffness matrices (1-2 and 2-3) are^ where
k=^1
AE/L^11
and^1 k=^ A^2
E/L 22
are the two element 2
stiffnesses. 3 nodes giving 3 D.O.F. (Blackboard)
41812 - Femlight
Small exercise on two-bar structure^ For
A= 50^1
2 cm
L= 50^1
cm^
E= 200^1
GPa
A= 25^2
2 cm
L= 75^2
cm^
E= 200^2
GPa
Compute then the
determinant
of the global
stiffness matrix
K.
41812 - Femlight
Small exercise on two-bar structure
41812 - Femlight
Stiffness of simple two-bar structure^ Thus, the global system og equations becomes^ which can be reduced (using
u= 0^1
) to
and^ R
=^ −k
u. 12
41812 - Femlight
Stiffness of simple two-bar structure^ Thus, the solution in addition to
u= 0^1
is
41812 - Femlight
Stiffness of simple two-bar structure^ Method #1:Requires a lot of book-keeping but reduces the number ofequtions to solveMethod #2:Less book-keeping but keeps the number of equtions to solve. Inpractice is the number of constaints much smaller than numberof DOF’s - meaning that the saving of method #1 is limited.Both methods involv an inverted stiffness matrix.
However, in
general stiffness matrices are not inverted due to the size of itand e.g. Gauss elimination is used instead.
41812 - Femlight
Small exercise on two-bar structure^ Use same stiffnesses (
kand^1
k)^ and^2
P^ = 2
MN.
Compute the
displacements
of the structure.
,^ R^ =
−k^1
u^2
Compute the
reaction
,^ R
41812 - Femlight
Transformation of stiffness matrix^ Resolving the global nodal loads into the local coordinate system(()
′^ and lowercase) yields
f=^ F^1
cos^ θ 1 +^ Fsin^2
θ
f=^ F^2
cos^ θ 3 +^ Fsin^4
θ
or in matrix form with
41812 - Femlight
Transformation of stiffness matrix^ Resolving the local nodal loads (
′^ ()and lowercase) into the
global coordinate system yields
F=^ f^1
cos^ θ 1 F=^ f^2
sin^ θ 1 F=^ f^3
cos^ θ 2 F=^ f^4
sin^ θ 2
or in matrix form (
r^ =^ {F
FF 1 2
TF} 3 4
with the same
T-matrix.
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