Metodo das Secantes, Slides de Cálculo para Engenheiros

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MÉTODOS ITERATIVOS

Método das Secantes ou Método das Cordas

Seja f(x) uma função contínua que tenha derivada

segunda com sinal constante no intervalo [a, b], sendo

que f(a). f(b) < 0 e que existe somente um número 

 [a, b] tal que f() = 0.

• (^) O ponto fixado c (a ou b) é aquele no qual o sinal da

função f(x) coincide com o sinal da sua derivada f’’(x).

• (^) A aproximação sucessiva x 0 se faz do lado da raiz ,

onde o sinal da função f(x) é o oposto ao sinal de sua

derivada f’’(x). 2

Método das Cordas

Método das Cordas RESUMO

• (^) É semelhante ao método da bisseção com convergência;
• (^) A derivada segunda do método, f’’(x),deve ser constante no intervalo;
• (^) O intervalo [a,b] não é dividido ao meio, mas sim em partes proporcionais a razão – f(a) / f(b);
• (^) O intervalo é atualizado da mesma maneira que no método da bisseção com convergência.

EXEMPLO

2º Passo: Calculando f(1,4) e f(2,2), obtemos:

• (^) f(1,4) = 2,30400 > 0
• (^) f(2,2) = - 0,51200 < 0 Assim, c = 1,4 pois f(1,4). f”(1,4) > 0 e x 0

Calculando pelo Método das Cordas

3º Passo: Calcular a tabela. f(x) = x³ - 4x² + x + 6, com   10

• 8 n xn f(xn)^ /xn - xn-1/ 0 2,2 -0, 1 2,05455 -0,15752 0, 2 2,01266 -0,03765 0, 3 2,00281 -0,00841 0, = x = 2,

Calculando pelo Método das Cordas

( ) ( ) ( ) ( ) 1 x c f x f c f x x x n n n n n     

1º Passo: Fazendo a 2ª derivada, temos:

• (^) f”(x) = 6x > 0 para todo x [2,0; 3,0] 2º Passo: Calculando f(2,0) e f(3,0), obtemos:
• (^) f(2,0) = - 2 < 0
• (^) f(3,0) = 17 > 0 Assim, c = 3,0 pois f(3,0). f”(3,0) > 0 e x 0 = 2,0 10

RESPOSTA

1. Achar a raiz da equação x³ - 10 no intervalo [2,3], com   10 -2, usando o método das Cordas. (t = 5)

3º Passo: Calcular a tabela. f(x) = x³ - 10, com   10

• 11 n xn f(xn)^ /xn - xn-1/ 0 2 -2, 1 2,10526 -0,66919 1,05263E- 2 2,13915 -0,21133 3,38868E- 3 2,14972 -0,06551 1,05700E- 4 2,15298 -0,02019 3,26392E- = x = 2, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x c f x f c f x x x n n n n n     

RESPOSTA

RESPOSTA